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【启学】高中数学新人教A版必修1学案2.2.2对数函数及其性质(2)


§2.2.2

对数函数及其性质(2)

学习目标 1. 解对数函数在生产实际中的简单应用; 2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数 ,能够在同一坐标上看出互为反 函数的两个函数的图象性质. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P72~ P73,找出疑惑之处) 复习 1:对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质.

a>1
图 象 (1 )定 义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

0<a<1

性 质

复习 2:比较两个对数的大小. (1) log10 7 与 log10 12 ; (2) log 0.5 0.7 与 log0.5 0.8 .

复习 3:求函数的定义域. 1 (1) y ? ; (2) y ? log a (2 x ? 8) . 1 ? log 3 2 x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反函数 问题:如何由 y ? 2 x 求出 x?

反思:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 x 解出,是把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出 的. 习惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x .
-1-

新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量 , 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) 例如:指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为反函数. 试试:在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log2 x 图象,发现 什么性质?

反思: ( 1 )如果 P0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 x 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log2 x 的图象上吗?为什么?

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两个函数的图象关于 ※ 典型例题 例 1 求下列函数的反函数: (1) y ? 3x ; (2) y ? loga ( x ? 1) .

对称.

小结:求反函数的步骤(解 x →习惯表示→定义域) 变式:点 (2,3) 在函数 y ? loga ( x ? 1) 的反 函数图象上,求实数 a 的值.

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例 2 溶液酸碱度 的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计算公式 pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液 中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系? (2)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算其酸碱度.

小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模型解决问题,这就是数学应用建模思 想. ※ 动手试试 练 1. 己知函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点(1,3)其反函数的图象过点(2,0) ,求 f ? x ? 的表 达式.

练 2. 求下列函数的反函数. (1) y= ( 2) x (x∈R); x (2)y= log a (a>0,a≠1,x>0) 2

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. ※ 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值 和 它对应. 对于一个单调函数,反之对应任意 y 值,x 也都有惟一的值和它对应,从而单调函数 才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域,即互为 反函数的两个函数,定义域与值域是交叉相等. 学习评价
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※ 自我评价 你完 成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? log 0.5 x 的反函数是( ). B. y ? log 2 x 1 C. y ? 2 x D. y ? ( ) x 2 x 2. 函数 y ? 2 的反函数的单调性是( A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在 (0, ??) 上单调递增 D. 在 (0, ??) 上单调递减 3. 函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的反函数是( A. y ? ? x ( x ? 0) C. y ? ? x ( x ? 0)
x

A. y ? ? log0.5 x

).

).

B. y ? x ( x ? 0) D. y ? ? x .

4. 函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的值为 5. 右 图 是 函 数 y ? log a1 x , 图象,则底数之间的关系 课后作业 为

y ? loga2 x y ? loga3 x , y ? loga4 x 的
.

1 的 细胞每 小时 分裂 一 2 次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超 过 1010 个?(参考数据: lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ).
1. 现有某种细胞 100 个, 其 中 有占 总数

ax ? b (ac ? 0) 的反函数,并求出两个函数的定义域与值域,通过对定义域与 cx ? d 值域的比较,你能得出一些什么结论?
2. 探究:求 y ?

-4-



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