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1-1第2章 §3 3.1双曲线及其标准方程


成才之路 · 数学
北师大版 · 选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章

圆锥曲线与方程

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第二章 §3 双曲线

第二章

圆锥曲线与方程

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第二章 3.1 双曲线及其标准方程

第二章

圆锥曲线与方程

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

第二章

§3 3.1

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自主预习学案

第二章

§3 3.1

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1.了解双曲线的定义,会推导双曲线的标准方程. 2.会用待定系数法求双曲线的标准方程.

第二章

§3 3.1

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重点:双曲线的定义及其标准方程.
难点:双曲线标准方程的推导.

第二章

§3 3.1

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双曲线的定义
思维导航 1 我们已知函数 y=x 的图像是双曲线,生活中我们也见过类 似双曲线的形状的物品,如冷却塔的纵截面,那么双曲线是怎 样定义的,怎样画出双曲线呢? 给你一条拉链、两个圆钉、一支笔,你能画出双曲线吗?

第二章

§3 3.1

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新知导学 1.类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 差 的绝对值等于定 在平面内到两个定点 F1 、 F2 距离之 _____ 值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点 焦点 叫做双曲线的 __________ ,两焦点之间的距离叫做双曲线的 焦距 . _______

第二章

§3 3.1

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2.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”. (1)在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若2a= 两条射线 ;若2a>|F1F2|,则动点的 |F1F2|,则动点的轨迹是____________ 不存在 . 轨迹是__________ 绝对值 ”,若去掉定 (2)双曲线定义中应注意关键词“__________ 绝对值 ”三个字,动点轨迹只能是_____________ 双曲线的一支 . 义中“_________

第二章

§3 3.1

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双曲线的标准方程

思维导航
类比椭圆方程的建立过程,你该怎样建立双曲线的方程 呢? 在椭圆标准方程推导过程中,是令 b 2 = a 2 - c 2 ,而在双曲 线标准方程的推导过程中,是令 b 2 = c 2 - a 2 . 这样做有什么好

处?

第二章

§3 3.1

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新知导学
3.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为
x2 y2 _________________________ ,焦点在y轴上的双曲线的标准方 a2-b2=1(a>0,b>0) y2 x 2 2- 2=1(a>0,b>0) a b 程为______________________ .

4.在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为 a2+b2=c2 __________________.

第二章

§3 3.1

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5 .对比是学习数学中常用的有效的学习方法,应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识,深化对新知识的理解的作 用,也能有效的避免知识的混淆.在学习双曲线知识时,要时

时留意与椭圆进行对比.

第二章

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椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 定义|MF1|+|MF2|=2a =b2(b>0) x2 y 2 y2 x2 a2+b2=1 或a2+b2=1 (a>b>0) 双曲线 定义|MF1|-|MF2|=± 2a =b2(b>0) x2 y2 y2 x2 a2-b2=1 或a2-b2=1(a>0, b>0,a 不一定大于 b)

因为 a>c>0,所以令 a2-c2 因为 0<a<c,所以令 c2-a2

第二章

§3 3.1

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6. 在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看 x 2 、 y 2 分母 的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个 项________ 系数 的符号. 轴上,是看x2、y2 ________

第二章

§3 3.1

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牛刀小试 1.已知两定点F1(-3,0)、F2(3,0),在满足下列条件的平面 内动点P的轨迹中,是双曲线的是( A.||PF1|-|PF2||=5 ) B.||PF1|-|PF2||=6

C.||PF1|-|PF2||=7

D.||PF1|-|PF2||=0

第二章

§3 3.1

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[解析]

A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故

运点P的轨迹是双曲线; B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点P的轨迹是以F1或 F2为端点的射线(含端点); C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点P的轨迹不存在;

D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直
平分线的性质,动点P的轨迹是线段 F1 F2的垂直平分线,故选 A.

[答案] A

第二章

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[ 点评 ]

注意双曲线定义中的“小于 | F 1 F 2 | ”这一限制条

件,其依据是“三角形两边之差小于第三边”.实际上, (1)若2a=|F1F1|,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知 识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点的一条射 线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点的一条射

线;
(2)若2a>|F1F2|,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,则与“三角形两边 之差小于第三边”相矛盾,故动点轨迹不存在; (3)特别地当2a=0时,|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线 的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
第二章 §3 3.1

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x2 y2 2.双曲线25- 9 =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到 另一个焦点的距离为( A.22 或 2 C.22
[ 答案] A

) B.7 D.2

[ 解析]

∵a2=25, ∴a=5, 由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||

= 10 ,由题意知 |PF1| = 12 ,∴ |PF1| -|PF2| = ± 10 ,∴ |PF2| = 22 或 2.

第二章

§3 3.1

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3 .在方程 mx 2 - my 2 = n 中,若 mn <0 ,则方程的曲线是 ( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线 [答案] D

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§3 3.1

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[ 解析 ]

2 2 y x 方程 mx2 - my2 = n 可化为: n - n = 1 ,∵ -m -m

n mn<0,∴-m>0, ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.

第二章

§3 3.1

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4.(2014· 山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(0,6),(0, -6),且经过点 A(-5,6),则其标准方程为( x2 y2 A.16-20=1 y2 x2 C.20-16=1 y2 x2 B.16-20=1 y2 x2 D.45- 9 =1 )

[答案] B [ 解析 ] 由条件知 c =6 ,焦点在 y 轴上,排除 A 、 D ;又双 曲线经过点A(-5,6),排除C.

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§3 3.1

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5.满足下列条件的点 P(x,y)的轨迹是什么图形? (1)| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2|=6; (2) ?x+4?2+y2- ?x-4?2+y2=6.
[答案] (1)以(-5,0),(5,0)为焦点的双曲线;

(2)以(-4,0),(4,0)为焦点的双曲线的右支.

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典例探究学案

第二章

§3 3.1

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待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线经 9 过点(3,-4 2)和(4,5),求双曲线的标准方程; x2 y2 (2)求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点, 且过点(3 2, 2)的双 曲线方程.

第二章

§3 3.1

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[ 分析]

可先设出双曲线的标准方程,再构造关于 a 、 b 的

方程组,求得a、b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方

关系c2=a2+b2的运用.

第二章

§3 3.1

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[ 解析] b>0),

y2 x 2 (1)由已知可设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0,

?32 9 ? a2 -b2=1 则? 81 ?25 2- 2=1 a 16 b ?

2 ? ?a =16 ,解得? 2 ? ?b =9

.

y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为16- 9 =1.

第二章

§3 3.1

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x2 y2 (2)解法一:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意 易求得 c=2 5. 又双曲线过点(3 2,2), ?3 2?2 4 ∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2, ∴a2=12,b2=8. x2 y 2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.

第二章

§3 3.1

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x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4, x2 y2 ∴所求双曲线方程为12- 8 =1.

第二章

§3 3.1

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[ 方法规律总结 ] 步骤如下:

1. 利用待定系数法求双曲线标准方程的

(1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,还是两坐标轴都有可能. x2 y2 y2 x2 (2)设方程:根据焦点位置,设方程为a2-b2=1 或a2-b2= 1(a>0,b>0),焦点不定时,亦可设为 mx2+ny2=1(m· n<0); (3)寻关系: 根据已知条件列出关于 a、 b(或 m、 n)的方程组; (4)得方程:解方程组,将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求.
第二章 §3 3.1

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2 .在求过两定点的椭圆方程时,我们曾经将椭圆方程设 为mx2+my2=1(m>0,n>0)以简化运算,同理求经过两定点的 双曲线方程也可设为mx2+ny2=1,但这里应有m·n<0.

第二章

§3 3.1

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求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点 A(-5,6), ________; x2 y2 5 (2)与椭圆16+25=1 共焦点,且过点(1,-2),________.

[ 答案]

y2 x2 y2 x2 (1)16-20=1 (2) 5 - 4 =1

第二章

§3 3.1

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[ 解析]

(1)解法一:由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上,

则另一焦点坐标是(0,6). 因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a,即 2a=| ?-5?2+?6+6?2- ?-5?2+?6-6?2| =|13-5|=8, 得 a=4,b2=c2-a2=62-42=20. y2 x2 因此,所求的双曲线标准方程是16-20=1.

第二章

§3 3.1

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解法二:由焦点坐标知 c=6,∴a2+b2=36, y2 x2 ∴双曲线方程为a2- =1. 36-a2 ∵双曲线过点 A(-5,6), 36 25 2 2 ∴ a2 - = 1 ,∴ a = 16 , b =20. 36-a2 y2 x2 双曲线方程为16-20=1.

第二章

§3 3.1

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x2 y2 (2)由16+25=1 知焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). y2 x2 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则有 25 1 ? ? 2- 2=1, ?4a b ∴a2=5,b2=4. 2 2 ? ?a +b =9. y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 5 - 4 =1.

第二章

§3 3.1

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双曲线的定义
x2 y2 设双曲线 4 - 9 =1,F1,F2 是其两个焦点,点 P 在双曲线右支上. (1)若∠F1PF2=90° ,求△F1PF2 的面积; (2)若∠F1PF2=60° 时,△F1PF2 的面积是多少?若∠F1PF2 =120° 时,△F1PF2 的面积又是多少?

第二章

§3 3.1

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[ 分析]

1 由于三角形面积 S△F1PF2=2|PF1|· |PF2|· sinθ, 所以

只要求出|PF1||PF2|即可.因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1|· |PF2|.

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§3 3.1

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[ 解析]

(1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13,

设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2), 如图所示.由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4,
2 两边平方得 r2 + r 1 2-2r1r2=16.

∵∠F1PF2=90° ,
2 2 2 ∴r 2 + r = 4 c = 4 × ( 13) =52. 1 2

∴2r1r2=52-16=36, 1 ∴S△F1PF2=2r1r2=9.

第二章

§3 3.1

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(2)若∠F1PF2=60° ,
2 在△ F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2 = r 2 + r 1 2 - 2r1r2cos60°

=(r1-r2)2+r1r2, 而 r1-r2=4,|F1F2|=2 13,∴r1r2=36. 1 1 3 于是 S△F1PF2=2r1r2sin60° =2×36× 2 =9 3. 同理可求得若∠F1PF2=120° 时,S△F1PF2=3 3.

第二章

§3 3.1

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[ 方法规律总结 ]

在椭圆的研究中我们已经体验了定义在

解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用,同样在双曲线 中也应注意定义的应用.

已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题,往往利用
正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式.

第二章

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x2 y2 在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)中,F1、F2 是两焦点,P 在 a-b → → 双曲线上,若PF1· PF2=0,tan∠PF1F2=2,则 =________. a+b
[ 答案] 1 -3

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[ 解析]

→ → 因为 P 在双曲线上,且PF1· PF2=0,

所以△PF1F2 是直角三角形. 又因为 tan∠PF1F2=2,所以|PF2|=2|PF1|. 根据双曲线的定义有|PF2|-|PF1|=2a, 所以|PF2|=4a,|PF1|=2a, 于是|F1F2|=2 5a,即 2c=2 5a, a-b a-2a 1 所以 c= 5a,于是 b=2a,故 = =-3. a+b a+2a

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§3 3.1

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双曲线的焦点三角形问题

x2 y2 若 F1、F2 是双曲线 9 -16=1 的两个焦点,P 在 双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.
[ 解析] 由双曲线的对称性,可设点 P 在第一象限,

由双曲线的方程,知 a=3,b=4,∴c=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6.

第二章

§3 3.1

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上式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2|=36+64 =100, 由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF |· |PF |
1 2

100-100 =2|PF |· =0. | PF | 1 2 ∴∠F1PF2=90° .

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[ 方法规律总结 ]

双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼

点,在焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等 是经常使用的知识点.另外,还经常结合|PF1|-|PF2|=±2a,

运用平方的方法,建立它与|PF1|·|PF2|的联系,请同学们多加
注意.

第二章

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x2 y2 设 P 为双曲线16- 9 =1 上一点,F1、F2 该双曲线的两个 焦点,若∠F1PF2=60° ,则△PF1F2 的面积为________.
[ 答案] 9 3

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[ 解析]

x2 y2 由方程16- 9 =1,得 a=4,b=3,故 c= 16+9

=5,∴|F1F2|=2c=10. 又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60° ,即 |PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100. ①-②,得|PF1||PF2|=36, 1 1 3 ∴S△PF1F2=2|PF1||PF2|sin60° =2×36× 2 =9 3.
第二章 §3 3.1





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分类讨论思想的应用

已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同 范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型.

[ 分析]

解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系

数应满足的条件进行分类讨论.

第二章

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[ 解析] 线;

(1)当 k=0 时,y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直

(2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径 为 2 的圆; y2 x2 (3)当 k<0 时,方程为 4 - 4=1,表示焦点在 y 轴上的双 -k 曲线;

第二章

§3 3.1

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x2 y 2 (4)当 0<k<1 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在 x 轴上的椭 k 圆; x2 y2 (5)当 k>1 时, 方程为 4 + 4 =1, 表示焦点在 y 轴上的椭圆. k
[ 方法规律总结] 解决这类题的基本方法是分类讨论,在 分类讨论的过程中应做到不重不漏,选择适当的分界点.在讨 论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征.

第二章

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x2 y2 讨论方程 + =1(m<3)所表示的曲线类型. 5-m 2-m

[ 答案] 椭圆.

2<m<3 时,方程表示双曲线;m<2 时,方程表示

第二章

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[ 解析]

x2 当 2<m<3 时,5-m>0,2-m<0,此时方程 + 5-m

y2 =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线;当 m<2 时,5-m>2- 2-m x2 y2 m>0,此时方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆. 5-m 2-m

第二章

§3 3.1

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注意参数取值范围对解题的影响 已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3), 求 k 的值.

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[ 错解]

x 2 y2 将双曲线方程化为标准方程 1 - 8 =1.因为焦点在 k k
2

8 2 1 y 轴上,所以 a =k ,b =k ,所以 c= a2-b2= 7 7 k =9,所以 k=9.

8 1 k -k =3,即

第二章

§3 3.1

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[ 辨析]
2

上述解法有两处错误:一是 a2、b2 确定错误,应

8 1 2 该是 a =-k,b =-k ;二是 a、b、c 的关系式用错了.在双 曲线中应为 c2=a2+b2.

第二章

§3 3.1

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[ 正解]

2 2 x y k 将双曲线方程化为 kx2-8y2=1,即 1 - 8 =1.因为 k k 2

8 2 一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a =-k ,b 1 8 1 9 2 2 2 =-k ,所以 a +b =-k -k =-k =c =9.所以 k=-1.

第二章

§3 3.1

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已知定点 A(-3,0)和定圆 C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆 C 相外切, 并且过定点 A, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为________.
[ 答案] x2 y 2 4 - 5 =1(x≤-2)

第二章

§3 3.1

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[ 解析]

设 M(x,y),设动圆与圆 C 的切点为 B,|BC|=4,

则|MC|=|MB|+|BC|, |MA|=|MB|, 所以|MC|=|MA|+|BC|, 即|MC| -|MA|=|BC|=4<|AC|. 所以由双曲线的定义知,M 点轨迹是以 A,C 为焦点的双 曲线的左支,且 a=2,c=3,所以 b2=5. x2 y2 所以所求圆心 M 的轨迹方程是 4 - 5 =1(x≤-2).

第二章

§3 3.1

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[ 点评]

求解中易把动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲

线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实 际上是双曲线的一支. 若 F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点, || PF 1 | - | PF 2 || =

2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)时,P点的轨
迹是双曲线,其中取正号时为双曲线的右支,取负号时为双曲 线的左支.

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