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福建省漳州市五校2010届高三上学期期末联考数学(文)试题


诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、 诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考

20092009-2010 学年上学期期末考 高三数学(文科) 高三数学(文科)试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
个小题, 一、单项选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。 单项选择题( ) 1.复数 A.2

(1 + i ) 2 = ( i2

) B.-2 C.-2i D.2i )

2.在等差数列 {a n } 中,有 a 6 + a 7 + a8 = 12 ,则此数列的前 13 项之和为( A.24 B.39 C.52 ( ) D.104

3.已知 a ∈ R ,则“ a < 2 ”是“ a 2 < 2a ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的 正三 角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( A. )
主视图

左视图

3 6

B. 4 2

3

C. 4 3

3

D. 8

3

5.右图给出的是计算 的条件是( A. i>10

俯视图 1 1 1 1 + + + ??? + 的值的一个程序框图,判断其中框内应填入 2 4 6 20

) B. i<10

C. i>20

D. i<20

6.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列 命题正确的是( ) B.若 m∥n,m ? α n ? β,则 α∥β

A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α

D.若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β

7.要得到函数 y = sin 2 x 的图象,只需将函数 y = sin( 2 x ? A.向右平移

π
3

) 的图象(



π 6

B.向右平移

π 3

C.向左平移

π 3

D.向左平移

π 6

8.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图

所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为( A.65 辆 C.88 辆 B.76 辆 D.95 辆



9.设 f ( x ) = 2 ? x ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是 (
2

)

A.(0,2)

B.(0,2]


C.(0,4]
→ → → →

D.(0,4)


10.若平面四边形 ABCD 满足 AB + CD = 0, ( AB - AD) ? AC = 0, 则该四边形一定是( A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形



11.已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点, PQ 是经过 F1 且垂直于实轴的弦,若 ?PQF2 是等腰直角三角形,则 双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 2 + 1 C. 2 ? 1 D. 2 ?

1 4

12. 已知函数 f ( x ) = ( ) ? log 2 x , < a < b < c ,f ( a ) f (b) f (c ) < 0 , 0 实数 d 是函数 f ( x) 的一个零点. 给
x

1 3

出下列四个判断: ① d < a ;② d > b ;③ d < c ;④ d > c . 其中可能成立的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
[来源:学|科|网]

第Ⅱ卷(共 90 分)
小题, 二、填空题(本题共 4 小题,满分 16 分) 填空题( 13.若命题“ ? x∈R, 使 x +ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围为
2

.

14 .已知 sin(

π

4

? x) =

3 ,则 sin 2 x 的值为_____________。 5

[来源:学科网 ZXXK]

?y ≤ x +1 ? 15.已知 x,y 满足条件 ? y ≥ 2 , 则z = x + y 的最大值为 ?2 x + y ≤ 7 ?
16.给出以下结论:
n ?1



? 2? ①通项公 式为 a n = a1 ? ? ? ? 3?
③函数 y = x +

的数列一定是以 a1 为首项,

2 为公比的等比数列; 3

②若 sin θ ? cosθ > 0 ,则 θ 是第一、三象限的角;

2 在 (0,+∞ ) 上是单调减函数; x

④若等差数列{ a n }前 n 项和为 S n ,则三点 ?10,

? ?

S10 ? ? S ?? S ? ?, ?100, 100 ?, ?110, 110 ? 共线。 10 ? ? 100 ? ? 110 ?

其中正确的是 .(请填写所有正确选项的序号) 三解答题本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明, 本大题共 个小题, ( ,令 f ( x) = a ? b ,且 f (x ) 的周期为 π 17.已知向量 a = ( 2 cos ωx, cos 2ωx ), b = (sin ωx,1) , ω > 0 ) (1) 求 f(

π
4

)的值;(2)写出 f(x)在 [ ?

π π

, ] 上的单调递增区间. 2 2

18.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an +1 ) n ∈ N*)在函数 y=x +1 的图象上 (
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn= 2
n ?1

a n (n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 S n 。

19.现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀, B1,B2,B3 物 理成绩优秀, C1,C2 化 学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代表学校参加竞赛 (Ⅰ)求 C1 被选中的概率; (Ⅱ)求 A1 和 B1 不全被选中的概率 20. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD = DC = 3cm , E 为 PC 的中点. (1)证明: PA //平面 BDE ; (2)在棱 PC 上是否存在点 F ,使三棱锥 C ? BDF 的 体积为 3cm ?并说明理由.
3

21.已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3ax 2 ? 3a 2 + a (a > 0) (1)求函数 f ( x ) 的单调 区间;
[来源:学+科+网]

(2)曲线 y = f ( x ) 在点 A( m, f ( m)) 和 B ( n, f ( n)) (m < n) 处的切线都 与 y 轴垂直,若曲线 f ( x ) 在

区间 [ m, n] 上与 x 轴相交,求实数 a 的取值范围;

22.如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆 的右焦点, 且 AF ? FB = 1 , OF = 1 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M , 直线 l 交椭圆于 P, Q 两点, 使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在, 问: 是否存在直线 l , 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由

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20092009-2010 学年上学期期末考 高三数学(文科)试题参考答案 高三数学(文科)试题参考答案
(考试时间:120分钟 1-6 CCBCAD 7-12 DBACBC 17.(1) 求 f( 13. a < ?2或a > 2 14. 总分:150分) 7 25 15. 5 16. ②④

[来源:学科网]

π
4

)的值;(2)写出 f(x)在 [ ?

π π

, ] 上的单调递增区 间. 2 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

解:(1) f ( x) = a ? b = 2 cos ωx sin ωx + cos 2ωx

--- 2 分 --- 3 分 --- 5 分

= 2 sin(2ωx +

π
4

)

∵ f (x ) 的周期为 π . ∴ ω = 1

f ( x) = 2 sin(2 x +

π
4

)
--- 7 分

π π π ∴ f ( ) = sin + cos = 1 4 2 2
(2) f ( x ) = 当?

2 sin(2 x +

π

+ 2kπ ( k ∈ Z )时,f(x)单增, 2 4 2 3π π π π 即? + kπ ≤ x ≤ + kπ ( k ∈ Z ),∵ x ∈ [? , ] 8 8 2 2 π π 3π π ∴f(x)在 [ ? , ] 上的单调递增区间为 [ ? , ] 2 2 8 8 ≤
18.解: (Ⅰ)由已知得 根据等差数列的定义 所以

π

+ 2 kπ ≤ 2 x +

π

π

4

)
--- 10 分

---12 分

a n +1 = a n + 1 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 ……3 分
……6 分

an = n

(Ⅱ) 由已知

bn = 2 n ?1 a n = n 2 n ?1

S n = b1 + b2 + b3 + L +b n ?1 +bn

[来源:学科网]

= 1 × 2 0 + 2 × 21 + 3 × 2 2 + L + (n ? 1) × 2 n ? 2 + n × 2 n ?1 ------------①
2 S n = 1 × 21 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + (n ? 1) × 2 n ?1 + n × 2 n ------------②

①-②得

-S n = 2 0 + 21 + 2 2 + L + 2 n ? 2 + 2 n ?1 ? n × 2 n
=2 n ? 1 ? n × 2 n S n = ( n ? 1) × 2 n + 1
……12 分

19.解: (Ⅰ)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间

? = { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

[来源:学科网]

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
[来源:学科网 ZXXK]

由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“ C1 恰被选中”这一事件,则

M = { ( A1,B1,C1 ) , ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B3,C1 ) , ( A2,B1,C1 ) , ( A2,B2,C1 ) , ( A2,B3,C1 ) ,

( A3,B1,C1 ) , ( A3,B2,C1 ) , ( A3,B3,C1 ) }
事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) =

9 1 = .………………6 分 18 2

(Ⅱ)用 N 表示“ A1 , B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ A1 , B1 全被选中”这一事件, 由于 N = { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ) },事件 N 有 2 个基本事件组成, (A 所以 P ( N ) =

2 1 = , 18 9 1 8 = .………………12 分 9 9

由对立事件的概率公式得 P ( N ) = 1 ? P ( N ) = 1 ?

20.(1)证明:连接 AC ,交 BD 于 O 点,连接 OE ,得 OE ∥ PA , Q OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE ,∴ PA // 平面 BDE .

………………6 分

(2) Q 侧棱 PD ⊥底面 ABCD , ∴ PD ⊥ CD ,过 F 作 FG ⊥ CD = G ,则 FG ∥ PD .

1 1 1 3 VC ? BDE = VE ? BDC = S ?BDC ? FG = × × 3 × 3 × FG = FG = 3 ,∴ FG = 2 , ……12 分 3 3 2 2
∴ 在棱 PC 上存在点 F 使三棱锥 C ? BDE 的体积为 3cm 3 ,且 F 是 线段 PC 的三等分点.
………………12 分 21.解: (1)

f / (x) = 3x2 ?6ax= 3x(x ?2a)

; …………2 分 …………4 分

令 f / ( x) = 3 x 2 ? 6ax = 3 x( x ? 2a ) = 0
/

解得: x1 = 0 , x 2 = 2a (a > 0)

列出 x 、 f ( x ) 、 f (x ) 的变化值表 …………6 分

x
f / ( x)
[来源:学 科网]

(?∞,0)

0 0

(0,2a )


2a
0

(2a,+∞)

+


+


f (x)
由表可知: 函数

极大值
科,网]

[来源:学,



极小值

f (x) 的单调增
…7 分

区间: (?∞,0) , (2a,+∞) ;单调减区间 (0,2a ) ;

(2)由(1)可知,只有 x1 = 0 , x 2 = 2a 处切线都恰好与 y 轴垂直; ∴ m = 0, n = 2a , f (0) = ?3a 2 + a , f ( 2a ) = ?4a 3 ? 3a 2 + a …………9 分 ……11 分

由曲线 f (x ) 在区间 [0,2a ] 上与 x 轴相交, 可得: f (0) ? f ( 2a ) ≤ 0 因为 a > 0 ,∴ (3a ? 1)( 4a ? 1) ≤ 0 ,解得: 故实数 a 的取值范围是 [ , ] ; …………13 分

1 1 ≤a≤ ; 4 3

1 1 4 3

x2 y 2 22.解: (1)设椭圆方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b
由题意 c

y

=1

M

又∵ AF ? FB = 1 即

(a + c) ? (a ? c) = 1 = a 2 ? c 2

A

O

F

B

x

∴a

2

=2

故椭圆方程为

x2 + y2 = 1 2

…………4 分

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的 垂心,则 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1, 0) ,故 k PQ = 1 于是设直线 l 为 ……………6 分

? y = x+m 得 y = x + m ,由 ? 2 2 ?x + 2 y = 2

[来源:学,科,网]

3x 2 + 4mx + 2m 2 ? 2 = 0 …………8 分 uuur uuu r ∵ MP ? FQ = 0 = x1 ( x2 ? 1) + y2 ( y1 ? 1) 又 yi = xi + m(i = 1, 2)
得 x1 ( x2

? 1) + ( x2 + m)( x1 + m ? 1) = 0 即

2 x1 x2 + ( x1 + x2 )(m ? 1) + m 2 ? m = 0 由韦达定理得 2m 2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) + m 2 ? m = 0 3 3
解得 m =

4 4 ? 或 m = 1(舍) 经检验 m = ? 符合条件 3 3
4 ………13 分 3

则直线 l 的方程为: y = x ?


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