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无棱二面角三法


问题: 如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=2, AD=1, 能否求出面SCD与面SBA所成的二面角的余 弦值?
你选哪个?

(A) 不是二面角,不能求 (B)是二面角,求不出

“无棱”二面角的 几何解题策略

求二面角的基本方法是按二面角大小的定义,作 出二面角的平面角,求出平面角的大小即可。如 果一个二面角的棱没有画出来,或者只画出 了一个公共点,或者棱画得不够“长”,致使无法 直接从一个特殊点作出其平面角.这时我们的 处理的策略为①“无棱”变有棱; ②几何图形与其 射影的面积之比不变法。

(一)“无棱”变有棱 (1) 平移法 将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置, 使其相交,构成一个易求解的二面角 (2) 补形法 将二面角的两个面延展,确定出两个面的交线, 从而构成一个完整的二面角。 (二) 射影法 设二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,面 ? 内有一个面积为 S 的封闭
S' 图形,该图形在面 ? 内的射影面积为 S',则 cos ? ? S

例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角.
S C B A

D

例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值.
S 补形法 C B A E D

6 3

例 2 如图 1,正三棱柱 ABC? A1B1C1 的各棱长都是 1,M 是棱 C1C 的中点,求截面 A1BM 与 底面 ABC 所成锐角二面角的大小。

延长 A1M 与 AC,相交于点 P,连结 BP, 则所求的二面角是 A1 ? BP ? A (图 3)

? ? 45?

补形法

例 3 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面) 是四边形 ,其中 A 与 A '重合,且 BB'<DD'<CC'.

(1)证明 AD'// 平面 BB'C'C,并指出四边形 AB'C'D’的形状; (2)如果四边形中 AB'C'D’中, 正方形的边长为 ,CC′=3, ,

求平面 ABCD 与平面 AB'C'D’所成 的锐二面角 的余弦值.

连结 AF ,则 AF 是平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 的交线. 在平面 AB'C ' D ' 内作 C 'G ? AF ,垂足为 G , 连结 CG . 因为 CC '? 平面 AB'C ' D ' , AF ? 平面 AB'C ' D ' ,所以 CC '? AF . 从而 AF ? 平面 CC'G , CG ? AF . 所以 ?CGC ' 是平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 所成的一个锐二面角.
D
C

B

补形法
C'

B'
G

F

D'

A(A ')

图5? 2

3 3? 2 C ' A ? C 'F 3 5 2 ? ? 在 Rt△ AC'F 中, C 'G ? , 2 AF 5 ?3 ? ( 3)2 ? ? 2 ? ?2 ?

? 3 5 ? 3 30 ? ? 在 Rt△ CC'G 中, CG ? CC ' ?C 'G ? 3 ? ? . ? 5 ? 5 ? ?
2 2 2

2

C 'G 6 ? 所以 cos? ? cos?CGC '? , CG 6

6 即平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为 . 6

补形法

例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值.
S N 平移法 B A M D C

6 3

例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值.
S
平移法 B N M D C

6 3

A

例 2 如图 1,正三棱柱 ABC? A1B1C1 的各棱长都是 1,M 是棱 C1C 的中点,求截面 A1BM 与 底面 ABC 所成锐角二面角的大小。

如图 2,取 AA1 的中点 D,AB 的中点 E,则平面 DEC 中的 DE// A1B, DC // A1M , 则 A1B // 面 DEC, A1M // 面 DEC,从而面 A1BM // 面 DEC。这样,面 A1BM 与面 ABC 所成的锐二面角 等于面 DEC 与面 ABC 所成 的锐二面角,即二面角 D ? EC ? A 。

? ? 45?
平移法

例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值.
S C 射影法
cosθ ? S射 S原

B

6 ? 3

A

D

例 2 如图 1,正三棱柱 ABC? A1B1C1 的各棱长都是 1,M 是棱 C1C 的中点,求截面 A1BM 与 底面 ABC 所成锐角二面角的大小。

由正三棱柱的条件,可知 ?ABC 是 ?A1BM 在底面内的射影。 取 A 1 B 的中点 N,连结 MN,易求得

MN?

3 , A1 B ? 2

2

则等腰 ?A1BM 的面积

S?

1 6 , A1 B ? M N ? 2 4
3 。 4

等边 ?ABC 的面积 S' ?

设所求二面角的大小为 ? ,由

cos ? ?

S' 2 ,得 ? ? 45? 。 ? S 2

射影法

例 3 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面) 是四边形 ,其中 A 与 A '重合,且 BB'<DD'<CC'.

(1)证明 AD'// 平面 BB'C'C,并指出四边形 AB'C'D’的形状; (2)如果四边形中 AB'C'D’中, 正方形的边长为 ,CC′=3, ,

求平面 ABCD 与平面 AB'C'D’所成 的锐二面角 的余弦值.

由题意,正方形 ABCD 在水平面上的正投影是四边形 A'B 'C ' D ' , .

S AB 'C ' D ' 所以平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值 ? . S ABCD
而 S ABCD ? ( 6 ) ? 6 , S AB 'C ' D ' ? B 'C ' ? AC '? 2 ? 3 ? 6 ,
2

6 所以 cos? ? , 6 6 所以平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为 . 6

射影法

练习1

1.若正四棱锥P—ABCD的侧面是正三角 形.求 (1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角 (2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角

(3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角

练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,

∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 G F SAB所成二面角.
S B A D E

C

H
M


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