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高中数学知识点总结大全 :空间向量与立体几何


高中数学知识点总结 高中数学知识点总结 知识点
一、考点概要: 1、空间向量及其运算 (1)空间向量的基本知识:

空间向量与立体几何

①定义: 空间向量的定义和平面向量一样, 那些具有大小和方向的量叫做向量, 并且仍用有向线段表示空间向量, 且方向相同、 长度相等的有向线段表示相同向量或相等的 向量。 ②空间向量基本定理:

ⅰ定理:如果三个向量

不共面,那么对于空间任一向量

,存在唯

一的有序实数组 x、y、z,使 都叫基向量。

。且把

叫做空间的一个基底,

ⅱ正交基底: 如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直, 那么这个基底 叫正交基底。 ⅲ 单位正交基底:当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位

正交基底,通常用

表示。

ⅳ 空间四点共面:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间中任意一点 P,

都存在唯一的有序实数组 x、y、z,使 ③共线向量(平行向量):



ⅰ定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向

量叫做共线向量或平行向量,记作



ⅱ规定:零向量与任意向量共线;

ⅲ共线向量定理:对空间任意两个向量 实数 λ,使 。

平行的充要条件是:存在

④共面向量: ⅰ定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个

向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行:如果直线 OA 平行于平面或 在 α 内,则说向量 平行于

平面 α,记作

。平行于同一平面的向量,也是共面向量。

ⅲ共面向量定理:如果两个向量 、 不共线,则向量

与向量 、 共面的充要条件是:

存在实数对 x、y,使



ⅳ空间的三个向量共面的条件:当

、 、 都是非零向量时,共面向量定理

实际上也是

、 、 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一

条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 ⅴ共面向量定理的推论:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是:存在有序实 数对 x、 使得 y, , 或对于空间任意一定点 O, 有 。

⑤空间两向量的夹角:已知两个非零向量 、 ,在空间任取一点 O,作



(两个向量的起点一定要相同) ,则叫做向量 与 的夹角,记作

,且



⑥两个向量的数量积: ⅰ定义:已知空间两个非零向量 、 ,则 叫做向量 、 的

数量积,记作

,即:



ⅱ规定:零向量与任一向量的数量积为 0。 ⅲ注意:两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积) ,它的结果是一个实 数,它等于两向量的模与其夹角的余弦值。 ⅳ数量积的几何意义: 的夹角) 。 即:数量积 ⅴ基本性质: 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。 叫做向量 在 方向上的投影(其中 θ 为向量 和

ⅵ运算律:

(2)空间向量的线性运算: ①定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下: ②加法:

③减法:

④数乘向量: ⑤运算律: ⅰ加法交换律:

ⅱ加法结合律: ⅲ数乘分配律: 二、复习点睛: 1、立体几何初步是侧重于定性研究,而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入, 为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理,出现了用基向量解决立体几何问题的向量法,建立空间 直角坐标系,形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法,它们的解答通常遵循“三步”:一

化向量问题,二进行向量运算,三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的 运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别,向量的数量积满足交换律和分配律, 但不满足结合律,因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是:完 全平方公式和平方差公式仍然适用, 数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙, 尤 其去括号就显得更为突出,下面两个公式较为常用,请务必记住并学会应用:



2、空间向量的坐标表示:

(1)空间直角坐标系:

①空间直角坐标系 O-xyz,在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 点 O 为原点,分别以

,以

的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫

做坐标轴,点 O 叫做原点,向量

叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标

平面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面。 ②右手直角坐标系:右手握住 z 轴,当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转向正 向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的正向;

③构成元素:点(原点)、线(x、y、z 轴)、面(xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面); ④空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使∠xOy=135°(或

45°), ∠yOz=90°,z 轴垂直于 y 轴,z 轴、y 轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的一半;

(2)空间向量的坐标表示:

①已知空间直角坐标系和向量 ,且设

为坐标向量(如图),

由空间向量基本定理知,存在唯一的有序实数组

叫做向量在此直角坐标系中的

坐标,记作

。 ,若

②在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任一点 A,对应一个向量

,则有序数组(x,y,z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x, y,z),其中 x 叫做点 A 的横坐标, y 叫做点 A 的纵坐标,z 叫做点 A 的竖坐标,写点的坐 标时,三个坐标间的顺序不能变。 ③空间任一点的坐标的确定:过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面),

分别交坐标轴于 A、B、C 三点,│x│=│OA│,│y│=│OB│,│z│=│OC│,当



的方向相同时,x>0,当

与 的方向相反时,x<0,同理可确 y、z(如图)。

④规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一 一对应。 ⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减 去起点的坐标。







则: (3)空间向量的直角坐标运算:

⑦空间两点间距离: ⑧空间线段

; 的中点 M(x,y,z)的坐标:



⑨球面方程: 二、复习点睛: 4、过定点 O,作三条互相垂直的数轴,它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。 这三条轴分别叫做 z 轴(横轴) 轴(纵轴) 轴(竖轴) 、y 、z ;统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上,而 z 轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以这样的三条坐 标轴就组成了一个空间直角坐标系,点 O 叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点: (1)点(原点)的坐标:(0,0,0); (2)线(坐标轴)上的点的坐标:x 轴上的坐标为(x,0,0),y 轴上的坐标为(0,y,0), z 轴上的坐标为(0,0,z); (3)面(xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面)内的点的坐标:平面上的坐标为(x,y,0)、 平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z) 6、要使向量 与 z 轴垂直,只要 z=0 即可。事实上,要使向量 与哪一个坐标轴垂直,只

要向量 的相应坐标为 0 即可。 7、空间直角坐标系中,方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表 示 xOy 平面,方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、 方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面; 8、只要将 和 代入,即可证明空间向量的运算法

则与平面向量一样; 9、由空间向量基本定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任

意不共面的三个向量

都可以构成空间的一个基底, 此定理是空间向量分解的基础。



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