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高中数学 2.2.2对数函数及其性质(1)精讲精析 新人教A版必修1


课题:2.2.2 对数函数及其性质(1) 精讲部分
学习目标展示 (1)理解对数函数的概念(2)掌握对数函数的图象(3)掌握对数函数当底数变化时,函 数图象的变化规律(4)会求对数形式的函数的定义域 衔接性知识 1. 将 a b ? N (a ? 0 且 a ? 1) 转化为对数式 2. 求值 log9
4

27

基础知识工具箱 要 点 对 数 函 数 定义 一般地,函数 y ? loga x (a ? 0 且 a ? 1) 叫 做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域为 (0 , ? ?) 符号

f ( x) ? loga x (a ? 0 且 a ? 1)
注: y ? a x 与 y ? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 互 为反函数

a ?1
对 数 函 数 的 图 象

0 ? a ?1

对 数 函 数 的 图 象 特 征

(1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,图象逐渐上升 (4)图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都小于 0.

(1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,图象逐渐下降 . (4)在(1,0)点右边的纵坐标都小于 0, 在(1,0)点左边的纵坐标都大于 0 .

1

注意:当底与真数均大于 1 或均大于 0 小于 1,则 log a x ? 0 ;当底与真数一个大于 1 另一 具大于 0 小于 1,则 log a x ? 0 (1) y ? log a x 与 y ? log 1 x (a ? 0 且 a ? 1) 的图象关于 x 轴对称
a

底 不 同 的 两 个 图 象 的 关 系

y ? log a x y ? logb x
几个不同的指数函数的图象规律: 当 x ? 1 时,图象是“底大图低” 即b ? a ?1? d ? c ? 0

y ? log c x y ? log d x

指数函数与对数函 数的关系 典例精讲剖析

y ? a x 与 y ? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 互为反函数,它们的图象关于直
线 y ? x 对称

例 1. 函数 y ? log a (2 的图象恒过定点 x ? 5) ? 4 解:令 2 x ? 5 ? 1,得 x ? 3 所以当 x ? 3 时, y ? log a 1? 4 ? 4 , 函数 y ? log a (2 的图象恒过定点 (3 , 4) x ? 1) ? 4 例 2. 已 知 f ( x ) 是 对 函 数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 的 反 函 数 , 并 且 f ( x ) 的 图 象 经 过
x

P( 3 ,

1 3 ) ,求 f ( ) 的值 2 3
x

解: ? f ( x) 是对函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 的反函数

? f ( x) ? log a x
又 f ( x ) 的图象经过 P ( 3 ,

1 1 ), ? log a 3 ? 2 2

? a 2 ? 3 ,即 a ? 3 ,

1

2

? f ( x) ? log3 x
所以 f (

3 3 ) ? log 3 3 3
? log 3 3 ? log 3 3 ? 1 1 ?1 ? ? 2 2
( 3 ) y ? log( x?1) (16 ? 4 )
x

例 3. 求下列函数的定义域: ( 1 ) y ? log a x
2

(2) y ? log a (4 ? 2x)

解: ( 1 )要使解析式有意义,则 x 2 ? 0 , ? x ? 0 所以函数的定义域为 (?? , 0)? (0 ,? ? ) ( 2 )要使解析式有意义,则 4 ? 2 x ? 0 , ? x ? 2 所以函数的定义域为 (?? , 2) ( 3 )要使解析式有意义,则

?16 ? 4 x ? 0 ? ?x ?1 ? 0 , ?x ?1 ? 1 ?
?? 1 ? x ? 2 且 x ? 0
所以函数的定义域为 (? 1 , 0)? (0 , 2) 例 4. 求函数 f ( x) ? log2 | x | 的定义域,并画出它的图象. 解:要使解析式有意义,则 | x |? 0, ? x ? 0 所以函数的定义域为 (?? , 0)? (0 ,? ? ) 函数解析式可化为 f ( x) ? log 2 | x |? ?

( x ? 0) ?log2 x ?log2 (? x) ( x ? 0)

其图象如图所示(其特征是关于 y 轴对称).

3

y

· · –2

·
0 –1 ·

· 1 ·

2

x

精练部分 A 类试题(普通班用) 1.下列函数是对数函数的是 A. y ? log a x (a ? 0 且 a ? 1)
2

(

)

C. y ? log a2 x (a ? 0 且 a ? 1) [答案] C [解析] 由对数函数定义知选 C.

1 B. y ? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 2 D. y ? log a | x | (a ? 0 且 a ? 1)

2. 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? a x 与 y ? log a (? x) 的图象只能是

(

)

[答案] B [解析] 由 y ? log a (? x) 的定义域为 (?? , 0) 否定 A、 C, 又由 B、 D 中对数函数图象知 a ? 1 , 因此否定 D,故选 B. 3. 如下图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象, 已知 a 的取值分别为 则相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次是

4 1 3 、 3、 、 , 3 10 5

[答案]

4 3 1 3、 、 、 3 5 10

[解析] 根据对数函数图象的变化规律“底大图低” ,可得相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次

4

是 3、

4 3 1 、 、 . 3 5 10

4. 已知 f ( x ) 是对数函数,且 f ( x ) 的图象过点 P(27 , ? 6) ,求 f ( x ) 的解析式 解:设 f ( x) ? loga x (a ? 0 且 a ? 1) ,则

? f ( x) 的图象过点 P(27 , ? 6) ,?log a 27 ? ?6 , a ?6 ? 27
又 ? a ? 0 ,? a ? 27
? 1 6

? (33 )

?

1 6

?3

?

1 2

?

3 3

? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? log
5. 求下列函数的定义域: (1)f ( x) ? log 2 (2 x ? 1)

3 3

x 的解析式

(2) f ( x) ?

1 log 1 (3x ? 2)
2

(3)f ( x) ?

1 ? log 4 (3x ? 2)

解: (1)使解析式有意义,则 log2 (2 x ?1) ? 0 ,

? 底数 2 ? 1 ,? 2 x ? 1 ? 1,即 x ? 1
所以函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ? ?) (2)使解析式有意义,则 log 1 (3x ? 2) ? 0 ,
2

? 底数 0 ?

1 2 ? 1 ,? 0 ? 3x ? 2 ? 1 ,即 ? x ? 1 2 3 2 所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( , 1) 3
(3)使解析式有意义,则 ? log4 (3x ? 2) ? 0 ,即 log 4 (3x ? 2) ? 0

? 底数 4 ? 1 ,? 0 ? 3x ? 2 ? 1 ,即
所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( , 1)

2 ? x ?1 3

2 3

B 类试题(3+3+4) (尖子班用) 1.下列函数是对数函数的是 A. y ? log a x (a ? 0 且 a ? 1)
2

( B. y ?

)

C. y ? log a2 x (a ? 0 且 a ? 1)

1 log a x (a ? 0 且 a ? 1) 2 D. y ? log a | x | (a ? 0 且 a ? 1)
5

[答案] C [解析] 由对数函数定义知选 C. 2. 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? a x 与 y ? log a (? x) 的图象只能是 ( )

[答案] B [解析] 由 y ? log a (? x) 的定义域为 (?? , 0) 否定 A、 C, 又由 B、 D 中对数函数图象知 a ? 1 , 因此否定 D,故选 B. 3. 函数 f ( x) ? log 4 (4 ? A. (?? , 2) [答案] D [解析] 由 4 ?

1 ) 的定义域为( 2x

) C. (?? , ? 2) D. (?2 , ? ?)

B. (2 , ? ?)

1 1 1 ? 0 ,得 x ? 4 , 2 x ? ,? x ? ?2 故选 D. x 2 4 2

4. 如下图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象, 已知 a 的取值分别为 则相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次是

4 1 3 、 3、 、 , 3 10 5

[答案]

4 3 1 3、 、 、 3 5 10

[解析] 根据对数函数图象的变化规律“底大图低” ,可得相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次

4 3 1 、 、 . 3 5 10 5 . y ? log a x 的 图 象 与 y ? log b x 的 图 象 关 于 x 轴 对 称 , 则 a 与 b 满 足 的 关 系 式 为
是 3、 ________. [答案]

ab ? 1

6. 函数 f ( x) ?

| x ? 2 | ?1 的定义域为________. log 2 ( x ? 1)
6

[答案]

[3 , ? ?)

[解析]

?| x ? 2 | ? 1? 0 ? x ? 3或x ? 1 ? ? ? ?x ? 1 ? x ? 3 ,所以 ,函数 要使函数有意义,须 ? x ? 1 ? 0 ?x ?1 ? 1 ?x ? 0 ? ?

f ( x) ?

| x ? 2 | ?1 的定义域为 [3 , ? ?) log 2 ( x ? 1)
2 ?5 ) 的值 3

7. 已知函数 f ( x) ? log a (ax ? 5) ? 4 的图象恒过定点 (3 , 4) ,求 f ( 解:由已知可,得 y ? log a (ax ? 5) 的图象恒过定点 (3 , 0) ,

?3a ? 5 ? 1 ,即 a ? 2 ,所以 f ( x) ? log 2 (2x ? 5) ? 4

?f(

2 ?5 2 ?5 1 ) ? log 2 (2 ? ? 5) ? 4 ? log 2 2 ? 4 ? ? 4 2 2 2

8.已知 f ( x ) 是对数函数,且 f ( x ) 的图象过点 P(27 , ? 6) ,求 f ( x ) 的解析式 解:设 f ( x) ? loga x (a ? 0 且 a ? 1) ,则

? f ( x) 的图象过点 P(27 , ? 6) ,?log a 27 ? ?6 , a ?6 ? 27
又 ? a ? 0 ,? a ? 27
? 1 6

? (33 )

?

1 6

?3

?

1 2

?

3 3

? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? log
9. 求下列函数的定义域: (1)f ( x) ? log 2 (2 x ? 1)

3 3

x 的解析式

(2) f ( x) ?

1 log 1 (3x ? 2)
2

(3)f ( x) ?

1 ? log 4 (3x ? 2)

解: (1)使解析式有意义,则 log2 (2 x ?1) ? 0 ,

? 底数 2 ? 1 ,? 2 x ? 1 ? 1,即 x ? 1
所以函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ? ?) (2)使解析式有意义,则 log 1 (3x ? 2) ? 0 ,
2

7

? 底数 0 ?

1 2 ? 1 ,? 0 ? 3x ? 2 ? 1 ,即 ? x ? 1 2 3 2 所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( , 1) 3
(3)使解析式有意义,则 ? log4 (3x ? 2) ? 0 ,即 log 4 (3x ? 2) ? 0

? 底数 4 ? 1 ,? 0 ? 3x ? 2 ? 1 ,即
所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( , 1)

2 ? x ?1 3

2 3

10. 求函数 f ( x) ?| log 2 x | 的定义域,并画出它的图象. 解:要使解析式有意义,则 x ? 0 , 所以函数的定义域为 (0 , ? ? ) 函数解析式可化为 f ( x) ?| log 2 x |? ? 其图象如图所示.

?log 2 x ?? log 2 x

(log 2 x ? 0) ?log 2 x ?? (log 2 x ? 0) ?? log 2 x

( x ? 1) (0 ? x ? 1)

8



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