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浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式


第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin α +cos α =1; sin α (2)商数关系:tan α = . cos α 2.诱导公式 组序 一 2kπ +α (k ∈Z) 二 三 四 五 π - 2 α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α - cos_α - tan_α 函数名改变符号看象 限 cos α sin α 六 π +α 2
2 2



π +α

-α

π -α

正弦

sin α

cos_α

余弦

cos α

-sin α

正切

tan α

口诀 记忆规律

函数名不变,符号看象限 奇变偶不变,符号看象限

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)若 α ,β 为锐角,则 sin α +cos β =1.( sin α (2)若 α ∈R,则 tan α = 恒成立.( cos α ) )
2 2

)

(3)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.(

π (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数 2 倍、偶数倍,变与不变指函数名称是否变化.( [答案] (1)? (2)? (3)? (4)√ )

1

5 2.(教材改编)已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α 等于( 13 5 A.- 13 C. B 5 13 5 [∵sin α = ,α 是第二象限角, 13 12 B.- 13 D. 12 13

)

12 2 ∴cos α =- 1-sin α =- .] 13 1 4 4 3.(2017?陕西质检(二))若 tan α = ,则 sin α -cos α 的值为( 2 1 A.- 5 C. B 1 5 3 B.- 5 D. 3 5
2 2 2

)

sin α -cos α tan α -1 4 4 2 2 2 2 [sin α -cos α =(sin α -cos α )(sin α +cos α )= 2 = 2 2 sin α +cos α tan α +1

3 =- ,故选 B.] 5 4.sin 750°=________. 1 2 1 [sin 750°=sin(750°-360°?2)=sin 30°= .] 2

?π ? 3 ? π? 5.已知 sin? +α ?= ,α ∈?0, ?,则 sin(π +α )=________. 2? ?2 ? 5 ?
【导学号:51062098】 - 4 3 4 ?π ? ? π? 2 [因为 sin? +α ?=cos α = ,α ∈?0, ?,所以 sin α = 1-cos α = , 2? 5 5 5 ?2 ? ?

4 所以 sin(π +α )=-sin α =- .] 5

同角三角函数基本关系式的应用

1 5π 3π (1)已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为( 8 4 2 A.- 3 2 B. 3 2

)

2

3 C.- 4

D.

3 4 )

3 2 (2)若 tan α = ,则 cos α +2sin 2α =( 4 A. 64 25 B. D. 5π 3π (2)A [(1)∵ <α < , 4 2 48 25 16 25

C.1 (1)B

∴cos α <0,sin α <0 且 cos α >sin α , ∴cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2? = , 8 4 ∴cos α -sin α = 3 . 2
2

3 cos α +4sin α cos α 1+4tan α 2 (2) ∵ tan α = , 则 cos α + 2sin 2α = = = 2 2 2 4 sin α +cos α tan α +1 3 1+4? 4 64 = ,故选 A.] ?3?2+1 25 ?4? ? ? sin α 2 2 [规律方法] 1.利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用 cos α =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时要注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. 3.注意公式逆用及变形应用: 1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1- sin α . π? 1 ? [变式训练 1] 设 θ 为第二象限角, 若 tan?θ + ?= , 则 sin θ +cos θ =________. 4? 2 ? - π? 1 10 1+tan θ 1 1 ? [∵tan?θ + ?= ,∴ = ,解得 tan θ =- . 4? 2 5 1-tan θ 2 3 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin θ +cos θ +2sin θ ?cos θ 2 ∴(sin θ +cos θ ) = 2 2 sin θ +cos θ 1 2 - +1 2 tan θ +2tan θ +1 9 3 2 = = = . 2 tan θ +1 1 5 +1 9 1 ∵θ 为第二象限角,tan θ =- , 3
3

3π 10 ∴2kπ + <θ <2kπ +π ,∴sin θ +cos θ <0,∴sin θ +cos θ =- .] 4 5 诱导公式的应用 sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? (1)已知 A= + (k∈Z), 则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( ) A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

3 ?π ? ? 5π ? (2)已知 tan? -α ?= ,则 tan? +α ?=________. ?6 ? 3 ? 6 ? (1)C (2)- 3 3 sin α cos α [(1)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α - =-2. sin α cos α

k 为奇数时,A=
(2)tan?

?5π +α ?=tan?π -π +α ? ? ? ? 6 ? 6 ? ? ?

? ?π ?? =tan?π -? -α ?? ? ?6 ??
3 ?π ? =-tan? -α ?=- .] 6 3 ? ? [规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在

的关系, 尤其是角之间的互余、 互补关系, 选择恰当的公式, 向所求角和三角函数进行化归. 2.诱导公式的应用原则:负化正、大化小、小化锐、锐求值. [ 变 式 训 练 2] π? 3 ?π ? ?5π ? 2? 已 知 cos ? -α ? = , 则 cos ? +α ? - sin ?α - ? 的 值为 6? ?6 ? 3 ? 6 ? ?

________. 【导学号:51062099】 - 2+ 3 3 [∵cos?

?5π +α ?=cos?π -?π -α ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

3 ?π ? =-cos? -α ?=- , 3 ?6 ? π? ?π ?? ? 2? 2? 2?π sin ?α - ?=sin ?-? -α ??=sin ? -α ? 6? ? ? ?6 ?? ?6 ?

? 3?2 2 ? 2?π =1-cos ? -α ?=1-? ? = , 6 ? ? ?3? 3
∴cos?

?5π +α ?-sin2?α -π ?=- 3-2=-2+ 3.] ? ? 6? 3 3 3 ? 6 ? ? ?
同角关系式与诱导公式的综合应用

4

π? 3 π? ? ? (1)已知 θ 是第四象限角,且 sin?θ + ?= ,则 tan?θ - ?=________. 4? 5 4? ? ? (2)(2017? 郑 州 质 检 ) 已 知
3

π? ?π ? ? cos ? +α ? = 2sin ?α - ? , 则 2 2? ? ? ?

sin ?π -α ?+cos?α +π ? 的值为________. ?5π ? ?7π -α ? 5cos? -α ?+3sin? ? ? 2 ? ? 2 ? 4 3 (1)- (2) 3 35 π? 3 π? ? ? [(1)由题意知 sin?θ + ?= , θ 是第四象限角, 所以 cos?θ + ?> 4? 5 4? ? ? π? 4 2? 1-sin ?θ + ?= . 4? 5 ? 1 π? ? tan?θ + ? 4? ?

π? ? 0,所以 cos?θ + ?= 4? ?

π? π π? ? ? tan?θ - ?=tan?θ + - ?=- 4? 4 2? ? ? π? 4 ? cos?θ + ? 4 5 4 ? ? =- =- =- . π 3 3 ? ? sin?θ + ? 4 5 ? ? π? ?π ? ? (2)∵cos? +α ?=2sin?α - ?, 2 2? ? ? ?

∴-sin α =-2cos α ,则 sin α =2cos α , 1 2 2 2 代入 sin α +cos α =1,得 cos α = . 5 sin ?π -α ?+cos?α +π ? sin α -cos α = 5 7 5sin α -3cos α ? ? ? ? 5cos? π -α ?+3sin? π -α ? ?2 ? ?2 ? = 8cos α -cos α 8 1 3 2 = cos α - = .] 7cos α 7 7 35 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化
3 3 3

[规律方法]

简要求:(1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数; ③整理得最简形式. (2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结 构尽可能简单,能求值的要求出值. [ 变式训练 3]

?π (2016?浙江模拟训练卷 ( 三 )) 已知 cos ? +α ?2

? = 2 ,则 sin α = ? 3 ?

?π ? ________,sin? +2α ?=________. ?2 ?
- 2 1 2 ?π ? 2 ?π ? 2 [由 cos? +α ?= ,得 sin α =- ;sin? +2α ?=cos 2α =1-2sin α 2 3 9 3 ? ? 3 ?2 ?

5

1 = .] 9

[思想与方法] 三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 进行弦、切互化. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. π 2 2 2 2 (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan 等. 4 (4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤. [易错与防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负—脱周—化锐.应特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 课时分层训练(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题
2

6

1 ? π ? 1.若 cos α = ,α ∈?- ,0?,则 tan α 等于( 3 ? 2 ? A.- 2 4 B. 2 4

)

C.-2 2 C

D.2 2

? π ? [∵α ∈?- ,0?, 2 ? ?
2

∴sin α =- 1-cos α =- sin α ∴tan α = =-2 2.] cos α

2 ?1?2 1-? ? =- 2, 3 3 ? ?

π 2.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 C. D π 6 π B.- 3 D. π 3

)

[∵sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),

π π ∴-sin θ =- 3cos θ ,∴tan θ = 3.∵|θ |< ,∴θ = .] 2 3 3. cos 350°-2sin 160° =( sin?-190°? ) B.- D. 3 3 2

A.- 3 C. D 3 2

cos?360°-10°?-2sin?180°-20°? [原式= = -sin?180°+10°?

cos 10°-2sin?30°-10°? = -?-sin 10°? 3 ?1 ? cos 10°-2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? = 3.] sin 10° π? 4? 4.(2017?宁波镇海中学二诊)已知 sin θ +cos θ = ?0<θ < ?,则 sin θ -cos θ 4? 3? 的值为( A. 2 3 ) B.- 2 3

7

C. B

1 3 4 [∵sin θ +cos θ = , 3

1 D.- 3

16 ∴1+2sin θ cos θ = , 9 7 π ∴2sin θ cos θ = .又 0<θ < , 9 4 故 sin θ -cos θ =- ?sin θ -cos θ ? = - 1-2sin θ cos θ =- 2 ,故选 B.] 3
2

5.(2017?浙江杭州五校联盟高三一诊)已知倾斜角为 θ 的直线与直线 x-3y+1=0 2 垂直,则 =( 2 2 3sin θ -cos θ A. C. C =-3, ∴ = 2 2?sin θ +cos θ ? = 2 2 2 3sin θ -cos θ 3sin θ -cos θ
2 2 2

) 10 B.- 3 10 D.- 13

10 3 10 13

1 [直线 x-3y+1=0 的斜率为 ,因此与此直线垂直的直线的斜率 k=-3,∴tan θ 3

2?tan θ +1? 2?[?-3? +1] 10 ,把 tan θ =-3 代入得,原式= = .故选 C.] 2 2 3tan θ -1 3??-3? -1 13

2

2

二、填空题

?π ? 1 ?π ? 6.若 sin? -α ?= ,则 cos? +α ?=________. 【导学号:51062100】 6 ? ? 3 ?3 ?
1 3

?π ?π ?? ?π ? [cos? +α ?=cos? -? -α ?? 6 3 2 ? ?? ? ? ?

?π ? 1 =sin? -α ?= .] 6 ? ? 3
1 7.已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = ,则 tan α =________. 5 1 ? ?sin α +cos α = , 4 5 - [由? 3 2 2 ?sin α +cos α =1, ?

8

消去 cos α 整理,得 25sin α -5sin α -12=0, 4 3 解得 sin α = 或 sin α =- . 5 5 因为 α 是三角形的内角, 4 所以 sin α = . 5 1 3 又由 sin α +cos α = ,得 cos α =- , 5 5 4 所以 tan α =- .] 3 8.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan α +sin α ?
2 2

1+

1 =________. 2 tan α

【导学号:51062101】 0 [原式=cos α sin α 1+ 2 +sin α cos α 1 2 sin α
2

cos α 1+ 2 sin α

2

=cos α =cos α ? =0.] 三、解答题

1 +sin α 2 cos α

1 ? ?+sin α 1 ? sin α ?-cos α ?

9. 求值: sin(-1 200°)?cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050°)+tan 945°. [解] 945°4 分 =-sin 120°?cos 210°+cos 300°?(-sin 330°)+tan 225°8 分 =(-sin 60°)?(-cos 30°)+cos 60°?sin 30°+tan 45°12 分 =?- 原式=-sin 1 200°?cos 1 290°+cos 1 020°?(-sin 1 050°)+ tan

? ?

3? ? 3? 1 1 ???- ?+2?2+1=2.14 分 2? ? 2?

10.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α .
2

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

[解] 由已知得 sin α =2cos α .2 分 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- .7 分 5?2cos α +2cos α 6
9

sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α sin α +sin α 8 = = .14 分 1 5 2 2 sin α + sin α 4 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1. 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x, 当 0≤x<π 时, f(x)=0, 则 f? =( A. ) 1 2 B. 3 2
2 2

2

?23π ? ? ? 6 ?

C.0 A [由 f(x+π )=f(x)+sin x,得

1 D.- 2

f(x+2π )=f(x+π )+sin(x+π )
=f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以 f?

?23π ?=f?11π +2π ? ? ? ? ?6 ? ?6 ?

5 ? ?11 ? ? =f? π ?=f?π + π ? 6 ? ?6 ? ? 5 ?5 ? =f? π ?+sin π . 6 ?6 ? 因为当 0≤x<π 时,f(x)=0, 所以 f?

?23π ?=0+1=1.] ? 2 2 ?6 ?

?π ? 且 sin 2θ =sin?θ +π ?, 2. (2016?浙江高考冲刺卷(二))若 θ ∈? ,π ?, 则 sin 2θ ? 4? ?2 ? ? ?
=________,tan θ =________. - 1 2 -2+ 3 π? 2 ? [由 sin 2θ =sin?θ + ?,得 sin 2θ = (sin θ +cos θ ),两边 4? 2 ?

1 1 ?π ? 2 平方得 sin 2θ = (1+sin 2θ ),解得 sin 2θ =- 或 sin 2θ =1.又 θ ∈? ,π ?,∴2θ 2 2 ?2 ? π? 1 1 ? ∈(π ,2π ),则 sin 2θ <0,故 sin 2θ =- ,则有 sin?θ + ?=sin 2θ =- . 4? 2 2 ? 3π π 5π 显然 <θ + < , 4 4 4

10

π? π? 3 3 ? ? ∴cos?θ + ?=- ,∴tan?θ + ?= . 4? 4? 3 2 ? ? 3 -1 3 π π ?? ? ? ∴tan θ =tan ??θ + ?- ?= =-2+ 3.] 4? 4? ?? 3 1+ 3 3π ? ? sin?π -α ?cos?2π -α ?tan?-α + ? 2 ? ? 3.已知 f(α )= . π ? ? tan? +α ??sin?-π -α ? ?2 ? (1)化简 f(α ); 3π ? 1 ? (2)若 α 是第三象限角,且 cos?α - ?= ,求 f(α )的值. 【导学号:51062102】 2 ? 5 ? 3π ? ? sin α ?cos α ?tan?-α + -2π ? 2 ? ? [解] (1)f(α )= ?π ? tan? +α ??sin α ?2 ?

? ?π ?? sin α ?cos α ??-tan? +α ?? ? ?2 ?? = ?π ? tan? +α ??sin α ?2 ?
=-cos α .7 分 3π ? 1 ? (2)∵cos?α - ?=-sin α = , 2 ? 5 ? 1 ∴sin α =- ,10 分 5 2 6 2 又 α 是第三象限角,∴cos α =- 1-sin α =- , 5 2 6 故 f(α )= .14 分 5

11


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