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2013届高三数学二轮复习 专题一 第3讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用教案

第3讲
自主学习导引

二次函数、基本初等函数及函数的应用
真题感悟

1 x 1.(2012·)函数 y=a - (a>0,且 a≠1)的图象可能是

a

解析 利用指数函数的图象与性质解答. 1 1 x 当 a>1 时,y=a - 为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1,排除 A,B.

a

a

1 1 x 当 0<a<1 时,y=a - 为减函数,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故选 D.

a

a

答案 D 2.(2012·)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π ]上的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 解析 分别判断 y=x 和 y=cos 2x 的零点.

y=x 在[0,2π ]上的零点为 x=0,y=cos 2x 在[0,2π ]上的零点 x= ,
所以 f(x)在区间[0,2π ]上的零点个数为 5. 答案 D

π 4

3π 5π 7π , , , 4 4 4

考题分析 对于基本初等函数,高考主要考查其图象与性质,题目较容易;基本初等函数的应用、函数 与方程是近几年高考的热点,考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根 据零点的个数求参数的范围.题型一般为选择题或填空题,难度中等. 网络构建

高频考点突破 考点一:二次函数 【例 1】已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
-1-

(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. [审题导引] (1)把二次函数式配方并求其最值; (2)利用对称轴与区间的位置关系求 a 的取值范围. [规范解答] (1)当 a=-1 时,

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
∴x=1 时,f(x)取得最小值 1;

x=-5 时,f(x)取得最大值 37.
(2)函数 f(x)=(x+a) +2-a 的图象的对称轴为直线 x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5 或-a≥5. 故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 【规律总结】 二次函数最值的求法 求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合,特别是含参数的两种类型: “定轴动 区间,定区间动轴”的问题,抓住“三点一轴” ,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴 指的是对称轴. 【变式训练】 1.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,可得判别式Δ =m2-4>0,解得 m>2, 或 m<-2,故选 C. 答案 C 2 2.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)= A.- 2a
2 2

b

B.-

b a b

C.c

4ac-b D. 4a

2

解析 ∵f(x1)=f(x2), ∴f(x)的对称轴为 x0=- = 2a

x1+x2
2



得 f(x1+x2)=f?- ?=a· 2+b·?- ?+c=c. 答案 C 考点二:指数函数、对数函数及幂函数 【例 2】(1)(2012·模拟)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则

? b? ? a?

b2 a

? b? ? a?

a、b 满足的关系是

-2-

A.0<a-1<b-1<1 C.0<b-1<a<1

B.0<b<a-1<1 D.0<a-1<b<1

(2)(2012·模拟)已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈N+)的图象与 x 轴、y 轴无交点且关于原点 对称,则 m=________. [审题导引] (1)利用对数函数的图象特征及指数函数的相关性质解决; (2)令 m2-2m-3<0 解不等式,结合函数的奇偶性求得 m,但要注意 m∈N+. [规范解答] (1)由图知函数 f(x)的零点 x0>0, 即 f(x0)=loga(2x0+b-1)=0,得 2x0+b-1=1, ∴b=2-2x0. ∵x0>0,∴2x0>1,∴b<1. 由图知 f(0)=loga(20+b-1)>-1,且 a>1, ∴logab>-1,即 b>a-1,故 0<a-1<b<1. (2)∵幂函数 y=xm2-2m-3(m∈N+)的图象与 x 轴、y 轴无交点, ∴m2-2m-3=(m-3)(m+1)<0,即-1<m<3. 又 m∈N+,∴m=1 或 m=2, 当 m=1 时,y=m-4 是偶函数,当 m=2 时满足题意. [答案] (1)D (2)2 【规律总结】 利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值) (1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关,故解题时要特别关注函数的单调性; (2)在涉及函数的图象时,需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求 解. [易错提示] (1)涉及对数函数与幂函数时,需注意其定义域; (2)在幂函数的有关计算中,要注意参数值的验证.

-3-

3.若 x∈(e

-1,

?1?ln x ln x 1),a=ln x,b=? ? ,c=e ,则 ?2?
B.b>a>c D.b>c>a
-1,

A.c>b>a C.a>b>c 解析 ∵x∈(e

1),y=ln x 为(0,+∞)上的增函数,

?1?x ∴a=ln x∈(-1,0),因为 y=? ? 为 R 上的减函数,且 ln x∈(-1,0), ?2? ?1?ln x ??1?0 ?1?-1? 故 b=? ? ∈?? ? ,? ? ?,即 b∈(1,2); ?2? ??2? ?2? ?
因为 c=e 答案 D 4.(2012·北京东城二模)已知函数 f(x)=x 2 ,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 0<x1<x2,则
1

ln x

=x∈(e ,1),

-1

故 b>1>c>0>a,所以 b>c>a.

f? x1? +f? x2? ?x1+x2?. x2f(x1)<x1f(x2);④若 0<x1<x2,则 <f? ? 2 ? 2 ?
其中,所有正确命题的序号是________. 解析 若 x>1,则 f(x)= x>1,故①正确; 令 x2=4,x1=1,知②③都不正确; ∵f(x)=x 2 是上凸函数,根据其图象可知④正确. 答案 ①④ 考点三:函数的零点
?x+3, x≤1, ? 【例 3】(1)已知 f(x)=? 2 ? ?-x +2x+3, x>1,
1

则函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数为

x

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)(2012·大同模拟)已知函数 f(x)=?

? x-1, x>0, ?2-|x|+1, x≤0,

若关于 x 的方程 f(x)+2x-k

=0 有且只有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围为________. [审题导引] (1)利用函数 f(x)的图象与 y=ex 的图象交点的个数来求解 g(x)零点的个数; (2)利用数形结合法求解. [规范解答] (1)函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数,即为函数 f(x)与 y=ex 的图象交点的个 数,如图所示,作出函数 f(x)与 y=ex 的图象,由图象,可知两个函数图象有两个交点, ∴函数 g(x)=f(x)-ex 有两个零点,故选 B.

-4-

(2)易知 f(x)=?

? x-1, x>0, ?2x+1, x≤0,

把方程 f(x)+2x-k=0 化为 f(x)=-2x+k, 在同

一坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=-2x+k 的图象,由图知-1<k≤2.

[答案] (1)B (2)-1<k≤2 【规律总结】 1.涉及函数的零点问题的常见类型 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:①数值的确定;②所在区间的确定;③个数 的确定.解决这类问题的常用方法有解方程,根据区间端点函数值的符号数形结合,尤其是 那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. 2.确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法:若方程易解时应用此法. (2)利用零点的存在性定理. (3)利用数形结合法,尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数 以及三角函数等方程多以数形结合法求解. 【变式训练】 5.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) 解析 C.(0,1) D.(1,2) 1 1 由题意可知 f(-2)= -6<0,f(-1)= -3<0,f(0)=1>0,f(1)>0,f(2) 4 2

>0,f(-1)f(0)<0,因此函数 f(x)在区间(-1,0)上一定有零点. 答案 B 6.(2012·模拟)已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](常数 a>0),其 图象如图所示,则方程 f[g(x)]=0 根的个数为

A.2

B.3

C.5

D.6
-5-

解析 由 f(x)的图象可知方程 f(x)=0 有三个根,分别设为 x1,x2,x3, ∵f[g(x)]=0,∴g(x)=x1,g(x)=x2 或 g(x)=x3, ∵-a<x1<a,g(x)∈[-a,a], ∴由 g(x)的图象可知 y=x1 与 y=g(x)的图象有两个交点, 即方程 g(x)=x1 有两个根, 同理 g(x)=x2,g(x)=x3 各有两个根, 所以方程 f[g(x)]=0 有 6 个根. 答案 D 考点四:函数的实际应用 【例 4】 (2012·模拟)如图,需在一张纸上印上两幅大小完全相同,面积都是 32 cm2 的照

片.排版设计为纸上左右留空各 3 cm,上下留空各 2.5 cm,图间留空为 1 cm.照此设计,则 这张纸的最小面积是________cm2.

[审题导引] 设照片的长为 x cm,则这张纸的面积可用 x 来表示,即可求得其最小值. 32 [规范解答] 设照片的长为 x cm,则宽为 cm,

x

? 32 ? 所以纸的面积 y=(x+6)?2× +6? ?
x

?

?32 ? =2(x+6)? +3?(x>0), ?x
x

?

y=2?3x+
≥6?2

? ?

192 64 +18?=6?x+ +6? ? ? ?

?

?

x

?
64

? ?

2 x× +6?=6(16+6)=132 cm ,当且仅当 x= ,即 x=8 时等号成立. x x ?

64

?

[答案] 132 【规律总结】 应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键,转化来源于对已知条件的综合 分析、归纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类. (2)用相关的函数知识进行合理设计,确定最佳解题方案,进行数学上的计算求解. (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答.
-6-

【变式训练】 7.(2012·模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC ⊥平面 ACD,得到如图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M、N 分别为线段 DC、BO 上 的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图象大致 是

解析 ∵AB=2 2, 1 ∴AC=4,BO= AC=2,ON=2-x. 2

S△AMC=S△ADC-S△ADM
1 =4- ·2 2·(2 2-x)= 2x, 2 易知 BO⊥平面 ADC. 1 2 ∴VN-AMC=f(x)= × 2x·(2-x)= x(2-x). 3 3 故选 B. 答案 B 名师押题高考 【押题 1】设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 A.(-∞,0) C.(-∞,loga3) B.(0,+∞) D.(loga3,+∞)

解析 因为 0<a<1,所以 y=logax 为(0,+∞)上的减函数, 因为 f(x)<0,即 loga(a2x-2ax-2)<0, 则 a2x-2ax-2>1, 设 t=ax,则 t>0,不等式变为 t2-2t-3>0, 即(t+1)(t-3)>0,解得 t>3 或 t<-1(舍去). 由 ax>3,解得 x<loga3,故选 C.
-7-

答案 C [押题依据] 高考对指数函数与对数函数的考查一般集中在函数的单调性与图象上,本题考 查了指数函数、对数函数的单调性,不等式的解法以及换元的数学思想、综合性较强.体现 了灵活性与能力性,故押此题.
?2, x>m, ? 【押题 2】 已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +4x+2 x≤m,

的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,

则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,-1] C.[-1,2] B.[-1,2) D.[2,+∞)

解析 在同一坐标系内作出直线 y=x 与函数 y=x2+4x+2 的图象, ∵直线 y=x 与 y=f(x)有三个交点, 故 y=x 与 y=x2+4x+2 有两个交点. 与 y=2 有一个交点,∴-1≤m<2.

答案 B [押题依据] 本题考查了函数零点个数的判断方法以及参数的求法,同时突出了对数形结合 的数学思想方法的考查.难度中等、题目典型,故押此题

-8-



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