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广东省新会一中高三上学期第一次测验数学文试题

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广东省江门市新会一中 2013 届高三第一学期第一次检测

文科数学试题

参考公式:锥体的体积公式:V ? 1 Sh ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高) 3

^^

^

利用最小二乘法求其回归直线方程 y ? b x ? a 。

n

n

? ? ^ ? ? bb ?

xi yi ? n x y

i ?1

n

xi 2

?

2
nx

?

i ?1

( xi
n

?

x)( yi

?

y)

, a,

^

^

?a y? ?y b? xb x

( xi ? x)2

i ?1

i ?1

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求.)

? ? 1.已知集合 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x logx 4 ? 2? ,则 A B ? ( )

A.??2,1, 2?

B.?1, 2?

C. ?2? D.??2, 2?

2.若复数 z ? (a 2 ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数(为虚数单位),则实数 a 的值是

()

A. ? 3

B. ? 3 或

C. 3 或 ?1

D.

3.

已知函数

f

(x)

?

?log2

? ?2

x

,

x,

x ? 0, x ? 0.

若 f (a) ? 1 ,则 a ? ( 2



A. ?1

B. 2

C. ?1或 2

D.1 或 ? 2

4. 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? p ? 2n ? 2 ,?an ?是等比数列的充要条件是
()

A. p ? 1

Bp ?2

C. p ? ?1

D. p ? ?2

5. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近

线的距离为 2 ,则双曲线方程为( )

A.x2-y2=2

B.x2-y2= 2

C.x2-y2=1

D.x2-y2= 1 2

6. 在等差数列{an}中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列{an}的前 n 项和,则

S11 ? ( )

A.18

B. 99

C.198

D. 297

7. 如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H ,则 OP ? OQ ? ( )

A. OH

B. OG

C. FO

D. EO

8.已知 f (x), g(x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下

条件:

① f (x) ? ax ? g(x) (a ? 0, 且a ? 1) ;② g(x) ? 0 ;

③ f (x) ? g?(x) ? f ?(x) ? g(x) .若 f (1) ? f (?1) ? 5 , g(1) g(?1) 2
则 a 等于( )

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A. 1
2

B. 2

C. 5
4

D. 2 或 1
2

9. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

身高 x(cm)

160

165

170

175

180

体重 y(kg)

63

66

70

72

74

根据上表可得回归直线方程 y ? 0.56x ? a ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生

的体重为( )

A. 70.09

B. 70.12

C. 70.55

D. 71.05

10. 设函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?(x) ? 2 ,

则不等式 f (x) ? 2x ? 4 的解集为( )

A. (?1,1)

B. ??1, ??? C. (??, ?1)

D. (??, ??)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选 做题,考生只能选做一题,2 题全答的,只计算前一题得分).
11.在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于 1
4 的
概率是_____

12.比较大小: lg 9 ? lg11

(填“ ? ”,“ ? ”或

“ ? ”) 13.如图,过抛物线 x2 ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆

x2 ? ( y ?1)2 ? 1于点 A、B、C、D,则 AB ? CD 的值是________

14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为 ? ? 2 cos? 和 ? ? sin? 的两个

圆的 圆心距为__
15.(几何证明选讲选选做题)如图 4,三角形 ABC 中,

AB ? AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,与 AC

相交于 D ,若 AD ? CD ? 1,则⊙ O 的半径 r ?



A
O? D

B

C



4

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)

△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (1)求角 A 的大小;

(2)求 2 3 cos2 C ? sin(4? ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小.

2

3

17. (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问 题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市 试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月 均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价 收费,超过 a 的部分按照议价收费).为了较为合 理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100 位居 民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布 直方图.
(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整; (2)用样本估计总体,如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准?则月均用 水量的最低标准定为多少吨,请说明理由; (3)从频率分布直方图中估计该 100 位居民月均用水量的众数,中位数,平均 数(同一组中的数据用该区间的中点值代表).

18.(本小题满分 14 分)
如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上
一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积;
(3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的
长.

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19.(本小题满分 14 分)

设数列

{an

}的前n项和为S

n

,

且S

2 n

?

2Sn

?

an S n

?1

?

0, n

? 1,2,3,?.

(1)求 a1, a2 ;

1 (2)求 Sn与Sn?1 ( n ? 2 )的关系式,并证明数列{ sn ? 1 }是等差数列。

(3)求 S1 ? S2 ? S3 S2010 ? S2011 的值。

20.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) .
(1)当 a ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45o,问:m 在什
么范围取值时,对于任意的 t ?[1, 2] ,函数 g(x) ? x3 ? x2[ m ? f ?(x)] 在区间 (t,3) 上总存 2
在极值?

21.(本小题满分 14 分)

如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心, F1, F2 为焦点的椭圆的一部分.曲线 C2 是以

原点 O 为顶点,F2 为焦点的抛物线的一部分,A、B 是曲线 C1 和 C2 的交点且 ?AF2 F1

为钝角,若 |

AF1

|?

7 2



|

AF2

|?

5 2

.

(1)求曲线 C1 和 C2 的方程;

(2)设点 C、 D 是曲线 C2 所.在.抛.物.线.上的两点(如图)。设直线 OC 的斜率为 k1 ,

直线 OD 的斜率为 k2 ,且 k1 ? k2 ? 2 ,证

明:直线 CD 过定点,并求该定点的坐标.

y

A C

















▓点亮心灯

~~~///(^v^)\\\~~~

照亮人生



▄F

▅O▆

▇F█



x




1

2
D

B

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2013 届高三级第一学期文科数学第一次数学测验(A)答题



高三( )班 姓名:

学号:

成绩:

一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0





二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

(一)必做题 11.

13.



; 12.



(二)选做题题(14~15 题,只从中选做一题)14.



15.



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步

骤.

16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)
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18.(本小题满分 14 分)
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19.(本小题满分 14 分)
20.(本小题满分 14 分)
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21.(本小题满分 14 分)

y

A C

FO F

x

1

2
D

B

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答案:

0.5? (1 ? 0.10 ? 3 ? 0.20 ? 5 ? 0.30 ? 7 ? 0.40 ? 9 ? 0.60 ? 11? 0.3 ? 13 ? 0.1) ? 1.875 …12 分

4

4

4

4

4

4

4

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19.(1)解:当 n

?

1时,由已知得 a12

?

2a1

?

a12

?1

?

0, 解得a1

?

1. 2

同理,可解得 a2

?

1. 6

。。。。。。。。。。 4 分

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所以 a ? ?2 , f ?(x) ? ?2 ? 2 . ………………………………………………8 分 x

g(x) ? x3 ? x2[ m ? 2 ? 2] ? x3 ? ( m ? 2)x2 ? 2x ,

2

x

2

10 分

g?(x) ? 3x2 ? (4 ? m)x ? 2 ,……

因为任意的 t ?[1, 2] ,函数 g(x) ? x3 ? x2[ m ? f ?(x)] 在区间 (t,3) 上总存在极值, 2

所以只需

?g ?? g

?(2) ?(3)

? ?

0, 0,

……………………………………………………12 分

解得 ? 37 ? m ? ?9 . 3

………………………………………………………14 分

21. 解: (1)设 A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线 C1 所在椭圆的长轴长为 2a,则 2a=|AF1|+|AF2|=6…………2 分

又由已知及圆锥曲线的定义得:

(xA

? c)2

?

yA2

?

25 4

,

(

x

A

?

c)2

?

y

2 A

?

49 4

,

xA

?

c

?

5 2

…………4



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