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安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

屯溪一中 2018-2019 学年度第二学期期中质量检测 高二数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.)

1.已知函数

f

?x?



x

0

处的导数为1

,则

lim
?x?0

f

?x0

?

2?x? ?
?x

f

?x0 ? 等于(



A.2

B.﹣2

C.1

D.﹣1

2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 3 ? 2i ,则以下为真命题的是( ) 2?i

A. z 的共轭复数为 7 ? 4i 55

B. z 的虚部为 8 5

C. z ? 3

D. z 在复平面内对应的点在第一象限

3.“指数函数 y ? a x ?a ? 0?是减函数, y ? 2 x 是指数函数,所以 y ? 2 x 是减函数”上述推理

()

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都不是

4.用数学归纳法证明 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ,从 n ? k 到 n ? k ?1,不等式左边需添加

n?1 n? 2

3n 6

的项是( )

A. 1 ? 1 ? 1 3k ?1 3k ? 2 3k ? 3
C. 1 ? 1 3k ? 3 k ?1

B. 1 ? 1 ? 2 3k ?1 3k ? 2 3k ? 3
D. 1 3k ? 3

? ? 5.若 x ? 3是函数 f ?x? ? x2 ? ax ? 1 e x 的极值点,则 f ?x? 的极大值为( )

A. ? 2e

B. ? 2e2

C. 22e?3

D. 6e?1

6.如图是函数 y ? f ?x?的导函数 y ? f ??x?的图象,给出下列命题:

①-2 是函数 y ? f ?x?的极值点;

②1 是函数 y ? f ?x?的极值点;

-1-

③ y ? f ?x?的图象在 x ? 0处切线的斜率小于零;

④函数 y ? f ?x?在区间 ?? 2,2? 上单调递增.

则正确命题的序号是( )

A.①③

B.②④

C.②③

D.①④

7.已知复数 z 满足 z ?1? 2i ? z ? 2 ? i ? 3 2 (i 是虚数单位),若在复平面内复数 z 对应

的点为 Z,则点 Z 的轨迹为( ) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.一条射线 D.两条射线
8.一物体沿直线做运动,其速度 v?t ?和时间 t 的关系为 v?t ? ? 2t ? t 2 ,在 t ? 1到 t ? 3时间段

内该物体行进的路程和位移分别是( )

A. 2 , ? 2 3

B. 2 , 2 3

C. 2 , 2 33

D. 2 , ? 2 33

9.设? 是给定的平面, A, B 是不在? 内的任意两点,则下列结论中正确的是( )

A.在? 内一定存在直线与直线 AB 相交; B.在? 内一定存在直线与直线 AB 异面; C.一定不存在过直线 AB 的平面与平面? 垂直; D.一定存在过直线 AB 的平面与平面? 平行.

10.函数

为 R 上的可导函数,其导函数为 f ??x? ,且 f ?x? ?

3 f ??? ? ?? ? sin x ? cos x , ?6?

在 ?ABC中, f ?A? ? f ??B? ? 1,则 ?ABC的形状为

A.等腰锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 11.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得
到.图二是第 1 代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第 2 代“勾股树”,以此类
推,已知最大的正方形面积为 1,则第 n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别
为( )

-2-

A.

B.

C.

D.

12.已知定义在

上的可导函数

,满足①

,②



(其中



的导函数,

是自然对数的底数),则

的范围

是(

)

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上.)

? 13.

1 ?1

1 ? x 2 dx =__________________.

14.做一个母线长为

的圆锥形漏斗,当其体积最大时,高应为__________ .

15.在平面几何中:已知 O 是 ?ABC内的任意一点,连结 AO, BO,CO 并延长交对边于
A?, B?,C? ,则 OA? ? OB? ? OC? ? 1. 这是一个真命题,其证明常采用“面积法”.拓展 AA? BB? CC?
到空间,可以得出的真命题是:已知 O 是四面体 ABCD内的任意一点,连结

AO, BO,CO, DO 并延长交对面于 A?, B?,C?, D? ,则___________

.

? ? 16.函数 f ?x? ? e x x ? aex 恰有两个极值点 x1, x2 ?x1 ? x2 ?,则实数 a 的取值范围是

_________

_.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应
写在答题卡上的指定区域内.)
17.(本小题满分 10 分)已知: sin 2 45? ? sin 2 105? ? sin 2 165? ? 3 ; 2
sin 2 10? ? sin 2 70? ? sin 2 130? ? 3 ; 2
sin 2 30? ? sin 2 90? ? sin 2 150? ? 3 . 2
通过观察上述三个等式的规律,写出能反映一般规律的等式,并证明你的结论.

-3-

18.(本小题满分

12

分)(1)若

x,

y

都是正实数,且

x

?

y

?

2

1?
,求证:

x

?

2

与1?

y

?

2

y

x

中至少有一个成立.

? ? (2)求证: n ? 1 ? n ? n ? 2 ? n ? 1 n ? N ?

19.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ,直线 l1 : x ? 2 ,直线 l2 : y ? ?t 2 ? 8t (其中 0 ? t ? 2, t 为常数),若直线 l1, l2 与函数 f ?x? 的图象以及 l1,l2 , y 轴与函数 f ?x? 的图象所围成的封闭图形
(阴影部分)如图所示.
(1)求 a,b, c 的值;
(2)求阴影面积 s 关于 t 的函数 s?t ?的解析式.

20.(本小题满分

12

分)已知函数

f1?x?

?

sin

x 2

,

x

?

R

,记

f n?1 ?x?为

fn

?x?的导数,n ?

N

?。

(1)求 f2 ?x?, f3 ?x?;

(2)猜想 f n ?x?, n ? N ? 的表达式,并证明你的猜想。

21.(本小题满分 12 分)已知函数



是自然对数的底数),

.

(1)求曲线

在点

处的切线方程;

(2)求

的极值;

(3)设

,其中



的导函数,证明:对任意



-4-

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x? ? ln x ? 1? x ?a ? R且a ? 0?,
ax
g?x? ? ?b ?1?x ? xex ? 1 ?b ? R?.
x
(1)讨论函数 f ?x? 的单调性;

(2)当 a ? 1 时,若关于 的不等式

恒成立,求实数 的取值范围.

1.A

参考答案

【解析】分析:与极限的定义式比较,凑配出极限式的形式:



详解: 故选 A. 点睛:在极限式

, 中分子分母中的增量是相同的,都是 ,因此有

2.D 【解析】



, 的共轭复数为 , 的虚部为 ,

,

在复平面内对应的点为 ,故选 D.

3.A 4.B

【解析】分析:分析 ,

时,左边起始项与终止项,比较差距,得结果.

详解: 时,左边为

,

时,左边为

,

所以左边需添加的项是

,选 B.

点睛:研究 到

项的变化,实质是研究式子变化的规律,起始项与终止项是什么,

中间项是如何变化的. 5.D 【解析】求得 f(x)的导数,由题意可得得 f′(3)=(16+4a)e3=0,解得 a,再由单调区

-5-

间,可得 f(x)的极大值. 【详解】 函数 f(x)=(x2+ax+1)ex 的导数为 f′(x)=(x2+ax+1+2x+a)ex, 由 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+1)ex 的极值点, 可得 f′(3)=(16+4a)e3=0, 解得 a=﹣4, 可得 f′(x)=(x2﹣2x﹣3)ex, 则﹣1<x<3 时,f(x)递减;x>3 或 x<﹣1 时,f(x)递增, 可得 f(x)的极大值为 f(﹣1)=6e﹣1, 故选:D. 【点睛】
求函数 极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数 ;(3) 解方程

求出

函数定义域内的所有根;(4) 列表检查 在

的根 左右两侧值的符号,如果左正右

负(左增右减),那么 在 处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么 在 处取极小

值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值. 6.D 【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号,从而确定函数的单调性,得到极值点,以及 根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率. 【详解】

根据导函数图象可知当

时,

,在

时,

则函数



上单调递减,在

上单调递增,



在区间

上上单调递增正确,即④正确

而在 处左侧单调递减,右侧单调递增,则-2 是函数

的极小值点,故①正确

∵函数



上单调递减,在

上单调递增

∴在 处左侧导函数与右侧导函数同号,故 1 不是函数

的极值点,故②不正确;

∵函数

在 x=0 处的导数大于 0

-6-



的图象在 处切线的斜率大于零,故③不正确

故正确的为:①④ 故选 D. 【点睛】 本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系,以及函数的单调性、极值、和切线的斜率 等有关知识,属于基础题. 7.C 【解析】分析:利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离,来分析已知等 式的意义.

详解:∵复数 z 满足

(i 是虚数单位),在复平面内复数 z 对应的

点为 Z,

则点 Z 到点(1,2)的距离减去到点(﹣2,﹣1)的距离之差等于 3 ,

而点(1,2)与点(﹣2,﹣1)之间的距离为 3 , 故点 Z 的轨迹是以点(1,2)为端点的经过点(﹣2,﹣1)的一条射线. 故选 C. 点睛:本题考查两个复数的差的绝对值的意义,两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点 之间的距离. 8.A 【解析】由定积分的几何性质可知,该物体的行进的路程为

;该物体的行进的位移为

9.B 10.D 【解析】求函数的导数,先求出 可判断三角形的形状. 【详解】

,故选 A. ,然后利用辅助角公式进行化简,求出 A,B 的大小即
-7-

函数的导数









,则











,即





,得 ,

,即





,则 ,





则,



是等腰钝角三角形,

故选:D. 【点睛】

本题考查三角形形状的判断,根据导数的运算法则求出函数 和 的解析式是解决本题的关

键. 11.A 【解析】第 1 代“勾股树”中,小正方形的个数 3=21+1﹣1=3,所有正方形的面积之和为 2 =(1+1)×1,第 2 代“勾股树”中,小正方形的个数 7=22+1﹣1,所有的正方形的面积之和 为 3=(2+1)×1,以此类推,第 n 代“勾股树”所有正方形的个数为 2n+1﹣1,第 n 代“勾股 树”所有正方形的面积的和为:(n+1)×1=n+1. 【详解】 解:第 1 代“勾股树”中,小正方形的个数 3=21+1﹣1=3, 如图(2),设直角三角形的三条边长分别为 a,b,c,

-8-

根据勾股定理得 a2+b2=c2, 即正方形 A 的面积+正方形 B 的面积=正方形 C 的面积=1, 所有正方形的面积之和为 2=(1+1)×1, 第 2 代“勾股树”中,小正方形的个数 7=22+1﹣1, 如图(3),正方形 E 的面积+正方形 F 的面积=正方形 A 的面积, 正方形 M 的面积+正方形 N 的面积=正方形 B 的面积, 正方形 E 的面积+正方形 F 的面积+正方形 M 的面积+正方形 N 的面积=正方形 A 的面积+正方 形 B 的面积=正方形 C 的面积=1, 所有的正方形的面积之和为 3=(2+1)×1, … 以此类推,第 n 代“勾股树”所有正方形的个数为 2n+1﹣1, 第 n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为:(n+1)×1=n+1. 故选:A.

【点睛】 本题考查正方形的性质及勾股定理的应用,考查归纳推理等基础知识,考查运算求解能力、 推理论证能力、归纳总结能力,是中档题. 12.D

【解析】构造函数

,所以

是单调

递增函数,由

,所以

;再令

,所以

是单调递减函数,由

-9-

,所以

,综上

,应选答案 D。

点睛:解答本题的难点在于怎样借助题设条件构造函数



,这

是解答本题的难点和关键之所在,求解时先对构造的两个函数



求导,再断定函数的单调性,然后借助函数的单调性求出
得问题获解。
13. ? 2
14.

的取值范围使

【解析】设圆锥的高为



,令

,得

,当



;当

,故当

时,体积最大,即圆锥的高为

时,圆

锥体积最大,故答案为

.

【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的实际应用,属于 难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事 例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实 际问题转化为数学模型进行解答. 解答本题题意的关键是:将漏斗的体积表示为关于高的函 数式,然后利用导数研究函数的单调性,根据单调性求出体积最大时的高.

15.

【解析】由题意利用等体积法进行类比推理即可得出等式.

【详解】利用类比推理可给出结论:

.证明如下:

由题意结合三棱锥的结构特征可得:

- 10 -









由于



故以上四个等式相加可得:

.

【点睛】 合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮 助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.

16.

【解析】函数



,由于函数 两个极值点为 ,

即 是方程

的两个不等实数根,即方程

,且 ,

;设

,在同一坐标系内画出两个函数图象,如图所示,

要使这两个函数有 个不同的交点,应满足

,解得

,所以 的取值范围为 ,

故选 . 【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用,属于难题.数 形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重 要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇 特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透,这样 才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解

- 11 -

17.

18.(1)见解析; (2)见解析. 【解析】(1)利用反证法证明;(2)利用分析法的证明 【详解】 证明:(1)假设 <2 和 <2 都不成立,即 2 和 2 同时成立.

∵x>0 且 y>0,∴

,且



两式相加得

,∴

.这与已知条件

矛盾,

∴ <2 和 <2 中至少有一个成立.

(2)原式子等价于 2



两边平方得到

恒成立,得证. 【点睛】 本题考查了不等式的证明,考查了反证法以及分析法应用;证明不等式的基本方法:1、比较 法,2、综合法,3、分析法,4、放缩法.

19.(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)由图象可知函数图象过点

,并且 的最大值为 ,分别代

- 12 -

入解析式可得关于 的方程组,即可解得 的值;(2)先求出直线

(其中

为常数)与拋物线

的交点横坐标(用 表示),再利用定积分的几何意义

求两部分面积之和即可.

试题解析:(1)由图形可知二次函数的图象过点



,并且 的最大值为 ,则

,解得



∴函数 的解析式为



(2)由

,得



∴,

,∵

,∴直线 与 的图象的交点坐标为



由定积分的几何意义知:



20.(1)



(2)见解析

【解析】(1)直接对函数求导得 , .(2) 猜想:

纳法证明. 【详解】

(1







(2)猜想:

.

下面用数学归纳法证明:

①当 时,

,结论成立;

②假设 ( 且

)时,结论成立,即



时,

- 13 -

,再利用数学归 .

.

所以当

时,结论成立.

所以由①②可知对任意的

结论成立.

【点睛】 本题主要考查对函数求导,考查数学归纳法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推 理能力.

21.(Ⅰ)

;(Ⅱ)

的单调递增区间为

;单调递减区间为

;(Ⅲ)

见解析.

【 解 析】 试题 分析 :( 1) 对 函数 f(x)求 导,

, 代入 x=1, 可求 得

,切点坐标

再 点 斜 式 可 求 切 线 方 程 。 (2) 定 义 域

因为

又 等价于 的最大值 试题解析:(Ⅰ)



,可得单调区间。(3)



时恒成立,由(2)知,当

,即证。

的定义域为

,

, 时,



,得

,∴点 A 的坐标为

.

,所以



所以曲线

在点 A

处的切线方程为

(Ⅱ)

,所以





,因此当





单调递增;







单调递减.

所以

的单调递增区间为

;单调递减区间为

.

的极大值

- 14 -

,无极小值。

(Ⅲ)证明:因为

,所以



等价于



时恒成立,

由(Ⅱ)知,当

时,

的最大值







因为





所以



因此任意



.

22.(1)见解析;(2)

【解析】(1)求出

,对 a 分类讨论,解不等式即可得到函数 的单调性;

(2)关于 的不等式

恒成立等价于



恒成立,构

建函数 【详解】 解:(1)

,研究其单调性与最值即可.

当 时,





单调递增;

当 时,由

得: ;由

得:



在 单调递减,在

单调递增

综上:当 时, 在

单调递增;

当 时, 在 单调递减,在

单调递增.

(2)由题意:当 时,不等式









恒成立,

- 15 -



,则





,则





单调递增



,所以, 有唯一零点 (



所以,

,即

--------(※)



时,



, 单调递减;

时,





单调递增,所以 为 在定义域内的最小值.



则方程(※)等价于

又易知 单调递增,所以



所以, 的最小值

所以

,即

所以实数 的取值范围是 【点睛】 利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性, 求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函 数,直接把问题转化为函数的最值问题.

- 16 -



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