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2.5等比数例的前n项和


课题: §2.5.1 等比数列的前 n 项和(1)教案
教材分析: 本节知识是必修 5 第二章第 5 节的学习内容, 是在学习完等差数列前 n 项和的基础上再次学 习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。 ●教学目标 知识与技能: 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路; 会用等比数列的前 n 项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习 数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 学情分析: 针对学生学习等差数列前 n 项和时的情况, 一定在本节课的教学中加大思想方法 的教学力度,突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。 ●教学过程 一.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首 项是 1, 公比是 2, 求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列 的前 64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 等比数列的前 n 项和公式:



q ? 1 时,

Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q ①

Sn ?


a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时,

Sn ? na1 a n 时,用公式②.

当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列

a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n ? a ? a1 q n ?1 由? n

?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? a1 q n ?2 ? a1 q n ?1 ? ? ?qS ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n 得? n
? (1 ? q) S n ? a1 ? a1 q n

论同上)∴当 q ? 1 时, 当 q=1 时,

Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q ①

Sn ?


a1 ? a n q 1? q



Sn ? na1

公式的推导方法二:

a a2 a3 ? ??? n ? q a2 an?1 有等比数列的定义, a1 a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an 根据等比的性质,有
S n ? a1 ?q S n ? an ? (1 ? q ) S n ? a1 ? a n q (结 即
围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )


a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q ) S n ? a1 ? a n q (结论同上)
[解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由

a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得

a1 (1 ? q n ) 1 ? (1 ? 2 64 ) Sn ? 1 ? q = 1 ? 2 = 264 ?1。

264 ?1这个数很大,超过了 1.84 ?10 。国王不能实现他的诺言。
19

三 例题讲解 例 1.求下列等比数列的各项的和:

1 1 1 1 1 1, , , , 27, ?9,3,?, . 243 (1) 2 4 8 16 ; (2)
选题目的:直接应用公式,选择公式,熟练公式.

31 4921 . 答案: (1) 16 ; (2) 243 1 31 a a. 例 2.已知公比为 2 的等比数列的前 5 项和为 8 ,求这个数列的 1 及 5
选题目的:逆向应用公式.

1 a5 ? . a ? 2, 8 答案: 1 1 1 , ,1,? S 例 3.已知等比数列 9 3 ,求使得 n 大于 100 的最小的 n 的值.
选题目的:综合应用公式. 答案:使得

Sn 大于 100 的最小的 n 的值为 7.
{an } 的前 n 项和为 S n ? 3n ? a .当常数 a 满足什么条件时, {an } 才是等比数

例 4.设数列 列?

选题目的:沟通 答案: a ? ?1

an 与 Sn 的关系,灵活应用公式.

四. 反思总结,当堂检测。 :课本 66 页练习 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

五.课后小结

等 比 数 列 求 和 公 式 : 当 q=1 时 ,

Sn ? na1

当 q ?1 时,

Sn ?

a1 ? a n q 1? q



a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q
六. 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师 生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进 行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。

●板书设计:略

2.5.1 等比数列的前 n 项和(1)学案 临清二中 编写:王春兰 审稿:李其智 课前预习学案 一.预习目标:了解等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 二 预习内容:等比数列前 n 项和公式的推导方法。. 提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

三、

课内探究学案

一.学习目标: 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路; 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题. ; 学习重、难点:1.等比数列的前 n 项和公式;等比数列的前 n 项和公式推导; 2.灵活应用公式解决有关问题。 二.学习过程:1.首先来回忆等比数列定义,通项公式以及性质. ( 2.探究:已知等比数列的首项 a1,公比 q,项数 n(或 n 项 an),求它的前 n 项和 Sn 的计算公 式. 一种推导思想:错位相减,Sn=a1+a2+…+an-1+an=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1. 在 等号两边乘以 q,得 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. 将两式的两端分别相减, 就可消去这些共同项,

. a1qn.

得(1-q)Sn=a1-

a1 (1 ? q n ) S ? q ? 1 时, n 1? q ∴当 ①
当 q=1 时,

Sn ?


a1 ? a n q 1? q



Sn ? na1

还有没有其他都推导方法?

三. 反思总结:



1 1 1 当堂检测: (1)求等比数列 2 , 4 , 8 ,?的前 8 项的和;

(2)求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和。 课后练习与提高: 选择题: 1. 在各项都为正数的等比数列 {an} 首项 a1=3 , 中, 前三项和为 21, a3+ a4+ a5=( 则 A 33 B 72 C 84 D 189 2. 等比数列 A.

)

?an ?中,
B.

a2 ? 9, a5 ? 243 则 ?an ?的前 4 项和为( ,
120
C.



81

168

D.

192

3.在公比为整数的等比数列 和为( )

?an ?中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之
225 8

A.

513

B.

512

C.

510

D.

二.填空题: 1. 已知:a1=2,S3=26.则 q=---------2.已知三数成等比数列,若三数的积为 125,三数的和为 31,则三数为-----三解答题:

设数列

an ? ( ? a ) n ?1 (a ? 0)

,求这个数列的前 n 项和。

参考答案: 当堂检测

2.5.2 等比数列的前 n 项和(2)教案 教材分析: 本节知识是必修 5 第二章第 5 节的学习内容, 是在学习完等差数列前 n 项和的基 础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。 ●教学目标 知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思

教学目标: 知识与技能:会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的

Sn , an , a1 , n, q

中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力 过程与方法:通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的 思想. 情感态度与价值观:通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事 求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题

学情分析:在学生学习完等比数列的前 n 项和公式的基础上,进一步加强前 n 项和的应用. 在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。 ●教学过程 一.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容:等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, 当 q=1 时,

Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q ①

Sn ?


a1 ? a n q 1? q



Sn ? na1 a n 时,用公式②

当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q,

二.讲授新课 1、等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn,S2n,S3n, 求证:

S 2 ? S 2 n ? S n (S 2 n ? S 3n ) n 2

2、设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,?,nan,?的前 n 项和; ( 三.例题讲解 例 1 已知等比数列

?an ? 中,

S4 ? ?20, S8 ? ?1640 ,求 S12 .

设问 1:能否根据条件求

a1 和 q ? 如何求? 一定要求 q 吗?(基本量的确定)

设问 2:等比数列中每隔 4 项的和组成什么数列? (探究等比数列内在的联系) 设问 3:若题变: 数列

?an ? 是等比数列,且 Sn ? a, S2n ? b,(ab ? 0) 求 S3n

S2 n ? Sn b?a b ? a a 2 ? ab ? b 2 ? qn ? , S3n ? S 2 n ? ( S 2 n ? Sn )q n ? b ? (b ? a ) ? Sn a a a
引导学生归纳:若

?an ? 是等比数列,公比为 q,则每隔 n 项的和组成一个首项为 Sn ,公比为 q n 的
a1 , q 然后再求和,其次分析题目的特点、内在

等比数列.(学生类比等差数列相关结论) [说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量

结构,探索规律,并从特殊向一般推广,注意培养学生思维的严谨性. 例 2.某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 6000 电的脑.商规店定,购买时先

1 支付货款的 3 ,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.
已知欠款的月利率为 0.5% 到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?

?

假设货主每月还商店 a 元, 写出在第 i(i=1,2, 式. 每月的还款额为多少元(精确到 0.01)? 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样, 月底还款后的欠款数

36)个月末还款后, 货主对商店欠款数的表达

yi 与 第 i-1 个 月 底 还 款 后 的 欠 款 数 yi?1 的 关 系 是 第

yi ? yi?1 (1? 0.05%) ? a ,(学生分析)
三年内还清转化为数学语言是:

y36 ? 0

2 2 ? 解(1)因为购买电脑时,货主欠商店 3 的货款,即 6000 3 =4000(元),又按月利率 0.5%到第一个
月底的欠款数应为 4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为 4020 元. (2)设第 i 个月底还款后的欠款数为 y i ,则有 y 1 =4000(1+0.5%)- a y 2 =y 1 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) - a (1+0.5%)- a y 3 =y 2 (1+0.5%)- a y 3 =y 2 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) - a (1+0.5%) - a (1+0.5%)- a
3 2 2

??
y i =y i ?1 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) - a (1+0.5%) - a (1+0.5%) 整理得
i ?2

i

i ?1

-

? -a,

(1 ? 0.5%) i ? 1 a i 0.5% y i =4000(1+0.5%) .( i =1,2, ?, 36)
(3)因为 y 3 6 =0,所以

(1 ? 0.5%) 3 6 ? 1 36 0.5 % 4000(1+0.5%) =0 a

即每月还款数

4000 (1 ? 0.5%) 3 6 ? 0.5% ? 121 .69 (1 ? 0.5%) 3 6 ? 1 a= (元)
所以每月的款额为 121.69 元. [说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键 词:”等额还款”,”月利率”,”第 i 个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并 使原问题得到尽可能圆满的解答.

1 1 1 2 y )+?+(xn+ y n )(y ? 0 )。 例 3.求 Sn=(x+ y )+(x2+
解:当 x ? 1,y ? 1 时,

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) y x ? x n?1 1? yn y ? ? ? n 1 1 1 1 1? x 1? x y ? y n?1 ??? 1? y y n )= y Sn=(x+x2+?+xn)+( y + 2
n

当 x=1,y ? 1 时

1? yn y n ? y n ?1 Sn=n+

当 x ? 1,y=1 时 当 x=y=1 时

x ? x n ?1 ?n Sn= 1 ? x
Sn=2n

四 反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测: 1.如果将例 4 的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额 a 将是多少?

1 2.一套住房的建筑面积为 100 平方米,房价为 9000 元/平方米.买房者若先付房价的 3 ,其余
款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率 是 0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法; 关注学生解题的规范性,准确度及速度. 五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等. 六.教学反思 : 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师 生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进

行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 板书:略

2.5.2 等比数列的前 n 项和(2)学案 课前预习学案 一. 预习目标: 会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力 二.预习内容:课本 64——65 的例 2,例 3 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

Sn , an , a1 , n, q

课内探究学案 学习目标:1.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的 思想. 2.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度. 重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 难点:灵活使用公式解决问题 学习过程:自主学习:首先回忆一下前一节课所学主要内容:等比数列的前 n 项和公式: 合作探究:1、等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn,S2n,S3n, 求证:

S 2 ? S 2 n ? S n (S 2 n ? S 3n ) n 2

2、设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,?,nan,?的前 n 项和; 反思: 当堂检测: 1.设{an}为等比数列,Sn=a1+?an,则在数列{Sn} 中 ( (A)任何一项均不为零 (B)必有一项为零 (C)至多有一项为零 (D)或有一项为零,或有无穷多项为零



2.数列{an}是正项等比数列,它的前 n 项和为 80,其中数值最大的项为 54,前 2n 项的和为

6560,求它的前 100 项的和。 课后练习与提高: 选择题: 1. 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}. [ ] A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 2.设等比数列的前 n 项和为

sn ,若 s10 : s5 =1:2,则 s1 5 : s5

= ( ) A. 3:4 B. 2:3 C. 1:2 D. 1:3 3.设数列{an}是公比为 a,首项为的等比数列,是其前项和,对任意的自然数 n,点 (

sn , sn?1 )所在直线方程是

A. y=ax-b B. y=ax+b C. y=bx+a D.y=bx-a 二。填空题: 4 . 三个正数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 5.. 设等比数列 值为—— 三.解答题:

{an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的

1 1 已知数列{an}满足 a1=1,a2=- 2 ,从第二项起,{an}是以 2 为公比的等比数列,{an}的前 n 项
和为 Sn,试问:S1,S2,S3?,Sn,?能否构成等比数列?为什么?

参考答案: 当堂检测: 1.D

? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ? 80 ? ① ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 6560 ? 1? q ② ②/①,得 qn=81 2. S2n>Sn, ∴q ? 1 ?
前 n 项中 an 最大。③代入①,得 a1=q-1

③∴q>1,故

又由 an=a1qn-1=54,得 81a1=54q

2(1 ? 31 0 0) ? 31 0 0 ? 1 ∴a1=2,q=3 ∴S100= 1 ? 3


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