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幂函数


幂函数专题讲义

主讲:李敏老师

幂函数
【知识梳理】 知识点 1、幂函数 1.幂函数的概念 y= ,其中 x 是自变量, a 是常数。

2.幂函数的特点 (1) x 的系数是 1 (3) x 的指数是常数 3.幂函数的衍生函数
a a

(2) x 的底数是自变量 x (4)只含有 x 这一项
a

a

y ? (3x)a , y ? 2 xa , y ? xa ? 5 等形式的函数都不是幂函数。
例题: 1.下列函数是幂函数的是( A. y ? 5
x

) C. y ? 5 x D. y ? ( x ? 1)
3

B. y ? x

5

2.幂函数 y ? (m ? m ? 1) x
2

?5m ?3

在(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的值



4、幂函数的图像与性质

y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

图像

定义域

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幂函数专题讲义

主讲:李敏老师

值域 奇偶性 单调性

5.幂函数 y ? x 当 x ﹥0 时的特征:
a

a 的范围 a ﹥0 a ﹥1
0﹤ a ﹤ 1

过定点

单调性

a ﹤0

在区间(0,+ ? )是减函数

当 a 为奇数时,幂函数为奇函数,当 a 为偶数时,幂函数为偶函数 6.第一象限内在直线 x =1 右侧 a 越大,图像越靠近 y 轴,即“指大图高”。

经典题型: 幂函数图像与性质 1、幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
2 ?1
1 3
? 1 2

在第一象限内的图像依次是右图中的曲线





A.C2,C1,C3,C4 C.C3,C2,C1,C4

B.C4,C1,C3,C2 D.C1,C4,C2,C3

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幂函数专题讲义

主讲:李敏老师

2、已知幂函数 y ? xm 满足 (a ? 1)
? m 3

2

? 2 m ?3

(m∈N )的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求 的 a 的取值范围。

*

﹤ (3 ? 2a)

?

m 3

求幂函数的解析式及函数值 3、已知幂函数 f ( x) ? xm 的解析式。
2

? m?2

(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,求函数 f ( x)

幂的大小比较 解题法则:参考本章第一节指数函数性质,另外,同指不同底,除了利用指数函数性质推论 二外,还可以应用相应的幂函数的单调性。 4、比较下列各组数的大小 (1) 3
? 5 2

和 3 .1

?

5 2

(2) 3

0 .8

和3

0 .7

? 1 ?8 (3) ? 8 和 ? ? ? ?9?
?

7 8

7

1

1

(4) 2 2 和 1.8 3

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幂函数专题讲义

主讲:李敏老师

5、已知幂函数 f ( x) ? x

?

1 2

,若 f (a ? 1) ﹤ f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围是

.

知识点 2、函数与方程

1、函数零点的概念 若 f ?a ? =0( a ∈A),则 a 是函数 y ? f ?x ? ( x ∈A)的零点。从图像上来看,函 数的零点也就是 2、零点定理 函数零点的存在性定理 如果函数 y ? f ( x) 在区间[ a , b ]上的图像是一条连续不断的曲线,并且 有 使得 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b ) 内有零点, 即存在 c ∈ ( a, b ) , ,这个 c 也就是方程 f ( x) =0 的根。 。

注意:①该定理只能判断零点的存在性,而不能判断出有多少个零点。②该判断 零点存在与否的方法并不是对所有函数的零点都适用。例如, y ? x2 。 1.函数 f ( x) ? ln x ? A.(1,2)
2 的零点所在的大致区间是( ) x 1 B.(2,3) C.(1, )和(3,4) e

D.(e,+∞)

2、函数 f ( x) ?

( x ? 1) ln x 的零点个数为 x?3

3.求下列函数的零点个数 (1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 6 (2) f ( x) ? 2x ? 2 x ? 6
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主讲:李敏老师

f ( x) ? log1 x ? 2 x ? 3
(3)
2

知识点 3、二次函数 二次函数零点的分布: y ? ax2 ? bx ? c (a≠0 且 a>0)

根的分布 (m﹤n﹤ p)

图像

满足条件

x1 ﹤ m ﹤ x 2

一个区间内只有 一个根

m ﹤ x1 ﹤ n ﹤ x 2 ﹤p

m ﹤ x1 ﹤ x 2 ﹤ n

一个区间内有两 个根

m ﹤ x1 ﹤ x 2

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主讲:李敏老师

x1 ﹤ x 2 ﹤ m

总结: 一元二次方程根分布一般从三个方面考虑: ①判别式; ②顶点函数值; ③对称轴;
④韦达定理。

求有参数的函数问题: y ? ax2 ? bx ? c ①判断 a 的取值; ②能化成十字相乘的用根分布求参;③不能化成十字相乘的用 对称轴分布求参;④作图。 例题: 1、若关于 x 的方程 x2 ? mx ? m ? 1 ? 0 有一正根和一负根,且负根的绝对值较大, 求实数 m 的取值范围。

2、 f ( x) ? ax2 ? x ? 1, (a ? 0), 在 x∈【1,2】上恒大于 0,求 a 的取值范围

学以致用: 1.已知函数 f ( x) ? (m2 ? 2m ? 2) ? xm
2

?m?1

是幂函数,则 m?

2.如果幂函数 y ? (m2 ? 3m ? 3) ? xm

2

? m? 2

的图像不过原点,则 m =

3.下列结论正确的是(


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主讲:李敏老师

A.幂函数的图像都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图像可以出现在第四象限 C.当幂指数 ? 取 1,3,

1 ? 时,幂函数 y ? x 是增函数 2
?

D.当幂指数 ? =-1 时,幂函数 y ? x 在定义域上是减函数

4.下列六个函数: y ? x , y ? x , y ? x 函数有( A.2 个 ) B.3 个 C.4 个

5 3

3 4

?

1 3

, y ? x , y ? x , y ? x 中定义域为 R 的
2

2 3

?2

D.5 个

5.函数 f ( x) ? xa 值为

2

? 4 a ?9

是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(a∈Z,a≤0),则 f ? ? 的

?1? ?2?

? 4 ?3 ? 3 ?2 ? 2? 6.比较大小: a ? ? ? , b ? 2 3 , c ? ? ? ? , d ? ? ? ?3? ?4? ? 3?

1

2

3

1

7.已知函数 f ( x) ? x

3 1 ?k ? k 2 2 2

( k ∈Z)。

(1)若 f ( x) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在(0,+∞)上是减函数,求 k 的取值范围。

8、当 x∈(1,2)时, f ( x) ? x ? mx? 4 单调递增,求 m 的取值范围
2

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