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2.3.1 双曲线及其标准方程


§ 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程

课时目标 1.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准 方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.

1.双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做 双曲线. 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 等 于 |F1F2| 时 的 点 的 轨 迹 为 ________________________________________________________________________. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________. (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1 、 F2 叫做__________________,两焦点间的距离叫做 __________________. 2.双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是______________________,焦点 F1__________, F2__________. (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是________________,焦点 F1__________, F2__________. (3)双曲线中 a、b、c 的关系是________________.

一、选择题 1.已知平面上定点 F1、F2 及动点 M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a 为常数),命题乙: M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2.若 ax +by =b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在 x 轴上 B.双曲线,焦点在 y 轴上 C.椭圆,焦点在 x 轴上 D.椭圆,焦点在 y 轴上 3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) 2 x2 2 2 y A.x - =1 B. -y =1 3 3 2 x x2 y2 C.y2- =1 D. - =1 3 2 2 x2 y2 4.双曲线 - =1 的一个焦点为(2,0),则 m 的值为( ) m 3+m 1 A. B.1 或 3 2 1+ 2 2-1 C. D. 2 2 2 2 5.一动圆与两圆:x +y =1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线 B.圆

C.双曲线的一支 D.椭圆 6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( ) x2 2 y2 A. -y =1 B.x2- =1 4 4 2 2 2 2 x y x y C. - =1 D. - =1 2 3 3 2 题 答 二、填空题 号 案 1 2 3 4 5 6

x2 y2 8.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是________. 1+k 1-k 2 2 x y 9. 1、 2 是双曲线 - =1 的两个焦点, 在双曲线上且满足|PF1|· 2|=32, F F P |PF 则∠F1PF2 9 16 =________________________________________________________________________. 三、解答题 x2 y2 10.设双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 27 36 4,求此双曲线的标准方程.

1 11.在△ABC 中,B(4,0)、C(-4,0),动点 A 满足 sin B-sin C= sin A,求动点 A 的轨 2 迹方程.

能力提升

A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4 13.已知双曲线的一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中 2 点的横坐标为- ,求双曲线的标准方程. 3

1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得. 2. 和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解, 也要和双曲线的定义相

结合. 3.直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求),利用韦达定理,弦长公式 等解决.

§ 2.3 2.3.1

双曲线

双曲线及其标准方程

知识梳理 1.(1)|F1F2| 以 F1,F2 为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距 x2 y2 2.(1) 2- 2=1(a>0,b>0) (-c,0) (c,0) a b 2 y x2 (2) 2- 2=1(a>0,b>0) (0,-c) (0,c) a b (3)c2=a2+b2 作业设计 1.B [根据双曲线的定义,乙?甲,但甲 ? 乙, 只有当 2a<|F1F2|且 a≠0 时,其轨迹才是双曲线.] x2 b 2.B [原方程可化为 +y2=1,因为 ab<0,所以 <0,所以曲线是焦点在 y 轴上的双曲 b a a 线,故选 B.] 3.A [∵双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0). a b 2 由题知 c=2,∴a +b2=4.① 22 32 又点(2,3)在双曲线上,∴ 2- 2=1.② a b 由①②解得 a2=1,b2=3, y2 ∴所求双曲线的标准方程为 x2- =1.] 3 4.A [∵双曲线的焦点为(2,0),在 x 轴上且 c=2, 1 ∴m+3+m=c2=4.∴m= .] 2 5.C [由题意两定圆的圆心坐标为 O1(0,0),O2(4,0),设动圆圆心为 O,动圆半径为 r, 则|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.] x2 y2 x2 6.B [设双曲线方程为 2- 2=1,因为 c= 5,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 2- a b a y2 =1.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( 5,4).代入双曲线方程得 5-a2 5 16 y2 - =1,解得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2- =1.故选 B.] a2 5-a2 4 7.2 解析 ∵||PF1|-|PF2||=4,又 PF1⊥PF2,|F1F2|=2 5, ∴|PF1|2+|PF2|2=20,∴(|PF1|-|PF2|)2 =20-2|PF1||PF2|=16,∴|PF1|· 2|=2. |PF 8.-1<k<1 x2 y2 解析 因为方程 - =1 表示双曲线, 1+k 1-k 所以(1+k)(1-k)>0.所以(k+1)(k-1)<0. 所以-1<k<1.

9.90° 解析 设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2. 在△F1PF2 中,由余弦定理, 得(2c)2=r2+r2-2r1r2cos α, 1 2 ?r1-r2?2+2r1r2-4c2 36+64-100 ∴cos α= = =0. 2r1r2 64 ∴α=90° . y2 x2 10.解 方法一 设双曲线的标准方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),由题意知 c2=36-27= a b 9,c=3. 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有

?42-?± 15? =1, ?a2=4, ? ? a b2 ? 解得? 2 ? ?b =5. ?a2+b2=9, ?
2 2

y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4), 又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3). 所以 2a=| ?± 15-0?2+?4+3?2- ?± 15-0?2+?4-3?2|=4, 即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 11.解 设 A 点的坐标为(x,y),在△ABC 中,由正弦定理, a b c 1 得 = = =2R,代入 sin B-sin C= sin A, sin A sin B sin C 2 |AC| |AB| 1 |BC| 得 - = · ,又|BC|=8, 2R 2R 2 2R 所以|AC|-|AB|=4. 因此 A 点的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a=4,2c=8,所以 a =2,c=4,b2=12. x2 y2 所以 A 点的轨迹方程为 - =1 (x>2). 4 12 12.B

[由 c=2 得 a2+1=4, ∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 3 设 P(x,y)(x≥ 3),

x2 y2 13.解 设双曲线的标准方程为 2- 2=1, a b 2 2 且 c= 7,则 a +b =7.① 2 由 MN 中点的横坐标为- 知, 3 2 5? 中点坐标为?-3,-3?. ? 2 x2 y1 1 2- 2=1, a b 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由 2 2 x2 y2 2- 2=1, a b

? ? ?

得 b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0. 4 x1+x2=- 3 y1-y2 ∵ ,且 =1, x1-x2 10 y1+y2=- 3

? ? ?

∴2b2=5a2.② 由①,②求得 a2=2,b2=5. x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 2 5


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