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2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题七 第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

第二讲

坐标系与参数方程(选修 4-4)

? ?x=2+t, x2 y2 1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小 值. ? ?x=2cos θ, 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=3sin θ ? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|. 5 d 2 5 则|PA|= = |5sin(θ+α)-6|, sin 30° 5 4 其中 α 为锐角,且 tan α= . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 π? 轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈? ?0,2?. (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). ?x=1+cos t, ? 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π). ? ?y=sin t (2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 π D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π? ?3 3? 故 D 的直角坐标为? ?1+cos3,sin3?,即?2, 2 ?. ? ?x=4+5cos t, 3. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数), 以坐 ?y=5+5sin t ? 标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
?x=4+5cos t, ? 解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即 C1:x2 ? y = 5 + 5sin t ? +y2-8x-10y+16=0.

? ?x=ρcos θ, 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0, ?y=ρsin θ ? 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, ? 由 2 2 ?x +y -2y=0, ? ?x=1, ?x=0, ? ? 解得? 或? ? ? ?y=1 ?y=2.

π? ? π? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? ? 2,4?,?2,2?. 4.(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴 π? ? π? 建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为? ? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ?y=sin α ? π? ? π? 解:(1)由点 A? ? 2,4?在直线 ρcos?θ-4?=a 上, 可得 a= 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1, 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交.

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单

?x=ρcos θ, 位.设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则? ?y=ρsin θ,
ρ =x +y , ? ? ? y ? ?tan θ=x?x≠0?. 2.圆的极坐标方程 2 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ0 -r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ;
2 2 2

π? (3)当圆心位于 M? ?a,2?,半径为 a:ρ=2asin θ. 3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π-θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π? (3)直线过 M? ?b,2?且平行于极轴:ρsin θ=b. 4.几种常见曲线的参数方程 (1)圆 ?x=a+rcos α, 以 O′(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程是? 其中 α 是参数. ?y=b+rsin α,

?x=rcos α, 当圆心在(0,0)时,方程为? 其中 α 是参数. ?y=rsin α,
(2)椭圆

?x=acos φ, x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是参数. a b ?y=bsin φ, ?x=bcos φ, x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是参数. b a ?y=asin φ,
(3)直线

?x=x0+tcos α, 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是? 其中 t 是参数. ?y=y0+tsin α,

热点一

极坐标方程及其应用

[例 1] (1)(2014· 江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系,求线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程. (2)(2014· 东北三校联考)已知点 P(1+cos α,sin α),参数 α∈[0,π],点 Q 在曲线 C:ρ 9 = 上. π θ+ ? 2sin? ? 4? ①求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; ②求点 P 与点 Q 之间距离的最小值. [师生共研] (1)因为 x=ρcos θ, y=ρsin θ, 且 y=1-x, 所以 ρsin θ=1-ρcos θ, 所以 ρ(sin 1 θ+cos θ)=1,ρ= .又 0≤x≤1,所以 0≤y≤1,所以点(x,y)都在第一象限及坐标 sin θ+cos θ π 1 ?0≤θ≤π?. 轴的正半轴上,则 0≤θ≤ ,即所求线段的极坐标方程为 ρ= 2? 2 sin θ+cos θ?
?x=1+cos α, ? (2)①由? 消去 α, ? ?y=sin α,

得点 P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y≥0), 9 9 又由 ρ= ,得 ρ= , π sin θ + cos θ θ+ ? 2sin? ? 4? 所以 ρsin θ+ρcos θ=9. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9. ②因为半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 2, 所以|PQ|min=4 2-1.

研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及角度和到定点距离 时,引入极坐标系会对问题的解决带来很大方便. π 2 θ- ?= .(ρ≥0,0≤θ<2π) 1.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin? ? 4? 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标. 解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆 O 的直角坐标方程为:x2+ 2 y -x-y=0, π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:x-y+1=0. 2 2 ? ?x +y -x-y=0, (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程,将两方程联立得? 解得 ?x-y+1=0, ?
?x=0, ? π ? 1, ?, 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为? 2? ? ? y = 1 , ?

即为所求. 热点二 参数方程及其应用

[例 2]

? ?x=a-2t, (2014· 福建高考)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的参数 ?y=-4t ?

?x=4cos θ, ? 方程为? (θ 为参数). ?y=4sin θ ? (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

[师生共研] (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5.

在解答参数方程的有关问题时常用的方法 (1)将参数方程化为普通方程,再利用相关知识解决,注意消参后 x,y 的取值范围. (2)观察参数方程有什么几何意义,利用参数的几何意义解题.

?x=4 2cos θ, 2.倾斜角为 α 的直线 l 过点 P(8,2),直线 l 和曲线 C:? (θ 为参数)交于 ?y=2sin θ 不同的两点 M1,M2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并写出直线 l 的参数方程; (2)求|PM1|· |PM2|的取值范围. ?x=8+tcos α, ? x2 y2 解: (1)曲线 C 的普通方程为 + =1, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数). 32 4 ? ?y=2+tsin α
(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得:(8+tcos α)2+8(2+tsin α)2=32, 整理得(8sin2α+cos2α)t2+(16cos α+32sin α)t+64=0, π? 由 Δ=(16cos α+32sin α)2-4×64(8sin2α+cos2α)>0,得 cos α>sin α,故 α∈? ?0,4?, ∴|PM1||PM2|=|t1t2|= 128 64 ∈? ,64? ?. 1+7sin2 α ? 9

热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 2 2 [例 3] (2014· 辽宁高考)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. [师生共研] (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C 上点(x,y),依题意,
? ?x=x1, 得? ?y=2y1. ?
2 2 ? y ?2 由 x2 1+y1=1 得 x + 2 =1, ? ?

y2 即曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 ? x = cos t, ? 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2sin t ? y ? ?x2+ 4 =1, (2)由? ? ?2x+y-2=0,
?x=1, ?x=0, ? ? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2.
2

1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率为 k=2,于 1 1 x- ?, 是所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 3 即 ρ= . 4sin θ-2cos θ

对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目,可先同时将它们转化为直角坐标方程求 解. 3.极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为
? ?x=2+tcos α, 极轴.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数).曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2 θ ? y = t sin α ? =8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; 1 1 (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求 + 的值. |AF| |BF| 解:(1)由 ρsin2θ=8cos θ 得 ρ2sin2θ=8ρcos θ, , 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =8x. (2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0), 将直线 l 的方程代入 y2=8x, 得(tsin α)2=8(2+tcos 2 2 α),整理得 t sin α-8tcos α-16=0. 由已知 sin α≠0,Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2 α=64>0, 8cos α 16 ∴t1+t2= 2 ,t1t2=- 2 <0, sin α sin α α?2 64 ?8cos 2 2 ? sin α ? +sin2α 1 1 1 ? ?t1-t2? ?t1+t2? -4t1t2 1 1 ? 故 + = - = = = = . |AF| |BF| ?t1 t2? ? t1t2 ? |t1t2| 16 2 2 sin α

?x=1- 22t, 1. (2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t
(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解: 将直线 l 的参数方程? 2 ?y=2+ 2 t
2

(t 为参数)代入抛物线方程 y2=4x, 得?2+

?

2? t 2 ?

=4?1-

?

2? t ,解得 t1=0,t2=-8 2. 2 ? 所以 AB=|t1-t2|=8 2. 2.(2014· 南京模拟)在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acos θ,以极点为坐标原点,极

? ?x=3t+2, 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),若直 ?y=4t+2 ? 线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值.

解:易求直线 l:4x-3y-2=0,圆 C:(x-a)2+y2=a2,依题意,有 2 解得 a=-2 或 . 9

=|a|, 42+?-3?2

|4a-2|

? ? ?x=-2+cos t, ?x=4cos θ, 3.(2014· 郑州模拟)已知曲线 C1:? (t 为参数),C2:? (θ ?y=1+sin t ?y=3sin θ ? ? 为参数). (1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|. 4 x2 y2 2 2 解:(1)C1:(x+2) +(y-1) =1,C2: + =1. 16 9 曲线 C1 为圆心是(-2,1),半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆.

?x=-4+ 22s, (2)曲线 C 的左顶点为(-4,0),则直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 2 s
2

(s 为参数),

将其代入曲线 C1 整理可得:s2-3 2s+4=0,设 A,B 对应参数分别为 s1,s2,则 s1+ s2=3 2,s1s2=4. 所以|AB|=|s1-s2|= ?s1+s2?2-4s1s2= 2. 4.(2014· 贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 在两种坐标系中取相同的单位长度, 已知直线 l 的方程为 ρcos θ-ρsin θ-1=0(ρ>0), 曲线 C
? ?x=2cos α, 的参数方程为? (α 为参数),点 M 是曲线 C 上的一动点. ?y=2+2sin α ? (1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值. ?x=cos α, ? 解:(1)设中点 P 的坐标为(x,y),依据中点公式有? (α 为参数). ?y=1+sin α ? 这是点 P 轨迹的参数方程,消参得点 P 的普通方程为 x2+(y-1)2=1. (2)直线 l 的直角坐标方程为 x-y-1=0,曲线 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4,表示以 (0,2)为圆心,以 2 为半径的圆,故所求最小值为圆心(0,2)到直线 l 的距离减去半径,设所求 |-1×2-1| 3 2 最小距离为 d,则 d= -2= -2. 2 1+1

3 2 因此曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 -2. 2 2 5.(2014· 沈阳模拟)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos 2θ=8,曲线 C2 的极坐标方程为 π θ= ,曲线 C1、C2 相交于 A、B 两点. 6 (1)求 A、B 两点的极坐标;

?x=1+ 23t, (2)曲线 C 与直线? 1 ?y=2t
1

(t 为参数)分别相交于 M、N 两点,求线段 MN 的长

度. ρ cos 2θ=8, ? ? π 解:(1)由? π 得:ρ2cos =8,所以 ρ2=16,即 ρ=± 4. 3 θ= ? ? 6 π? π? ? ? 7π? 所以 A、B 两点的极坐标为:A? ?4,6?,B?-4,6?或 B?4, 6 ?.
2

?x=1+ 23t, (2)由曲线 C 的极坐标方程得其直角坐标方程为 x -y =8,将直线? 1 ?y=2t
1 2 2



入 x2-y2=8,整理得 t2+2 3t-14=0, ?2 3?2-4×?-14? =2 17. 1 6.(2014· 昆明模拟)在直角坐标系 xOy 中,l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 α 的直线,在极 坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐 标方程为 ρ=4cos θ. (1)写出直线 l 的参数方程,并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M、N,求|PM|+|PN|的取值范围. 所以|MN|=
? ?x=4+tcos α, 解:(1)直线 l 的参数方程:? (t 为参数). ?y=2+tsin α ? ∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x. ?x=4+tcos α, ? ? (2)直线 l 的参数方程: (t 为参数), 代入 x2+y2=4x, 得 t2+4(sin α+cos ?y=2+tsin α ? α)t+4=0,

Δ=16?sin α+cos α? -16>0, ? ? ?t1+t2=-4?sin α+cos α?, ? ?t1t2=4, ∴sin α· cos α>0,又 0≤α<π, π? ∴α∈? ?0,2?,且 t1<0,t2<0. π? ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin α+cos α)=4 2sin? ?α+4?, π π π 3π 0, ?,得 α+ ∈? , ?, 由 α∈? ? 2? 4 ?4 4 ? π 2 ? ∴ <sin? ?α+4?≤1, 2 故|PM|+|PN|的取值范围是(4,4 2 ].

2



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