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广东省深圳市南山区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

高 二 期 末 考 试 理 科 数 学

2014-01-8

本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟. 注意事项:
1、 答卷前, 考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置 填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔 填涂相应的信息点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上, 请注意每题答题空间, 预先合理安排、 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案、 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损、考试结束后,将答题卡交回. 5、考试不可以使用计算器.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答 题卡上 . ............... ... 1、若 p:x>1;q:x≥1,则 p 是 q 的 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是 A、ac>bd B、a-c>b-d C、a+c>b+d D、

a b ? d c

3、设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A、2
2

S4 ? a2
D、7.5

B、4

C、8.5

x ? y2 ? 1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 4 2 x x2 x 2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B、 ? y 2 ? 1 C、 ? ?1 ? 1 D、 x 2 ? A、 4 2 2 3 3 1 5、设 x>1,则 y ? x ? 的最小值是 x ?1
4、与椭圆 A、1 B、2 C、3 D、4 6、在△ABC 中,a=2bcosC,则这个三角形一定是 A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

x 2 y2 7、若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为 a b

2 3 C、2 D、 2 3 8、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 (x ? a) ? (x ? a) ? 1 ,对任意实数都
A、 B、 成立,则 a 的取值范围为 A、-1<a<1 B、0<a<2 C、 ?

4 3

1 3 ?a? 2 2

D、 ?

3 1 ?a? 2 2

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上 . ......... 9、已知命题 p:?x∈R,都有 sinx≤1,则命题┐p 是_______________. 10、不等式 x2-4x+3<0 的解集为_______. 11、 已知抛物线 C: x2=4y 上一点 P 到定点 A(0, 1)的距离是 2, 则点 P 到 x 轴的距离为________. 12、已知 a ? (2, ?1, 1) , b ? (m, ?1, 1) ,若 a // b ,则 m=_____. 13、已知数列{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0, 若 a1,a2,a5 成等比数列,则 a8=______.

1 n 14、已知 a n ? ( ) ,把数列{an}的各项排列 3

a5 a9 成如下的三角形状,记 A(m,n)表示第 m ?????????????????????? 行的第 n 个数,则 A(10,12)=______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤、 15、(本小题满分 12 分) 设命题 p:关于 x 的方程 x2+2ax-2a=0 无实根;命题 q:关于 x 的方程 x2+ax+4>0 的解集为 R. 如果命题“p∧q”为假命题, “┐q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

a2 a6

a1 a3 a7

a4 a6

16、(本小题满分 12 分)在锐角△ ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,且 3a = 2csinA . (1)求角 C 的度数; (2)若 c =

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a+b 的值. 2

17、(本小题满分 14 分)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 已知实数 x,y 满足不等式: ?1 ? x ? 2 . ?y ? 2 ? y (1)求 的取值范围;(2)不等式 xy≤ax2+2y2 恒成立,求实数 a 的取值范围. x

18、(本小题满分 14 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90o, PA⊥ 平面 ABCD,PA=3,AD=2, AB = 2 3 ,BC=6,请建立适当的空间直角坐标系解决: (1)求证:BD⊥ 平面 PAC; (2)求二面角 P-BD-A 的大小. P

A E B

D C

19、(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点 B(0,4),离心率 e=0.6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 O(0,0),P(2,2),试探究在椭圆 C 内部是否存在整点 Q(平面内横、纵坐标都是整数的 点为整点),使得△OPQ 的面积 S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点(不必具体求出这 些点的坐标);否则,说明理由.

20、(本小题满分 14 分)

已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且有 a1=1,Sn+1= an+1 (n∈ N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn =

n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; 4a n

(3)是否存在最小正整数 m,使得不等式

?S
k=1

n

k+2 < m 对任意正整数 n 恒成立,若 k ? (Tk + k +1)

存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

高二数学(理)参考答案及评分标准

2014、01、8 一、选择题:(8×5′ =40′ ) 1 2 3 题号 A D C 答案 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C

二、填空题:(6×5′ =30′ ) 9、?x0,sin x0>1;10、(1,3);11、1;12、-2;13、15; 14、 ( ) 93 . 三、解答题:(80′ ) 15、(本小题满分 12 分) 解: ∵方程程 x2+2ax-2a=0 无实根,∴△=4a2+8a<0,解得-2<a<0, ∴p:-2<a<0. ……3 分 2 2 又∵不等式 x +ax+4>0 的解集为 R,∴△=a -16<0,解得-4<a<4, ∴q:-4<a<4. ……6 分 ∵命题“p∧ q”为假命题,“┐ q”为假命题, ∴p 为假命题,q 为真命题, ……8 分
∴?

1 3

?a ? 0 ?a ? ?2 或? , ??4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 4

……10 分 ……12 分

∴-4<a≤-2 或 0≤a<4. 16、(本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理的: 3sinA = 2sinCsinA , ∵A, C 为锐角,∴ sinC =

……3 分

? 3 ,C = . 3 2

……6 分

(2) S =

1 3 3 ,∴ab=6, absinC = 2 2

……9 分

由余弦定理的:c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,∴(a+b)2=25, a+b=5. ……12 分 17、(本小题满分 14 分) 解:(1)在直角坐标系中作出(x,y)的可行域: ……4 分 由

y y?0 y ? ,可知 是(1)的可行域 x x ?0 x
4 3 2

y y=x+2

内(x,y)与(0,0)连线的斜率, ……6 分 结合图形得: (2)由题意得:

y ? [1, 3] . x

……8 分

y= 2

1

O

1

2

x

a?

xy ? 2y2 y y ? ? 2 ? ( )2 2 x x x

y 1 1 ? ?2 ? ( ? ) 2 ? , x 4 8
……11 分 此时, [?2 ? (

y 1 2 1 y ? ) ? ]max ? ?1 ,在 ? 1 时取得; x 4 8 x

……13 分

∴a≥-1 ……14 分 18、(本小题满分 14 分) (1)证明:由题可知,AB、AD、AP 两两垂直,则分别以 AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴 建立如图的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),

B(2 3,, 0 0) , C(2 3,, 6 0) ,D(0,2,0),P (0,0,3), ……4 分
∴ AP ? (0,, 6 0) , BD ? (?2 3,, 2 0) , 0 3) , AC ? (2 3,, ∴ BD ? AP ? 0 , BD ? AC ? 0 ,∴BD⊥AP ,BD⊥AC,又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ……7 分 显然平面 ABD 的一个法向量为 m ? (0,, 0 1) ,设平面 PBD 的法向量为 n ? (x,, y z) ,则

n ? BD ? 0 , n ? BP ? 0 , (2)由(1)知, BP ? (?2 3,, 0 3) ,
∴?

z ……9 分 P

??2 3x ? 2y ? 0 ? 3x ? 3z ? 0
3x

? ??2 ?y ? ? ∴? ?z ? ?

,……11 分

2 令x ? 3, x 3

A B x E

D y C

则 n ? ( 3,, 3 2) , ……13 分 ∴ cos ? m, n ??

m?n 1 ? . | m || n | 2
x 2 y2 + = 1 (a>b>0), a 2 b2

……14 分

19、(本小题满分 14 分) 解:(1)设椭圆 C 的方程为 依题意得,b=4, ……1 分 ……3 分 ……4 分
2 2

c 3 = ,又 a2=b2+c2, a 5

∴a=5,b=4,c=3,

x y + =1. 25 16 (2)依题意得, | OP |= 2 2 ,直线 OP 的方程为 y=x,
所以椭圆 C 的方程为 因为 SΔOPQ = 4 ,点 Q 到直线 OP 的距离为 2 2 , 所以点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 2 2 的直线 l 上,

……5 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分

|m| = 2 2 解得 m=±4, ……10 分 2 ?y = x + 4 200 ? ? x ? 0, 当 m=4 时, 由 ? x 2 y2 , 消元得 41x2+200x<0, 即? x∈ Z, ∴x=―4, ―3, ― 41 + < 1 ? ? 25 16
设 l:y=x+m,则 2,―1,相应的 y 也是整数, 此时满足条件的点 Q 有 4 个, 当 m=-4 时,由对称性,同理也得满足条件的点 Q 有 4 个. 综上,存在满足条件的点 Q,这样的点有 8 个. 20、(本小题满分 14 分) 解:(1)当 n=1 时,a2= S1+1= a1+1=2; 当 n≥2 时,Sn+1= an+1,Sn-1+1= an,兩式相减得,an+1=2an, 又 a2=2a2,所以{an}是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列, 所以 an=2n-1. (2)由(1)知 an=2n-1,所以 bn = ……13 分 ……14 分 ……1 分 ……2 分 ……4 分

n n n = ? n+1 , n ?1 4a n 4 ? 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn = 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n+1 , Tn = 3 ? 4 ? 5 ? ... ? n+1 ? n+2 ,两式相减得, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? ) 2 1 1 1 1 1 n 2n ? n ? 1 ? n + 2 Tn = 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n+1 ? n+2 = 2 1 2 2 2 2 2 2 2n+2 2 2n+2 1? 2 n+2 n 1 1 n 所以 Tn ? 1 ? n+2 (或写成 Tn ? 1 ? ( ? 1) ? n 或 Tn ? 1 ? n ? n+1 均可给至 8 2 2 2 2 2
分). ……8 分

k+2 k+2 1 (3) ? ? Sk ? (Tk + k +1) (2k ? 1) ? (1 ? k + 2 + k +1) (2k ? 1) ? (1 ? 1 ) 2k+1 2k+1 2k+1 1 1 ……11 分 ? k ? 2( k ? k+1 ) , k+1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 n n k+2 1 1 1 所以 ? =? 2( k ? k+1 ) ? 2(1 ? k+1 ) ? 2 , 2 ?1 2 ?1 2 ?1 k=1 Sk ? (Tk + k +1) k=1 n k+2 若不等式 ? < m 对任意正整数 n 恒成立,则 m≥2, k=1 Sk ? (Tk + k +1) n k+2 所以存在最小正整数 m=2,使不等式 ? < m 对任意正整数 n 恒成 k=1 Sk ? (Tk + k +1)
立. ……14 分



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