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高中数学必修一集合的基本运算教案


第一章

集合与函数概念

1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”“为什么”“怎样做” , , ; 【知识点】 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union) 记作:A∪B 读作: 并 B” “A 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示:
A

?
A∪B

B

2.

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素 只看成一个元素) 。 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们 所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: 交 B” “A 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集
B A A(B) A B A B A B

3.

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集 补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全 集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示

U A CUA
4. 说明:补集的概念必须要有全集的限制 求集合的并、 交、 补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, UA)∩A= ? (C 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B ¤例题精讲:
-1 B 5 9 x

5.

A 3

A? B

【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) . 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示:
A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

CU ( A? B ? { x | ? ? 或, ) x 1

x ,} ? 9

【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3?, C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? ?A ( B ? C ) . 解:? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? . (1)又? B ? C ? ?3? ,∴ A ? ( B ? C ) ? ?3? ; (2)又? B ? C ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,
得 CA ( B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A ? CA ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .

【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A ? B ? A ,可得 A ? B . B A 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: 4 m x -2 4 m x 由图形可知, m ? 4 . 点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要 注意是否含端点的问题. * 【例 4】已知全集 U ? { x | x ? 10, x? N } A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A ? B) , CU ( A ? B) , , 且 (CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系. 解:由 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {6,7,9} . 由 A ? B ? {5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} 由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} , 则 (CU A) ? (CU B) ? {6,7,9} ,
(CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} .

由计算结果可以知道, (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) , (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) . 点评:可用 Venn 图研究 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) 与 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,在理解的基础记住此 结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.
【自主尝试】 1.设全集 U ? ?x |1 ? x ? 10, 且x ? N? ,集合 A ? ?3,5,6,8? , B ? ?4,5,7,8? ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

2.设全集 U ? ?x | ?2 ? x ? 5? , 集合A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x |1 ? x ? 3? ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

2 2 3.设全集 U ? ? x | ?2 ? x ? 6且x ? Z ? , A ? x | x ? 4 x ? 5 ? 0 , B ? x | x ? 1 ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

?

?

?

?

【典型例题】 1. 已 知 全 集

U ? ?x | x是不大于30的素数?

,A,B



U











,







A ? (CU B) ? ?5,13,23?, B ? (CU A) ? ?11,19,29? , (CU A) ? (CU B) ? ?3,7? ,求集合 A,B.

2 2 2.设集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值集合.

?

?

?

?

3. 已知 A ? ?x | ?2 ? x ? 4?, B ? ?x | x ? a? ① 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; ② 若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围; ③ 若 A ? B ? ?且A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

2 4.已知全集 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , 若 A ? ?b, 2? , CU A ? ?5? ,求实数 a和b 的值.

?

?

【课堂练习】 1.已知全集 U ? ?0,1,2,4,6,8,10?, A ? ?2,4,6?, B ? ?1? ,则 (CU A) ? B ? ( A )

?0,1,8,10?



?1,2,4,6?



?0,8,10?



?
)

2 2.集合 A ? ?1, 4, x? , B ? x ,1 且A ? B ? B ,则满足条件的实数 x 的值为 (

?

?



1或0

B 1,0,或2

C 0,2或-2

D 1或2 ( )

3.若 A ? ?0,1,2? , B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4?则(A ? B)?(B ? C)= A

?1, 2,3?



?2,3?



?2,3,4?



?1, 2, 4?
( )

4.设集合 A ? ?x | ?9 ? x ? 1 , B ? ?x | ?3 ? x ? 2?则A ? B ? ? A ?x | ?3 ? x ? 1 ? B ?x |1 ? x ? 2? C ?x | ?9 ? x ? 2?

D ?x | x ? 1 ?

【达标检测】 一、选择题 1.设集合 M ? ?x | x ? 2n, n ? Z? , N ? ?x | x ? 2n ?1, n ? N? 则 M ? N 是 A ? B M C Z D ( )

?0?
( )

2.下列关系中完全正确的是 A

a ? ?a, b?

B D

?a, b? ??a, c? ? a ?b, a? ??a, c? ? ?0?
( )

C ?b, a? ? ?a, b?

3.已知集合 M ? ??1,1, ?2,2?, N ? ? y | y ? x, x ? M ? ,则 M ? N 是 A M B

?1, 4?



?1?



?
)

4.若集合A,B,C满足 A ? B ? A, B ? C ? C ,则A与C之间的关系一定是( A A C B C A C

A?C



C?A

5.设全集 U ? x | x ? 4, x ? Z , S ? ??2,1,3? ,若 Cu P ? S ,则这样的集合P共有( ) A 5个 B 6个 C 7个 D8个

?

?

二、填空题 6.满足条件 ?1,2,3? ? A ? ?1,2,3,4,5? 的所有集合A的个数是__________. 7.若集合 A ? ?x | x ? 2? , B ? ?x | x ? a? ,满足 A ? B ? ?2? 则实数 a =_______. 8.集合 A ? ?0,2,4,6?, CU A ? ??1, ?3,1,3?, CU B ? ?? 1,0,2 ? ,则集合B=_____. 9.已知 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ? 1,3,5? ,则 CUU ? ________________. 10. 对 于 集 合 A , B , 定 义 A ? B ? | x ?

x且 A ? , A ⊙ B = ( A ? B) ? ( B ? A) , 设 集 合 ? B?

M ? ?1 , 2 , 3 ? N ? ? , 6 , , 4 , 5
三、解答题

,则M⊙N=__________. ?4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0

2 11.已知全集 U ? ?x ? N |1 ? x ? 6? ,集合 A ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? ?3, 4,5,6?

?

?

(1)求 A ? B, A ? B , (2)写出集合 (CU A) ? B 的所有子集.

12.已知全集U=R,集合 A ? ?x | x ? a? , B ? ?x |1 ? x ? 2? ,且 A ? (CU B) ? R ,求实数 a 的取值范围

2 2 13.设集合 A ? x | 3 x ? px ? 5 ? 0 , B ? x | 3 x ? 10 x ? q ? 0 ,且 A ? B ? ?? ? 求 A ? B .

?

?

?

?

? 1? ? 3?

1.1.3 集合的基本运算(加强训练)
【典型例题】
2 1.已知集合 A ? x | x ? 15 x ? 50 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,若 A ? B ? ? ,求 a 的值.

?

?

2.已知集合 A ? ?x | 2a ? x ? a ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 5 ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.

?

?

2 2 3.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , B ? x | 2 x ? ax ? 2 ? 0 若 A ? B ? A ,求 a 的取值集合.

?

?

?

?

4.有54名学生,其中会打篮球的有36人,会打排球的人数比会打篮球的多4人,另外这两种球都不会的人数是 都会的人数的四分之一还少1,问两种球都会打的有多少人.

【课堂练习】 1.设集合 M ? ?x ? Z | ?3 ? x ? 2?, N ? ?n ? Z | ?1 ? n ? 3? ,则 M ? N ? A ( )

?0,1?



??1,0,1?



?0,1, 2?



??1,0,1, 2?

2.设U为全集,集合 M ? U , N ? U 且N ? M 则 A

(

)

CU N ? CU M
? ?



M ? CU N



CU N ? CU M



CU M ? ?CU N ?
( )

3.已知集合 M ? ? x | A

x?3 ? ? 0? , N ? ? x | x ? ?3? ,则集合 ?x | x ? 1? 是 x ?1 ?


N ?M

N ?M



CU ( M ? N )



CU ( M ? N )

4.设 A ? 菱形 , B ? 矩形 ,则 A ? B ? ___________.
2 5.已知全集 U ? 2, 4, a ? a ? 1 , A ? ?a ? 1, 2? , CU A ? ?7? 则a ? _______.

?

?

?

?

?

?

【达标检测】 一、选择题 1.满足 ?1,3? ? A ? ?1,3,5? 的所有集合A的个数 A 3 B 4 C 5 ( D 6 )

2.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 4 ,则 A ? B ? A

?

?

(

)

?x | x ? 3或x ? 4?

B

?x|-1<x ? 3?

C

?x|3 ? x ? 4?

D

?x|-2 ? x ? ?1?
)

3.设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ? x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R ,则 a 的取值范围是( A ?3 ? a ? ?1 B ?3 ? a ? ?1 C a ? ?3或a ? ?1 D a ? ?3或a ? ?1

?

?

4. 第 二 十 届 奥 运 会 于 2 0 0 8 年 8 月 8 日 在 北 京 举 行 , 若 集 合

A ? ?参加北京奥运会比赛的运动员 ?

B ? ?参加北京奥运会比赛的男运动员 ?
( D )

,

C ? ?参加北京奥运会比赛的女运动员 ,则下列关系正确的是 ?


A? B



B?C



A? B ? C

B ?C ? A

5.对于非空集合M和N,定义M与N的差 M ? N ? ?x | x ? M 且x ? N? ,那么 M-(M-N)总等于 A N B M C ( )

M ?N



M ?N

二.填空题 6.设集合 A ? (x,y)|x+2y=7 , B ? ?( x, y ) | x ? y ? ?1? ,则 A ? B ? _______.
2 ? 7.设 U ? x|x是不大于10的正整数 , A ? x | x ? 20, x ? N ,则 CU A ? ____.

?

?

?

?

?

?

8.全集U=R,集合 X ? ?x | x ? 0? , T ? ? y | y ? 1 ,则 CU T 与CU X 的包含关系是__. ? 9.设全集 U ? x|x是三角形 , A ? ? x | x是锐角三角形? , B ? x | x是钝角三角形 ,则 C(A ? B)= ____ U __________. 10.已知集合 M ? y|y=-2x+1,x ? R N ? ? y | y ? x ? 2, x ? R? ,则 M ? N =___. 三.解答题
2 2 2 2 11.已知 A ? x|x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x | x ? 5x ? 6 ? 0 , C ? x|x ? 2 x ? 8 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

①.若 A ? B ? A ? B ,求 a 的值. ②.若 A ? C ? C ,求 a 的值.

12.设 U=R,M={ x | x ? 1 },N={ x | 0 ? x ? 5 },求 CU M ? CU N .

2 13.设集合 A ? ? x | ( x ? 2)( x ? m) ? 0, m ? R? , B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ,求 A ? B , A ? B .

?

?

1.1.3集合的基本运算 【自主尝试】 1. A ? B ? ?3, 4,5,6,7,8?, A ? B ? ?5,8?, CU ( A ? B) ? ?1, 2,9,10? 2. A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 3?, A ? B ? ?x |1 ? x ? 2?, CU ( A ? B) ? x | ?2 ? x ? 1或2 ? x ? 5 3. A ? B ? ??1,1,5? , A ? B ? ??1?, CU ( A ? B) ? ?0,2,3,4? 【典型例题】 由 Venn 图可得 A ? ?2,5,13,17, 23? , B ? ?2,11,17,19,29? 提示: A ? ?1,2? ,∵ A ? B ? A ∴ B ? A

?

?

?4 ? a ? 4

3.① a ? ?2 ; ② a ? 4 ; ③ ?2 ? a ? 4

a 2 ? 2a ? 3 ? 5 , a ? ?4 或 a ? 2 , b ? 3
【课堂练习】 1-4:ACAA 【达标检测】 选择题 1-5:ACACD 填空题 6. 8 7. 2 8. A ? ??3,1,3,4,6? 9. ? 10. ?1,2,3,7,8,9,10?

三.解答题∵ 11.(1)∵ A ? ?2,4? , B ? ?3,4,5,6? ∴ A ? B ? ?2,3,4,5,6? , A ? B ? ?4? ∴ CU A ? ?1,3,5,6?, ?CU A? ? B ? ?3,5,6?

(2) ∵ U ? ?1,2,3,4,5,6?, A ? ?2,4?

∴ ?CU A? ? B 的所有子集是: ?,?3? , ?5?, ?6?, ?3,5??3,6?, ?5,6?, ?3,5,6? 12.①当 a ? 1 时, A ? ?CU B? ? x | x ? 1或x ? 2 ? R ,∴ a ? 1 不合题意; ②当 1 ? a ? 2 时, A ? ?CU B? ? x | x ? a或x ? 2 ? R ,∴ 1 ? a ? 2 不合题意; ③当 a ? 2 时, A ? ?CU B ? ? ?x | x ? R? ? R 符合题意 所以实数 a 取值范围是 a ? 2 13. ∵ A ? B ? ?? ? ,∴ ?

?

?

?

?

? 1? ? 3?

1 2 2 是方程 3x ? px ? 5 ? 0 和 3x ? 10 x ? q ? 0 的解, 3

代入可得 p ? ?14, q ? 3 ,∴ A ? x | 3x 2 ? 14 x ? 5 ? 0 ? ?? ,5?

?

?

? 1 ? ? 3 ?

? 1 ? ? 1 ? B ? ? x | 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0? ? ?? , ?3? , A ? B ? ?? , ?3,5? ? 3 ? ? 3 ?
1.1.3集合的基本运算(加强训练) 【课堂探究】 1. A ? ?5,10? 若 B ? ? , a ? 0 , A ? B ? ? 不合题意

1 1 1 ?1 ? 1 B ? ? , B ? ? ? , ? 5, a ? 或 ? 10, a ? 5 a 10 ?a ? a

2. ①若 A ? ? , a ? 3 ? 2a, a ? 3

? a ? 3 ? 2a 1 ? ②若 A ? ? , ? 2a ? ?1 , ? ? a ? 2 2 ?a ? 3 ? 5 ?
综上: a ? 3 或 ?

1 ?a?2 2

3. 提示: A ? ??1,4? ,因为 A ? B ? A 所以 B ? A ,

?4 ? x ? 4

4. 设 54 名同学组成的集合为 U,会打篮球的同学组成的集合为 A,会打排球的同学组成的集合为 B,这两种球都会打 的同学的集合为 X,设 X 中元素个数为 x , ,由 Venn 图得:

? 36 ? x ? ? ? 40 ? x ? ? x ? ? ?
【课堂练习】 1-3:BDD 【达标检测】 一、选择题 二.填空题 6. ?? , ? ? 三.解答题

1 ? x ? 1? ? 54 ,解得 x ? 28 ,所以两种球都会打的有 28 人。 ?4 ?
4.

?正方形? ,5.

a?3

1-5:BDADC

?? 5 8 ?? ?? 3 3 ??

7.

?5,6,7,8,9,10?

8. CU X

CU T

9.

?直角三角形?

10. R

11. (1)因为 A ? B=A ? B 所以 A=B= ?2,3? 所以 ?

?a ? 5
2 ? a ? 19 ? 6

得a ? 5

(2)因为 A ? C ? C ,所以 C ? A ,又因为 C ? ?2, 4? , ?

? a ? ?2
2 ? a ? 19 ? ?8

无解,所以不存在实数 a 使 A ? C ? C 。

12. CU M ? ?x | x ? 1 , CU N ? x | x ? 0或x ? 5 , CU M ? CU N ? x | x ? 0或x ? 1 ? 13. B ? ??1,6? 当 m ? 2 时 A ? ?2? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ? 当 m ? ?1 时, A ? ??1,2? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ??1 ? 当 m ? 6 时, A ? ?2,6? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ?6? ; 当 m ? 2, m ? ?1, m ? 6 时, A ? ?2, m? , A ? B ? ??1,2,6, m? , A ? B ? ?

?

?

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