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2.1.2平面向量的实际背景及基本概念教学设计(二)课件


2.1.2平面向量的实际背景及基本概念

问题提出

-2-

1.向量与数量有什么联系和区别? 向量有哪几种表示? 联系:向量与数量都是有大小的量; 区别:向量有方向且不能比较大小,数 量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示,也可以用字 母符号表示.

-3-

2.什么叫向量的模?零向量和单位向量分别 是什么概念?

向量的模:表示向量的有向线段的长度. 零向量:模为0的向量. 单位向量:模为1个单位长度的向量.
3.引进向量概念后,我们就要建立相关的理 论体系,为了研究的需要,我们必须对向量中的 某些现象作出合理的约定或解释,特别是两个向 量的相互关系.对此,我们将作些研究.

-4-

思考1:向量由其模和方向所确定.对于 两个向量a、b,就其模等与不等,方向 同与不同而言,有哪几种可能情形?

模相等,方向相同;
模相等,方向不相同; 模不相等,方向相同;

模不相等,方向不相同;

-5-

思考2:两个向量不能比较大小,只有 “相等”与“不相等”的区别,你认为 如何规定两个向量相等?
长度相等且方向相同的向 量叫做相等向量. 向量a与b相等记作a=b.

-6-

思考3:用有向线段表示非零向量 AB 和 CD ,如果 AB ? CD ,那么A、B、C、 D四点的位置关系有哪几种可能情形?
A B

C

D

C A

D

B

-7-

思考4:对于非零向量 AB 和 CD ,如 果 AB ? CD ,通过平移使起点A与C重合, 那么终点B与D的位置关系如何?
B

A
D C

思考5:非零向量 AB 与 BA 称为相反向 量,一般地,如何定义相反向量?
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

-8-

思考6:如果非零向量 AB 与 CD 是相反 向量,通过平移使起点A与C重合,那么 终点B与D的位置关系如何?
A B C D

探究(二):平行向量与共线向量

-9-

思考1:如果两个向量所在的直线互相平 行,那么这两个向量的方向有什么关系? 方向相同或相反 思考2:方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量,向量a与b平行记作a//b,那么 平行向量所在的直线一定互相平行吗? 思考3:零向量0与向量a平行吗? 规定:零向量与任一向量平行.

-10-

思考4:将向量平移,不会改变其长度和 方向.如图,设a、b、c是一组平行向量, 任作一条与向量a所在直线平行的直线l, 在l上任取一点O,分别作 =a , = b, OA OB OC = c,那么点 A、B、C的位置关系如何?
a
b c B O C A

l

-11-

思考5:上述分析表明,任一组平行向 量都可以移动到同一直线上,因此,平 行向量也叫做共线向量.如果非零向量 AB 与 CD 是共线向量,那么点A、B、 C、D是否一定共线? 思考6:若向量a与b平行(或共线),则 向量a与b相等或相反吗?反之,若向量 a与b相等或相反,则向量a与b平行(或 共线)吗?

-12-

思考7:对于向量a、b、c,若a // b, b // c,那么a // c吗?

思考8:对于向量a、b、c,若a =b, b =c,那么a = c吗?

理论迁移

-13-

例1 判断下列命题是否正确: (1)若两个单位向量共线,则这两个向 量相等; (× ) (2)不相等的两个向量一定不共线; (× ) (3)在四边形ABCD中,若向量与共线, 则该四边形是梯形; ( ×) (4)对于不同三点O、A、B,向量与一 定不共线. ( ×)

-14-

例2 如图,设O为正六边形ABCDEF的 中心,分别写出与 OA 、 OB相等的向量.
B A

OA ? CB ? DO ? EF OB ? DC ? EO ? FA

C

O

F E

D

-15-

例3 如图,在△ABC中,D、E、F分 别是AB、BC、CA边上的点,已知 DE ? AF 求证: . AD ? DB DF ? BE
A
D B F

E

C

小结作业

-16-

1.相等向量与相反向量是并列概念,平 行向量与共线向量是同一概念,相等向 量(相反向量)与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量,都可用同 一条有向线段表示,并且与有向线段的 起点无关.

-17-

3.向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不同的概念,平行向量 (共线向量)对应的有向线段既可以平 行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性,但非零平行 向量和相等向量都具有传递性.

-18-

作业: P77~78习题2.1A组:3,4. B组:1,2.


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