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3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算教案2新人教A版选修2


复数代数形式的乘除运算 教 学 设 计 讲解新课: 教师 1.乘法运算规则: 手记: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算: 2 (1)(3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i) . 2 2 解: (1)(3+4i) (3-4i) =3 -(4i) =9-(-16)=25; 2 2 (2) (1+ i) =1+2 i+i =1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数 叫做互为共轭复数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数 z 的共轭复数为 z 。 4. 复数除法定义: 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复 数 a+bi 除以复数 c+di 的商,记为:(a+bi) ? (c+di)或者 5.除法运算规则: (a+bi)÷(c+di)= a ? bi c ? di ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2 点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是 采用的分母有理化思想方法,而复数 c+di 与复数 c-di,相当于我们初中学 习的 3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,而(c+di)·(c 2 2 -di)=c +d 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) 解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ? 1 ? 2i 3 ? 4i ? (1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5 例 4 计算 解: (1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i 1 (1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i 7 ? i ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i 3 ? 4i ? (7 ? i )(3 ? 4i ) 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? ? 1 ? i. 25 25 32 ? 4 2 例 5 已知 z 是虚数,且 z+ 1 z ?1 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1 证明:设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0),于是 z+ 1 a ? bi a b 1 ?a? 2 ? (b ? 2 )i . =a+bi+ =a+bi+ 2 2 2 z a ?b a ?b a ? b2 a ? bi b 1 ∈R,∴b- 2 =0. z a ? b2 2 2 ∵z+ ∵b≠0,∴a +b =1. ∴ z ? 1 (a ? 1) ? bi [(a ?

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