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独立性检验的基本思想及其初步应用1 (2)


一、目标展示
1、了解独立性检验的基本思想、方法及其初 步应用。 2、会从列联表(只要求2×2列联表)、条形 图直观分析两个分类变量是否有关
3.会用公式判断两个分类变量在某种程度上的 相关性

问题: 数学家庞加莱每天都从一家
面包店买一块1000g 的面包,并记 录下买回的面包的实际质量。一年 后,这位数学家发现,所记录数据 的均值为950g。于是庞加莱推断这 家面包店的面包分量不足。

? 假设“面包分量足”,则一年购买面包的质量 数据的平均值应该不少于1000g ; ? “这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包 分量足”矛盾的小概率事件; ? 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。

相关概念
分类变量
性别变量,取值为:男、女

0

1

这种变量的不同“值”表示个体所属的 不同类别,这类变量称为分类变量
试一试

请举出几个分类变量的例子

为了调查吸烟是否对肺癌有影 响,某肿瘤研究所随机地调查了9965人, 得到如下结果(单位:人)
吸烟与患肺癌列联表(列出两个分类变量的频数 表): 不患肺癌 患肺癌 不吸烟 7775 42 吸烟 2099 49 总计 9874 91 总计 7817 2148 9965

那么吸烟是否会对患肺癌有影响?

二、自主合作 1.列联表
不患肺癌 患肺癌 不吸烟 7775 42 吸烟 2099 49 总计 9874 91 总计 7817 2148 9965
0.54%

在不吸烟者中患肺癌的比重是

在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28% 直观上的结论:吸烟者和不吸烟者患肺癌 的可能性存在差异,吸烟者患肺癌的可能 性大

2.等高条形图
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟

患肺癌 不患肺癌

等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的 比例,可以直观地得出吸烟与患肺癌有关

有一个颠扑不破的真理,那就是当 我们不能确定什么是真的时,我们就 应该去探求什么是最可能的。 笛卡尔

我们能有多大把握认为
“患病与吸烟有关”呢?

三、探究解疑——独立性检验

将问题一般化
不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

不患肺癌 患肺癌 总计 假设H0: 吸烟和患肺癌之间没有关系 不吸烟 a b a+b 用 A 表示“不吸烟”, B d 表示“不患肺癌” 吸烟 c c+d a+c b+d a+b+c+d 则 总计 吸烟和患肺癌之间没有关系 H 0:
等价于

P(AB)= P(A)P(B)

a+b a+c a P(A)≈ ,P(B)≈ ,P(AB)≈ n n n 其中n = a + b + c + d

a a+b a+c ? ≈ × n n n



ad ? bc ad ? bc ? 0.

ad - bc 越小,说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱,

ad - bc 越大,说明吸烟与患肺癌之间的关系越强

引入一个随机变量
2

n(ad - bc) K = (a + b)(c+d)(a +c)(b+d)
P(k2≥k0) k0 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828

2

作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有 关系”的标准 。
临界值表

若K2≥10.828则有99.9%的把握认为A与B有关若 K2≥6.635则有99%的把握认为A与B有关 上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量 有关系”的方法称为独立性检验.

n(ad - bc) 3.独立性检验 K = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
2

2

不患肺癌 患肺癌 不吸烟 7775 42 吸烟 2099 49 总计 9874 91
通过公式计算
2

总计 7817 2148 9965
2

9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099) K ? 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91 ? 56.632 ? 6.635 因此我们有99%的把握认为”吸烟与患肺癌 有关系”

4、独立性检验的步骤 第一步:H0: 吸烟和患肺癌之间没有关系 第二步:列出2×2列联表
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
2

患肺癌 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d
2

n(ad ? bc) 第三步:计算 K ? (a ? c)(b ? d )( a ? b)(c ? d )

第四步:查临界值表,作出判断。

独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.

要确认”两个分类变量有关系”这一结论成立 的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论” 两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们 构造的随机变量K2应该很小.如果由观测数据计 算得到的K2的观测值k很大,则断言H0不成立,即 认为“两个分类变量有关系”;如果观测值k很 小,则说明在样本数据中没有发现足够证据拒 绝H0 .

例题分析 例1. 在某医院,因为患心脏病而住院的665
名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶. (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有 关系 (2)能否在犯错误概率不超过0.01的前提 下认为秃顶与患心脏病有关系?
利用excel做出图形判断

解:根据题目所给数据得到如下列联表: 患心脏病 不患心脏病 秃顶 不秃顶 总计 214 451 665 175 597 772
2

总计 389 1048 1437

根据列联表中的数据,得到

1437 ? (214 ? 597 ?175 ? 451) K ? ? 16.373 ? 6.635. 389 ?1048 ? 665 ? 772
2

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “秃顶患心脏病有关”。 链接

(试一试)为考察高中生的性别与是否喜欢数 学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中 随机抽取300名学生,得到如下列联表:
喜欢数学课程 不喜欢数学 总 计

男 女 总计

37 35 72

85 143 228

122 178 300

由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否 喜欢数学课程之间有关系? 由于4.513>3.841,故有95%的把握认为二者有关
链接

四、反思提高——体验高考 (2010新课标全国卷) 为调查某地区老人是否需 要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地 区调查了500位老年人,结果如下: 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

1.估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮 助的老年人的比例; 2.能否有99%的把握认为该地区的老年人是 否需要志愿者提供帮助与性别有关?
链接

(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者 提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的 老年人的比例的估算值为 70 ? 14%
500
男 40 160 200 女 30 270 300
2

(2) 做出列联表

需要 不需要 总计

总计 70 430 500



500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) K ? ? 9.967 200 ? 300 ? 70 ? 430
2

由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该 地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 链接

课堂小结
知识层面上: 独立性检验的基本思想,实施步骤

思想方法上: 数形结合的思想, 类比的思想
作业:教材习题3.2 1,2

当堂达标
1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下 列说法正确的是 ( c ) A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病 有关,那么100名吸烟者中,有99个患肺病. B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与 患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可 能性患肺病. C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患 肺病有关,是指有5%的可能性使推断出现错误. D. 以上三种说法都不对.

2. 下面是一个

2? 2
21 25 46

列联表 总计

不健康 健 康

不优秀 a 优 秀 2 总 计 b

73 27 100

则表中a,b的值分别是( c ) A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52

3. 在独立性检验中,当统计量满足 时, 我们有99%的把握认为这两个分类变量有 关系.

k2≥6.635

4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多 少的调查,数据如下表: 认为作业多 玩游戏 不玩游戏 总 计 18 8 26 认为作业不多 总计 9 15 24 27 23 50

则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的 把握大约为( B ) A. 99% B. 97.5% C. 90% D.无充分依据

5. 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理 健康有影响,随机进行调查并得到如下的列联表:
不健康 不优秀 优 秀 总 计 41 37 78 健 626 296 922 康 总计 667 333 1000

请问有多大把握认为“高中生学习状况与生 理健康有关”? 2 ? 7.6109 ? 6.635 K 因此有99%的把握认为高中生学习状况与生理 健康有关

宝 剑 锋 从 磨 砺 出

梅 花 香 自 苦 寒 来


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