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2013年高考理科数学.函数与导数大题目


2013 年高考理科数学——函数与导数大题目 1.(2013 广西卷 22 题)(本小题满分 12 分) .
已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?
x ?1 ? ? x ? 1? x . (I)若 x ? 0时, f ? x ? ? 0, 求?的最小值;;

1 1 1 1 (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ? ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? ? ln 2. 2 3 n 4n

2.(2013 全国新课标二卷 21 题)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0

3.(2013 北京卷 18 题)(本小题共 13 分)
设 l 为曲线 C: y ? (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方
ln x 在点(1,0)处的切线. x

4.(2013 安徽卷 20 题) (本小题满分 13 分)
x2 x2 xn n 设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N ) ,证明: 2 3 n
2 n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 3

f n ( xn ) ? 0 ;
1 。 n

(Ⅱ) 对任意 p ? N n , (Ⅰ) xn 构成的数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn? p ? 由 中

5. ( 2013 福 建 卷 17 题 ) 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 (
f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

6.(2013 广东卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e ? kx (其中 k ?R ).

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
1 (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ? ? ?2 ?

7.(2013 年河南山西河北卷 21)(本小题满分共 12 分)
已知函数 f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。

8.(2013 湖北卷 22 题)设 n 是正整数, r 为正有理数。
(I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ? ? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;
r ?1

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

?n

r

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

(III)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ?
? 3? 3 3 3 3 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 。令 S ? 81 ? 82 ? 83 ? ? 125 ,求 ? S ? 的值。 ? ?

9.(2013 年湖南卷 22 题) (本小题满分 13 分)
已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?
x?a 。 x ? 2a

(I) ;记 f ( x)在区间? 0, 4? 上的最大值为g(a ),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两 点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

10.(2013 年江苏卷 20 题)(本小题满分 16 分) .
设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数.

(1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的 取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的 结论.

11.(2013 年江西卷题). (本小题满分 14 分)
已知函数 f (x)=a(1-2 x- ) , a 为常数且 a >0 . (1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称; (2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , f (x0 ) ? x0 , 但 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点, 如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围; (3) 对于(2)中的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A (x1,f(f(x1) ) ),B(x2,f(f(x2)) ) ,C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性.
1 2
1 2

12.(2013 年辽宁卷 22 题) (本小题满分 12 分)
已知 f 0 ( x) ? x n,f k ( x) ?
f k??1 ( x) ,其中 k ≤ n(n,k ? N+ ) .设 f k ?1 (1)

0 1 k n F ( x) ? Cn f 0 ( x 2 ) ? Cn f1 ( x 2 ) ? … ? Cn f k ( x 2 ) ? … ? Cn f n ( x 2 ),x ? ? ?11? . ,

(I)写出 f k (1) ;
, (II)证明:对任意的 x1,x2 ? ? ?11? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ≤ 2n?1 (n ? 2) ? n ? 1 .

13. (2013 年山东卷 21 题) (本小题满分 13 分)
设函数 f ( x) ?
x ? c(e ? 2.71828? 是自然对数的底数, c ? R) . e2 x

(1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数.

14.(2013 年陕西卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .

(Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) 与 f (b) ? f (a) 的大小, 2 b?a

并说明理由.

15.(2013 年上海卷 22 题)
设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c
(n ? N ? , b, c ? R) .

(1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内的零点;
2

(2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内存在唯一的零点;
2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有

f 2 (x1 ) ? f 2 (x2 ) ≤ 4

求 b 的取值范围.

16.(2013 年四川卷 21 题)(本小题满分 14 分)
? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 已知函数 f ( x ) ? ? , 其中 a 是实数, A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) 为 设 ?ln x, x ? 0

该函数图象上的点,且 x1 ? x2 . (I)指出函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最 小值; (III)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

17. (2013 年天津卷 20 题)(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ?
f (s) .

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e2 时, 有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

18. 2013 浙江卷 21 题) ( .(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,
函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

19(2013 年重庆卷 17 题)设 f ? x ? ? a ? x ? 5?2 ? 6 ln x ,其中 a ? R ,
曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

2013 年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目 1.(2013 北京卷 18 题)(本小题共 13 分)

设 l 为曲线 C: y ? (I)求 l 的方程;

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

2.(2013 安徽卷 20 题) (本小题满分 13 分)
x2 x2 xn n 设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N ) ,证明: 2 3 n
2 n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 3

f n ( xn ) ? 0 ;
1 。 n

(Ⅱ) 对任意 p ? N n , (Ⅰ) xn 构成的数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn? p ? 由 中 【解析】 (Ⅰ)

xn x 2 x3 x 4 xn ? 当x ? 0时,y ? 2 为单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 n 2 3 4 n
是 x 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数.

且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .
? 存在唯一xn , 满足f n ( xn ) ? 0,且1 ? x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 0

x2 x3 x3 xn x 2 1 ? x n?1 x2 1 当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2
x 1 2 ? 0 ? f n ( x n ) ? ?1 ? x n ? n ? ? ( x n ? 2)(3x n ? 2) ? 0 ? x n ? [ ,1) 4 1 ? xn 3
2 综上,对每个 n ? N n ,存在唯一的 xn ?[ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕) 3
2

(Ⅱ) 由题知

1 ? xn ? xn? p

x x x x ? 0, f n ( x n ) ? ?1 ? x n ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 3 4 n

2

3

4

n

f n? p ( xn? p ) ? ?1 ? xn? p ?
上式相减:

xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

???

xn? p n2

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2

?0

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn xn xn xn xn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? xn? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ??? 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) 2 (n ? p) 2

2

3

4

n

n ?1

n? p

xn - xn? p ? (
? xn? p
n ?1

xn? p - xn 22

2

2

?
n? p

xn? p - xn 32
?

3

3

?

xn? p - xn 42

4

4

???

xn? p - xn n2

n

n

)( ?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2



(n ? 1) 2

???

xn? p

(n ? p) 2

1 1 1 1 1 1 ??? ?( ? ) ??? ( ? ) n ? p ?1 n ? p (n ? 1) 2 (n ? p) 2 n n ? 1

1 1 1 1 ? ? ? ? xn - x n? p ? n n? p n n

3. ( 2013 福 建 卷 17 题 ) 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 (
f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

本小题主要考查函数.函数的导数.不等式等基础知识,考查运算求 解能力,考查函数与方程思想.分类与整合思想,数形结合思想.化 归与转化思想.满分 13 分. 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 1 ? . (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f ?( x ) ? 1 ? ( x ? 0) ,
? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
2 x a x

即 x? y ?2 ?0. (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ? ?
a x x?a , x ? 0 可知: x

①当 a ? 0 时,f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上增函数, 函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;
? x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0
? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.

综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.

4.(2013 广东卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e ? kx (其中 k ?R ).

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
1 (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ? ? ?2 ?

【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2 x ? xe ? 2 x ? x e ? 2
x x x x

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:
x
f ?? x?

? ??, 0 ?
?
?

0
0

? 0, ln 2 ?
?

ln 2

? ln 2, ?? ?
?
?

0

f ? x?

极大 值
?

极小 值

右 表 可 知 , 函 数 f ? x ? 的 递 减 区 间 为 ? 0, ln 2 ? , 递 增 区 间 为

? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? .
(Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,
x x x x

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? 上递增, 所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ?0, k ? 所 以 当 x ? ? 0, ln ? 2k ? ? 时 , 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k
k
k 3 令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

1 1? k ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? 1 ,1? ? ? k k ?2 ?

f ?? x? ? 0

, ? ; 当 x ? ? l n k2? ?? ?

?
k

?

?

3

?

?

k

?

k 令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0

1 1 3 所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?2 ? 1 ? ?2? ? 2?

所以存在 x0 ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ? ? ? 2 ? 2
1 ? ? ?

当 k ? ? x0 ,1? 时, ?

?k ? ? 0 ,

所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ? ? 2
1 ? ? 1 1 7 因为 h ? ? ? ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ? ? ?2? 2 8

所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ? ?
1 ?2 ?

综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k .
k 3

5.(2013 广西卷 22 题)(本小题满分 12 分) .
已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?
x ?1 ? ? x ? 1? x . (I)若 x ? 0时, f ? x ? ? 0, 求?的最小值;;

1 1 1 1 (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ? ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? ? ln 2. 2 3 n 4n

6.(2013 全国新课标二卷 21 题)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0

7.(2013 年河南山西河北卷 21)(本小题满分共 12 分)
已知函数 f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与 导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,

而 f ?( x) = 2x ? b , g ?( x) = e x (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,
F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,

有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2,
) (1)若 1 ? k ? e2 ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时,F ( x) <0,当 x ? ( x1, ??

时,F ( x) >0, F ( x) 在 ( ?2, x1 ) 单调递减, ( x1 , ??) 单调递增, F ( x) 在 x = x1 即 在 故 取最小值 F ( x1 ) ,而 F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e2 ,则 F ?( x) = 2e2 ( x ? 2)(e x ? e2 ) , ∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e2 ,则 F (?2) = ?2ke?2 ? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0, ∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e 2 ].

8.(2013 湖北卷 22 题)设 n 是正整数, r 为正有理数。
(I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ? ? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;
r ?1

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

?n

r

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

(III)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ?
? 3? 3 3 3 3 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 。令 S ? 81 ? 82 ? 83 ? ? 125 ,求 ? S ? 的值。 ? ?

(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 ) 证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ??1 ? x ? ? 1? ? ?
r r

4 3

4 3

4 3

4 3

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0

(II)由(I)知:当 x ? ?1 时, ?1 ? x ? 式了)

r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等

? n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1? r ?1 所证不等式即为: ? r ?1 ? r ?1 r ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? ?

若 n ? 2 ,则 n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r ?1 r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ?
r

r


r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? n n ?1 n ? n?
r

r r ? 1? ,故①式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?

r

若 n ? 1 , n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1? 显然成立。
r ?1

n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?

r ?1

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n ?
r

r

r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? 1 , ? n n ?1 ? n? n

r

r r ? 1? ,故②式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?

r

综上可得原不等式成立。

(III)由(II)可知:当 k ? N * 时, ? k 3 ? ? k ? 1? 3 ? ? k 3 ? ?? k ? 1? 3 ? k 3 ? 4 4
? ? ? ?
4 4 4? ? 3 125 ? 4 3? 3 3 3 3 ? ? S ? ? ? k ? ? k ? 1? ? ? 125 ? 80 ? ? 210.225 4 k ?81 ? ? 4? ?

3?

4

4

?

1

3?

4

4

?

S?

4 4 4 4 ? 3? ? 3 125 ? ? k ? 1? 3 ? k 3 ? ? ? 126 3 ? 813 ? ? 210.9 ?? 4 k ?81 ? ? 4? ?

? ? S ? ? 211 ? ?

9.(2013 年湖南卷 22 题) (本小题满分 13 分)
已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?
x?a 。 x ? 2a

(I) ;记 f ( x)在区间? 0, 4? 上的最大值为g(a ),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两 点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

10.(2013 年江苏卷 20 题)(本小题满分 16 分) .
设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的 取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的 结论. 解: (1) f ?( x) ?
1 1 ? a ≤0 在 (1,??) 上恒成立,则 a ≥ , x x
x ? (1,? ?) .

故: a ≥1. g ?( x) ? e x ? a , 若 1≤ a ≤e,则 g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (1,??) 上恒成立, 此时, g ( x) ? e x ? ax 在 (1,??) 上是单调增函数,无最小值,不合; 若 a >e,则 g ( x) ? e x ? ax 在 (1,ln a) 上是单调减函数,在 (ln a,? ?) 上是单调增 函数, g min ( x) ? g (lna) ,满足.故 a 的取值范围为: a >e. (2) g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (?1,??) 上恒成立,则 a ≤ex, 1 1 1 ? ax 故: a ≤e . f ?( x) ? ? a ? ( x ? 0) . x x 1 1 (ⅰ)若 0< a ≤e ,令 f ?(x) >0 得增区间为(0,a ); 1 令 f ?(x) <0 得减区间为(a ,﹢∞). 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 1 1 1 当 x=a 时,f(a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a = e 时取等号. 1 1 故:当 a =e 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <e 时,f(x)有 2 个零点. (ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点. 1 (ⅲ)若 a<0,则 f ?( x) ? ? a ? 0 在 (0,? ?) 上恒成立, x 即: f ( x) ? ln x ? ax 在 (0,? ?) 上是单调增函数,当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x →﹢∞时,f(x)→﹢∞.此时,f(x)有 1 个零点. 1 1 综上所述: a =e 或 a<0 时, 当 f(x)有 1 个零点; 0< a <e 时 f(x)有 2 个零点. 当

11.(2013 年江西卷题). (本小题满分 14 分)
已知函数 f (x)=a(1-2 x- ) , a 为常数且 a >0 . (4) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称; (5) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , f (x0 ) ? x0 , 但 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点, 如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围; (6) 对于(2)中的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A
1 2
1 2

(x1,f(f(x1) ) ),B(x2,f(f(x2)) ) ,C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性.

12.(2013 年辽宁卷 22 题) (本小题满分 12 分)
已知 f 0 ( x) ? x n,f k ( x) ?
f k??1 ( x) ,其中 k ≤ n(n,k ? N+ ) .设 f k ?1 (1)

0 1 k n F ( x) ? Cn f 0 ( x 2 ) ? Cn f1 ( x 2 ) ? … ? Cn f k ( x 2 ) ? … ? Cn f n ( x 2 ),x ? ? ?11? . ,

(I)写出 f k (1) ;

, (II)证明:对任意的 x1,x2 ? ? ?11? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ≤ 2n?1 (n ? 2) ? n ? 1 .

(22)本小题主要考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数 性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问 题的能力.满分 12 分. (I)解:由已知推得 f k ? x ? ? ? n ? k ? 1? x n?k ,从而有 f k ?1? ? n ? k ? 1 . · 分 3 (II)证法一:当 ?1≤ x ≤1时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ? k ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n ? ? ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 ,

1? 当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, 上是增函数. , 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ? ?1 0? 上是减函数.

, 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?11? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·· 7 分 ·· ··
0 1 2 k n F ?1? ? F ? 0 ? ? Cn ? nCn ? ? n ? 1? Cn ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn ? ? ? 2Cn ?1 n n n 1 0 ? nCn ?1 ? ? n ? 1? Cn ?2 ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn ?k ? ? ? 2Cn ? Cn .

n n n ? ? n ? k ? 1? Cn ?k ? ? n ? k ? Cn ?k ? Cn ?k ? ? n ? k ??

? n ? 1?! ? C k n! k ? Cn ? n ? ? n ? 1 ? k ? !k ! n ? n ? k ? !k !

k k ? nCn ?1 ? Cn ? k ? 1 2, ,n ? 1? , ······················· 分 ,? ······················ 10 ······················
1 2 n ?1 1 2 n 0 ? F ?1? ? F ? 0 ? ? n ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? ? Cn

? n ? 2n ?1 ? 1? ? 2 n ? 1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .

因此结论成立.································ 分 ······························· 12 ······························· 证法二:当 ?1≤ x ≤1时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ? k ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n ? ? ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 ,

1? 当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, 上是增函数. , 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ? ?1 0? 上是减函数.

, 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?11? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·· 7 分 ·· ··
0 1 2 k n F ?1? ? F ? 0 ? ? Cn ? nCn ? ? n ? 1? Cn ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn ? ? ? 2Cn ?1 , 1 2 n 0 又? F ?1? ? F ? 0 ? ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ?1 ? Cn ,

1 2 n ? 2 ? F ?1? ? F ? 0 ? ? ? ? n ? 2 ? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? ? 2 ,············10 分 ············ ···········

? F ?1? ? F ? 0 ? ?

1 1 ? n ? 2? ?Cn ? Cn2 ? ? ? Cnn?1 ? ? 1 2

2n ? 2 ········· ········· ? ? n ? 2 ?? ? 1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .因此结论成立. ········· 12 分 2

证法三:当 ?1≤ x ≤1时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ? k ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n ? ? ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 ,

1? 当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, 上是增函数. , 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ? ?1 0? 上是减函数.

, 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?11? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·· 7 分 ·· ··
k k Cn f k ? x 2 ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ?

n ? ? n ? k ? Cn ? k x

2? n ? k ?

n ? Cn ?k x

2? n ? k ?

2, ? k ? 1, ?,n-1? ,

n 由 ? n ? k ? C n ? k ? ? n ? k ??

? n ? 1?! ? nC n?1?k n! ? n? ,得 n ?1 ? n ? k ?!k ! ? n ? 1 ? k ?!k !
2? n ? 3? 2 n ?1 0 n 0 ? ? ? Cn ?1 ? ? x 2 n ? Cn ?1 x ? ? ? ? ? Cn ?

n? F ? x ? ? nx 2 ?Cn ?12 x ?

2? n ? 2 ?

n? ? Cn ?13 x

? nx 2 ??1 ? x 2 ? ? ?

n ?1

?x

2? n ?1?

? ? ?1 ? x 2 ?n . ····················10 分 ···················· ··················· ? ?

? F ?1? ? F ? 0 ? ? n ? 2n ?1 ? 1? ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .

因此结论成立.································ 分 ······························· 12 ······························· 证法四:当 ?1≤ x ≤1时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ? k ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n ? ? ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 ,

1? 当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, 上是增函数.

又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ? ?1, 0? 上是减函数.
, 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?11? ,恒有
F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? . ······················· 分 ······················ 7 ······················
1 2 k n n ? x ??1 ? x ? ? xn ? ? x ?Cn xn?1 ? Cn xn?2 ? ? ? Cn x n?k ? ? ? Cn ?2 x 2 ? Cn ?1x ? 1? ? ? ? ? n
1 2 k n n ? Cn x n ? Cn x n?1 ? ? ? Cn x n?k ?1 ? ? ? Cn ?2 x3 ? Cn ?1 x 2 ? x

对上式两边求导,得 ??1 ? x ? ? xn ? ? x ?n ?1 ? x ? ? ? ?
n

n ?1

? nxn?1 ? ?

1 2 k n n ? nCn x n ?1 ? ? n ? 1? Cn x n ?2 ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x n ?k ? ? ? 3Cn ?2 x 2 ? 2Cn ?1 x ? 1 ,

??1 ? x ? ? x ?n ?1 ? x ? ?
n

n ?1

? nx n?1 ? ?

1 2 k n n ? x n ? nCn x n?1 ? ? n ? 1? Cn x n?2 ? ? ? ? n ? k ? 1? Cn x n?k ? ? ? 3Cn ?2 x 2 ? 2Cn ?1 x ? 1 ,

? F ? x ? ? ?1 ? x 2 ? ? x 2 ?n ?1 ? x 2 ? ? ?
n

n ?1

? nx

2? n ?1?

? . ··············· 分 ·············· 10 ·············· ? ?

? F ?1? ? F ? 0 ? ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .

因此结论成立.································ 分 ······························· 12 ·······························

13. (2013 年山东卷 21 题) (本小题满分 13 分)
设函数 f ( x) ?
x ? c(e ? 2.71828? 是自然对数的底数, c ? R) . e2 x

(1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数. 解答: (1) f ' ( x) ?
1 2 1? 2x 1 ,令 f ' ( x) ? 0 得, x ? , 2x 2 e

当 x ? (??, ), f ' ( x) ? 0,函数单调递增;
1 1 所以当 x ? 时,函数取得最的最大值 x ? ( , ?), f ' ( x) ? 0,函数单调递减; ? 2 2 1 f max ( x) ? ? c 2e 1 (2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 ? c ,然后递减 2e

到 c,而函数|lnx|是(0,1)时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得, c ? ? 所以当 c ? ? 当c ? ?
1 , e2

1 时,方程有两个根; e2

1 时,方程有一两个根; e2 1 当 c ? ? 2 时,方程有无两个根. e

14.(2013 年陕西卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .

(Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较 【答案】(Ⅰ) e ?2 ; (Ⅱ) 当 m ? (0,
? ( e2 e2 ,有 1 个公共点;当 m ) 时,有 0 个公共点;当 m= 4 4
f (a) ? f (b) 与 f (b) ? f (a) 的大小, 2 b?a

并说明理由.

e2 有 , ?) 2 个公共点; ? 4
f (a) ? f (b) 2

(Ⅲ)

>

f (b) ? f (a) b?a

【解析】 (Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相
?kx 0 ? 1 ? lnx 0 ? 2 ?2 切与点 P(x 0, y 0 ), 则? 。所以 k ? e?2 1 ? x0 ? e ,k ? e k ? g' (x 0 ) ? ? x0 ?

(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公 共点个数即方程 f ( x) ? mx 2 根的个数。 由 f ( x) ? mx 2 ? m ?
ex ex xe x ( x ? 2) , 令h( x) ? 2 ? h' ( x) ? , x2 x x2

则 h(x)在 (0,2)上单调递减,这时h(x) ? (h(2),??); h(x) 在(2,??)上单调递增, 这时h(x) ? (h(2), ??). h(2) ?
h(2)是y ? h(x)的极小值即最小值。

e2 . 4

所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,
e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ,有 1 个公共点;当 m 4 4

? (

e2 有 , ?) 2 个公共点; ? 4 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

(Ⅲ) 设

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ? ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。
g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在(0, ?)上单调递增 ?

,且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增, 而g (0) ? 0,
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

? 当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

15.(2013 年上海卷 22 题)
设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c
(n ? N ? , b, c ? R) .

(1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内的零点;
2

(2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内存在唯一的零点;
2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有

f 2 (x1 ) ? f 2 (x2 ) ≤ 4

求 b 的取值范围.

(2)证明:因为 f n ( )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在
1 ( , 内存在零点 。 1) 2 1 故 x 任取x1、x2 ? ( ,1),且x1 <x2,则f n (x1 )-f n (x 2 )=(x1n -x2 n )+(x1 -x 2 )<0 , f n)( 2

1 2

1 2

1 ( ), 内 1 2

16.(2013 年四川卷 21 题)(本小题满分 14 分)
? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 已知函数 f ( x ) ? ? , 其中 a 是实数, A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) 为 设 ?ln x, x ? 0

该函数图象上的点,且 x1 ? x2 . (I)指出函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最

小值; (III)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

17. (2013 年天津卷 20 题)(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ?
f (s) .

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

18. 2013 浙江卷 21 题) ( .(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,
函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识 点及综合运用能力。 (Ⅰ)(ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b ? 0
? x? b 6a



当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),() g 1} 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,∴|2a-b|﹢a≤1.
? b ? 2a ? b ? 2a ? 取 b 为纵轴,a 为横轴.则可行域为: b ? a ? 1 和 ?3a ? b ? 1 ,目标 ? ?

函数为 z=a+b.作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ? ??,3? .

19(2013 年重庆卷 17 题)设 f ? x ? ? a ? x ? 5?2 ? 6 ln x ,其中 a ? R ,
曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。



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