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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科试题及答案word版(上海卷)

2008 年全国普通高等学校招生统一考试 上海
一 填空(4’×11) 1.不等式|x-1|<1 的解集是 2.若集合 A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足 A∩B={2},则实数 a= 3.若复数 z 满足 z=i(2-z)(i 是虚数单位) ,则 z=

数学试卷(理工农医类)

4.若函数 f(x)的反函数为 f

-1

(x)=x2(x>0) ,则 f(4)=

? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则| a + b |= 3

? 6.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3) 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示)

8.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围 是 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中 位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是

10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是长 轴长为 2a,短轴长为 2b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1、h2,且两 个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上, 现有船只经过该海域 (船只的大 小忽略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水 区的判别条件是

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1 11.方程 x2+ 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的图像与函数 y= 的图像交点的横坐标, 若 x 4 x4+ax-4=0 的各个实根 x1,x2,?,xk (k≤4)所对应的点(xi , )(i=1,2,?,k)均在直线 xi y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 二 选择(4’×4)
r 12.组合数 Cn(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于(

) C.nr C
r-1 n-1

r+1 r-1 A. C n+1 n-1

B.(n+1)(r+1)C

r-1

n-1

n r-1 D. C r n-1

13. 给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面?垂直”的( A.充要 分又非必要 3 14. 若数列{an}是首项为 1,公比为 a- 的无穷等比数列,且{an}各项的和为 a,则 a 的值 2 是( A.1 ) B.2 1 C. 2 D. 5 4 )条件 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充

15.如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、 D 的定圆所围成区域(含边界) ,A、B、C、D 是该圆的四等分点,若点 P(x,y)、P’(x’,y’) y A · 满足 x≤x’ 且 y≥y’,则称 P 优于 P’,如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中 的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( A. ︵ AB B. ︵ BC C. ︵ CD D. ) D· ︵ DA O 16.(12’)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC1 的中点, 求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数表示) A1 D1 B1 E D A B C

?
· C

· B

x C1

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17.(13’)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB,小区的两个出入口设置在 点 A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD,已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟,若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) A D O ? 18.(5’+10’)已知函数 f(x)=sin2x,g(x)=cos(2x+ ),直线 x=t(t∈R)与函数 f(x)、g(x) 6 的图像分别交于 M、N 两点 ? ⑴当 t= 时,求|MN|的值 4 ? ⑵求|MN|在 t∈[0, ]时的最大值 2 C B

20.(3’+5’+8’)设 P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点与点(1,b)的 直线,记 Q 是直线 l 与抛物线 x2=2py(p≠0)的异于原点的交点 ⑴已知 a=1,b=2,p=2,求点 Q 的坐标 x2 1 ⑵已知点 P(a,b)(ab≠0)在椭圆 +y2=1 上,p= ,求证:点 Q 落在双曲线 4x2-4y2 4 2ab =1 上 1 ⑶已知动点 P(a,b)满足 ab≠0,p= ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上, 2ab 试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由

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19.(8’+8’)已知函数 f(x)=2x- ⑴若 f(x)=2,求 x 的值

1 2|x|

⑵若 2t f(2t)+m f(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围

? ?an+c,an<3 21.(3’+7’+8’)已知以 a1 为首项的数列{an}满足:an+1=? an ? d , an≥3 ?
⑴当 a1=1,c=1,d=3 时,求数列{an}的通项公式 ⑵当 0<a1<1,c=1,d=3 时,试用 a1 表示数列{an}的前 100 项的和 S100 1 1 1 1 1 ⑶当 0<a1< (m 是正整数) ,c= ,d≥3m 时,求证:数列 a2- ,a3m+2- ,a6m+2- , m m m m m 1 a9m+2- 成等比数列当且仅当 d=3m m

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2008 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷 参考答案(理工农医类)
一、 (第 1 题至第 11 题) 1. (0, 2) 6.2. 7. 2. 2. 3. 1 ? i . 4.2. 5. 7 . 9. a ? 10.5, b ? 10.5 .

3 . 4

8. (?1,0) ? (1, ??) .

10. h1 ? cot ?1 ? h2 ? cot ? 2 ? 2a

11. (??, ?6) ? (6, ??) . D1 A1 B1 E ??4 分 A ??8 分 D B C C1

二、 (第 12 题至第 15 题) 12.D 13.C 14.B 15.D 三、 (第 16 题到第 21 题) 16.[解]过 E 作 EF ? BC ,交 BC 于 F ,连接 CO . ? EF ? 平面 ABCD , ? ?EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. 由题意,得 EF ?

1 CC1 ? 1 . 2

1 ? CF ? CB ? 1 ? DF ? 5 . 2

? EF ? DF , ? tan ?EDF ?

EF 5 ? . DF 5
A

??10 分

C B

5 故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan . 5
17 [解法一]设该扇形的半径为 r 米,连接 CO . 由题意,得 , CD ? 500 (米), DA ? 300 (米) ?CDO ? 60? 在△ CDO 中, CD ? OD ? 2CD ? OD ? cos 60? ? OC
2 2 2

??12 分 D ??2 分 ??4 分 ??6 分 ??9 分 O

即, 500 ? (r ? 300) ? 2 ? 500 ? (r ? 300) ?
2 2

1 ? r2 2
A

H

C B

4900 ? 445 (米) 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
解得 r ?

??13 分 D ??2 分 ??4 分 O

[解法二]连接 AC ,作 OH ? AC ,交 AC 于 H , 由题意,得 CD ? 500 (米) AD ? 300 (米) ?CDA ? 120? , , 在△ CDO 中, AC ? CD ? AD ? 2 ? CD ? AD ? cos120?
2 2 2

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? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ?

? AC ? 700 (米).
cos ?CAD ? AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 ? . 2 ? AC ? AD 14

1 ? 7002 . 2
??6 分

在直角△ HAO 中, AH ? 350 (米) cos ?HAO ? ,

11 , 14

??9 分

? OA ?

AH 4900 ? ? 445 (米). cos ?HAO 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
18.[解](1)设 P( x1 , y1 ) 是双曲线上任意一点, 该双曲的两条渐近线方程分别是 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 .

??13 分

??2 分

点 P( x1 , y1 ) 到两条渐近线的距离分别是

| x1 ? 2 y1 | 5



| x1 ? 2 y1 | 5



??4 分

它们的乘积是

| x1 ? 2 y1 | | x1 ? 2 y1 | | x12 ? 4 y12 | 4 ? ? ? . 5 5 5 5
??6 分

点 P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. (2)设的坐标为 ( x, y ) ,则

| PA |2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2

??8 分

x2 ? (x ? 3 2 ? ) ?1 4

5 12 4 ? ( x ? )2 ? 4 5 5

??11 分 ??13 分

? | x |? 2 , ? 当x?
12 4 2 时, | PA | 的最小值为 , 5 5
2 5 . 5
x

即 | PA | 的最小值为

??15 分

19.解(1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 由条件可知 2 ?
x
x

1 2x

1 ? 2 ,即 22 x ? 2?2 x ? 1 ? 0 x 2

解得 2 ? 1 ? 2

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∵ x ? 0 ∴ x ? log 2 (1 ? 2)
(2)当 t ? [1, 2] 时, 2t (22t ?
2t 4t

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 2t 2 2
2t
2t

即 m(2 ? 1) ? ?(2 ? 1) ,∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ m ? ?(2 ? 1)

∵t ?[1, 2] ,∴ ?(22t ? 1) ? [?17, ?5]
故 m 的取值范围是 [?5, ??) 20.解 (1)当 a ? 1, b ? 2, p ? 2 时,

? x2 ? 4 y 解方程组 ? ? y ? 2x

得?

?x ? 8 ? y ? 16

即点 Q 的坐标为 (8,16)

? 2 1 y ?x ? (2) 【证明】由方程组 ? ab ? y ? bx ?

1 ? ?x ? a ? 得? ?y ? b ? a ?

即点 Q 的坐标为 ( , )

1 b a a

∵ P 时椭圆上的点,即

a2 ? b2 ? 1 4

1 b 4 ∴ 4( ) 2 ? 4( ) 2 ? 2 (1 ? b2 ) ? 1 ,因此点 Q 落在双曲线 4 x 2 ? 4 y 2 ? 1 上 a a a
(3)设 Q 所在的抛物线方程为 y ? 2q( x ? c), q ? 0
2

b2 1 1 b 2 2 将 Q( , ) 代入方程,得 2 ? 2q( ? c) ,即 b ? 2qa ? 2qca a a a a
当 qc ? 0 时, b ? 2qa ,此时点 P 的轨迹落在抛物线上;
2

1 1 2 1 2 时, (a ? ) ? b ? 2 ,此时点 P 的轨迹落在圆上; 2 2c 4c 1 (a ? ) 2 2 1 2c ? b ? 1 ,此时点 P 的轨迹落在椭圆上; 当 qc ? 0且qc ? 时, 1 q 2 2 4c 2c 1 (a ? ) 2 2 2c ? b 当 qc ? 0 时 ? 1 ,此时点 P 的轨迹落在双曲线上; 1 q (? ) 4c 2 2c
当 qc ?

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21.解

?1, n ? 3k ? 2 ? ? (1)由题意得 an ? ? 2, n ? 3k ? 1, ( k ? Z ) ?3, n ? 3k ?
(2) 当 0 ? a1 ? 1 时,

a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3 , a5 ?

a1 a ? 1 , a6 ? 1 ? 2 , 3 3 a a a a a7 ? 1 ? 3 , ??, a3k ?1 ? 3k1?1 ? 1 , a3k ? 3k1?1 ? 2 , a3k ?1 ? 3k1?1 ? 3 3 3 3 3

∴ S100 ? a1 ? (a2 ? a3 ? a 4 ) ? (a5 ? a6 ? a 6 ) ? ? ? (a98 ? a99 ? a 100 )

a1 a1 ? 6) ? ?? ? ( 31 ? 6) 3 3 1 1 ? a1 ? a1 (3 ? 1 ? ? ?? ? 31 ) ? 6 ? 33 3 3 1 1 ? (11 ? 31 )a1 ? 198 2 3 1 (3)当 d ? 3m 时, a2 ? a1 ? m a 3m ? 1 1 1 ∵ a3m ? a 1? ?a 1 ? ? 3 ? 3? a ? 3 a m? ,1 ∴ a3m? 2 ? 1 ? ; ? 1 3 m m 3m m a1 1 a1 a1 1 ∵ a6 m ? ? ?3? 3? ? 3 ? a6 m?1 , ∴ a6 m? 2 ? ? ; 3m m 3m 9m 2 m a a a 1 1 ∵ a9 m ? 1 2 ? ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? a9 m?1 ,∴ a9 m? 2 ? 1 3 ? 9m m 9m 27m m a a 1 1 a 1 1 ∴ a2 ? ? a1 , a3m? 2 ? ? 1 , a6 m? 2 ? ? 1 2 ,∴ a9 m? 2 ? ? 1 3 m m 3m m 9m m 27m 1 1 1 1 综上所述,当 d ? 3m 时,数列 a2 ? , a3m? 2 ? , a6 m? 2 ? , a9 m? 2 ? m m m m 1 是公比为 的等比数列 3m ? a1 ? (3a1 ? 6) ? (a1 ? 6) ? (
当 d ? 3m ? 1 时, a3m? 2 ?

a1 ? 3 ? 1 ? ? ? 0, ? , d ? m?

a6 m? 2

a ?3 1? ? ? 1 ? 3 ? ? 3,3 ? ? , a6 m?3 ? d m? ?

a1 ? 3 ?3 ? 1? d ? ? 0, ? , d ? m?

a9 m? 2

a1 ? 3 ?3 3m ? 1 ? 1 ? d ? ? ? ? 3 ? ,3 ? , d m m ? ?

??15 分

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1 1 1 ? 0 , a6 m? 2 ? ? 0 , a9 m? 2 ? ? 0 m m m 1 1 1 1 故数列 a2 ? , a3m? 2 ? , a6 m? 2 ? , a9 m? 2 ? , 不是等比数列 m m m m 1 1 1 1 所以,数列 a2 ? , a3m? 2 ? , a6 m? 2 ? , a9 m? 2 ? , 成等比数列 m m m m 当且仅当 d ? 3m
由于 a3m? 2 ?

??18 分

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