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三角函数的诱导公式及图象性质


三角函数的诱导公式及图象性质

一、知识回顾 二、典型例题 三、课后作业

1.同角三角函数关系式 平方关系:________________ 商数关系:______________. 2.六组诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα ______ -cosα tanα -sinα _____ -tanα sinα -cosα ______ 函数名改变 符号看象限 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 _____ sinα 六 π +α 2 cosα ______

函数名不变 符号看象限

3.如图 6-2-1,设任意角α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),

1

y y x x y AT 那么 sinα=r =1=y=MP,cosα= r =1=x=OM,tanα=x=OA=AT

.

1.cos330° =( 1 A.2

) 3 C. 2 ) 3 C.- 2 3 D. 2 3 D.- 2

1 B.-2

2.sin585° 的值为( 2 A.- 2 2 B. 2

3.已知向量 a=(2,1),b=(sinα ,cosα ).若 a⊥b,则 tanα 的值为_____. π? 1 ? 4.已知 sinαcosα=4,且 α∈?0,4?,则 sinα-cosα=_____. ? ? sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ 5.已知 tanθ=2,则 =____ sin2θ+2cos2θ 考点 1 求三角函数值 例 1:已知 cosα =m(|m|≤1),求 sinα ,tanα 的值.

2

【互动探究】 3 π ?π ? 1.已知 cos?2+φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tanφ=( ? ? 3 A.- 3 3 B. 3 C.- 3 D. 3

)

2.(2010 年全国)记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k 1-k2 B.- k C. k 1-k2 D.-

) k 1-k2

考点 2 三角函数化简 1-2sin10° cos10° 例 2:化简:(1) ; cos10° 1-cos210° -
1-sin α-cos α (2) 6 6 . 1-sin α-cos α
4 4

【互动探究】 1-cosα cosα-1 3.使 = sinα 成立的 α 值的范围是( 1+cosα A.2kπ-π<α<2kπ(k∈Z) B.2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z) 3 C.2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z) D.只能是第三或第四象限角 考点 3 三角函数的证明 tanα· sinα tanα+sinα 例 3:求证: = sinα tanα-sinα tanα·

)

.

【互动探究】 tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 4.求证: =tanα. cos?α-π?sin?5π+α?

3

1.化简三角函数式实际上是一种不指定答案的恒等变形.化简题一定要化成最简形式.对最简形 式的要求是:(1)项数化到最少;(2)次数化到最低;(3)尽可能不含根号;(4)三角函数种类最少; (5)能求值的求出值 2.证明三角恒等式的常用方法是:(1)由左边推出右边或右边推出左边或左、右两边推出同一式; (2)证明左边-右边=0;(3)综合法;(4)分析法. 3.利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,基本步骤是

1.注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法,要尽量减少开方运 算,慎重确定符号. 2.注意“1”的灵活代换,如 1=sin2α +cos2α .

三角函数的图象与性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义 域
值域 周期 [-1,1] 2π

x∈R
[-1,1] 2π
4

x∈R
R π

{x|x∈R 且 x≠ π kπ+ ,k∈Z}. 2

奇 偶 奇函数 性 单 调 单调增区间: 性 单调减区间:

偶函数 单调递增区间: 单调递减区间:

奇函数

下面是正弦函数、余弦函数性质一览表
?π ? 1.函数 y=cos?2-2x?是( ) ? ? A.最小正周期为 2π 的偶函数
C.最小正周期为π 的偶函数 x 2.函数 y=sin 的图象的一条对称轴的方程是( 2 )

B.最小正周期为 2π 的奇函数
D.最小正周期为π 的奇函数

A.x=0

B.x=

π 2

C.x=π )

D.x=2π

3.函数 y=cosx 的一个单调递增区间为( ? π π? A.?-2,2? ? ? B.(0,π)

?π 3π? C.?2, 2 ? ? ? ) D.2π

D.(π,2π)

4.函数 y=5tan(2x+1)的最小正周期为( π A.4 π B.2 C.π

π ? π? 5.将函数 y=cos?x-3?的图象向右平移6个单位,所得图象对应函数是( ? ?
A.y=cosx B.y=sinx C.y=-cosx D.y=-sinx

)

考点 1 三角函数的性质 ? π? 例 1:已知函数 f(x)=sinx+sin?x+2?,x∈R. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值和最小值; 3 (3)若 f(α)=4,求 sin2α 的值.

【互动探究】 ? π? 1.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? ? B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数
5

)

考点 2 三角函数的图象 π? ? 例 2:关于 x 的方程 3sin2x+cos2x=k 在?0,2?内有两个不同的实数根,求实数 ? ?

k 的取值范围.

【互动探究】 π 2.(2011 年全国)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后,所得的 图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 B.3 C.6 ) D.9

考点 3 三角函数的应用 π? π? ? ? 例 3:设有同频率的两个正弦电流 I1= 3sin?100πt+3?,I2=sin?100πt-6?,把它们合成后,得 ? ? ? ? 到电流 I=I1+I2. (1)求电流 I 的最小正周期 T 和频率 f; (2)设 t≥0,求电流 I 的最大值和最小值,并指出 I 第一次达到最大值和最小值时的 t 值.

【互动探究】 1? ? 3.f(x)= 2?sinxcosx+cos2x-2?,0≤x≤π,当方程 f(x)=a 有两个不相等实根 x1,x2 时,求实数 a ? ? 的取值范围.

思想与方法 11.三角函数中的分类讨论例题: 已知函数 f(x)=2acos2x+ 3asin2x+a2(a∈R,a≠0 且为常数).
6

(1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈R 时,f(x)的最大值等于 4,求 a 的值.

?π ? ?3π ? 1.作函数 y=sinx,x∈[0,2π]的简图时,所用的五个关键点是(0,0),?2,1?(π,0),? 2 ,-1?, ? ? ? ? (2π,0). ?π ? ?3π ? 2.作函数 y=cosx,x∈[0,2π]的简图时,所用的五个关键点是(0,1),?2,0?,(π,-1)? 2 ,0?, ? ? ? ? (2π,1). 1.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. 2π 2.函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),其周期为 T= ω ;函数 y=Atan(ωx π +φ)(A>0,ω>0),其周期为 T=ω. π π? ? 3.正切函数 y=tanx,x∈?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)是单调递增函数,但不能说函数在其定义域内 ? ? 是单调递增函数.
4.求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,若 ω 为负数,应先用诱导公式把 x 的系数化为正数,再求解.

课后作业

1.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是 ( ) 1 3 11 9 A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 3 2.已知 sin(π +α )=-5,则 ( ) 4 3 4 3 A.cosα = 5 B.tanα = 4 C.cosα = -5 D.sin(π -α )= 5 π π 3. sin( 4 +α )sin( 4 -α )的化简结果为 ( ) 1 1 A.cos2α B. cos2α C.sin2α D. sin2α 2 2
4.(全国Ⅰ卷文 1) cos300? ?

(
3 2

)

(A)

?

3 2

1 (B)- 2

1 (C) 2

(D)

3π 5.已知π <θ < 2 ,sin2θ =a,则 sinθ +cosθ 等于 A. a+1 B.- a+1 C. a2+1 D± a2+1
7





6.(全国Ⅰ卷理 2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?
1? k2 A. k 1? k2 B. - k k k
2 D. - 1 ? k





C.

1? k2

7.(全国Ⅱ卷文 13)已知 ? 是第二象限的角, 8.已 tanα =3, 4sinα -2cosα 的值为 5cosα +3sinα

tan ? ?

1 2 ,则 cos? ? ___________.

. . . .

1 1 9.已知 tanα =-3,则 = 2sinα cosα +cos2α 10.化简 1+2sin(π -2)cos(π +2) = 1-2sin10°cos10° 11. 的值为 cos10°- 1-cos2170°

π π 1 12.若 sinθ cosθ = 8 ,θ ∈( 4 , 2 ),求(1)cosθ -sinθ 的值(2)cosθ +sinθ 的值.

8


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