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等差数列及等比数列的性质总结


等差数列与等比数列总结
一、等差数列: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用小写 字母 d 表示; 等差中项,如果 A ?

a ? b ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项;如果三个数成 2

等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列{an }的通项公式: a n ? a1 ?(n - 1 ; )d(n ? N ?) 等差数列{an }的递推公式: an ? an ?1 ? d(n ? 2) ;

n(n - 1) (a ? an) ?n ? d= 等差数列{an }的前 n 项和公式: Sn = 1 = na1 ? 2 2 d d ( )? n2 ?(a1 - )? n ? na中 ; 2 2
【等差数列的性质】 1、 an ? am ?(n - 1 )d 【说明】 am ?(n - m)d ? a1 ?(m - 1 )d ?(n - m)d ? a1 ?(n - 1 )d ? an 2、若 m、n、p、q ? N? ,且 m+n=p+q,则有 am ? an ? ap ? aq 【说明】 am ? an ? 2a1 ?(m ? n - 2)d ? 2a1 ?(p ? q - 2)? ap ? aq 3、 ak、ak ? m、ak ? 2m、 ?? 成等差数列,公差为 md 【说明】 ak ? m - ak ? ak ? 2m - ak ? m ? ?? ? md
2 4、 Sk,S2k - Sk,S3k - S2k ?? Snk - S (n - 1)k 成等差数列,公差为 n d

【说明】 (S2n - Sn) - Sn ?(an ?1 ? an ? 2 ? ?? ? a2n) -(a1 ? a2 ? ?? ? an)? n2d ,

(S3n - S2n) -(S2n - Sn)?(a2n ?1 ? a2n ? 2 ? ?? ? a3n) -(an ?1 ? an ? 2 ? ?? ? a2n)

? n2d, ??
5、数列{an }成等差数列 ? an ? pn ? q, 2an ? an -1 ? an ?1,Sn ? An2 ? Bn

【说明】 an ? am ?(n - 1 , Sn = na1 ? )d ? dn ?(a1 - d)

n(n - 1 ) ? d= 2

d d ( )? n2 ?(a1 - )? n 2 2
6、若数列{an }是等差数列,则{c n }为等比数列,c>0
a

cn a -a 【说明】 a ? c n n -1 ? cd n -1 c
7、 Sn是前n项和,S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,则 Sn ? S奇 ? S偶 当 n 为偶数时, S偶 - S奇 ?

a

n ?d 2

当 n 为奇数时, Sn ? a中 ? n , S奇 - S偶 ? a中 ,

S奇 n?1 ? S偶 n-1
n ?d 2

【说明】 当 n 为偶数时, S偶 - S奇 ?(an - an - 1)?(an - 2 - an - 3)? ? ? ?(a2 - a1)?

当 n 为奇数时, S奇 - S偶 ? a1 ?(a3 - a2)? ? ? ?(an - an - 1)? a1 ?

n-1 d ? a中 , 2

S奇 S偶

1 n?1 (a1 ? an) ? n ? 1 S奇 ? S偶 S 2 ? 2 ? , ? n ? n 1 n-1 n - 1 S奇 - S偶 a中 (a2 ? an - 1) ? 2 2

{a n } 、 {bn } 的前n项和,则 8、设 Sn和Tn分别表示等差数列
)a中 S2n - 1 (2n - 1 a ? ? n T2n - 1 (2n - 1 )b中 bn

an S ? 2n - 1 bn T2n - 1

【说明】

、 {bn } 的前n项和分别为Sn和Tn,若 【例】等差数列{a n }
9、 ap ? q,aq ? p(p ? q),则ap ? q ? 0,d ? -1
Sp ? q,Sq ? p(p ? q),则ap ? q ? -p - q Sp ? S ( ap ? q ? 0 q p ? q),则

Sn 5n ? 1 a ? ,求 15 Tn 3n - 1 b15

【说明】 ap - aq ?(p - q)d ? p - q ? d ? -1 ,ap ? q ? ap ? qd ? q - q ? 0
Sp ? Sq ?(aq ? 1 ? ? ? ? ap)? (aq ? 1 ? ap)(p - q) ? q - p ? aq ? 1 ? ap ? -2 2

Sp ? q ?

(a1 ? ap ? q)(p ? q) (aq ? 1 ? ap)(p ? q) ? ? -p - q 2 2

二、等比数列: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比常用小写 字母 q 表示; 等比中项,如果 G 2 ? ab ,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项;如果三个数成等比数 列,那么等差中项的平方等于另两项的积;
1 等比数列{an }的通项公式: an ? a1qn ; ( n ? N?)

等比数列{an }的递推公式: an ? an ?1q(n ? 2) ;
?na1,q ? 1 ? n 等比数列{an }的前 n 项和公式: Sn = ? a ( a - a nq 1 1 - q ) ? 1 ,q ? 1 ? 1-q ? 1-q

【等比数列的性质】 1、 an ? am ? qn - m 【说明】 am ? qn - m ? a1 ? qm -1 ? qn - m ? a1 ? qn -1 ? an 2、若 m、n、k、l ? N? ,且 m ? n ? k ? l,am ? an ? ak ? al
2 m ?n-2 2 k ?l- 2 【说明】 am ? an ? a1 q ? a1 q ? ak ? al

3、 ak、ak ? m、ak ? 2m、 ??,成等比数列,公比为 qm 【说明】

ak ? m a ? k ? 2m ? qm ak ak ? m

n 4、 Sk、S2k - Sk、S3k - S2k ?? Snk - S (n - 1)k 成等比数列,公比为 q

【说明】

S2n - Sn a ? a n ? 2 ? ? ? ? a2 n ? n ?1 ? qn Sn a1 ? a2 ? ? ? ? an

5、数列{an }成等比数列 ? a2 ,an ? p ? qn,Sn ? A(qn - 1 ) n ? an -1 ? an ? 1

【说明】 an ? a1 ? qn - 1 ?

a1 a ( 1 - qn) a1 ? qn,Sn ? 1 ? (qn - 1 ) q 1-q q-1

6、若数列{a n }是等比数列,则{log can } 为等差数列, an ? 0 【说明】 log can - log can -1 ? log c

an ? log cq an - 1

7、 Sn是前n项和,S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,则 Sn ? S奇 ? S偶 ;
若 n 为偶数时,

a偶 S - a1 ? q ;当 n 为奇数时, 奇 ? q; S偶 a奇 a偶 a ? a4 ? ? ? ? an ? 2 ? q; a奇 a1 ? a4 ? ? ? ? an -1

【说明】当 n 为偶数时,

当 n 为奇数时,

S奇 - a1 a ? a5 ? ? ? ? an ? 3 ? q; S偶 a2 ? a 4 ? ? ? ? a n - 1

8、设 Tn是前n项积,T奇表示奇数项的积, T偶表示偶数项的积,则 Tn ? T奇 ? T偶 当 n 为偶数时,

T偶 T n ; ? q 2;当n为奇数时,奇 ? a中,T奇 ? a中 T奇 T偶
n

n

T a ? a4 ? ? ? ? an 【说明】当 n 为偶数时, 偶 ? 2 ? q2 ; T奇 a2 ? a 4 ? ? ? ? a n - 1
当 n 为奇数时,

T奇 a ? a4 ? ? ? ? an ? a1 2 ? a中 ; T偶 a2 ? a 4 ? ? ? ? a n - 1
n 。 T奇 ? a1 ? a2 ? ?? ? an ? a1an ? a2an -1 ? ?? ? a中


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