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非课改区2010届高三上学期第三次检测(数学理)


高三上学期数学理科测试(3)
[原人教版 命题范围— 数 列 原人教版] 命题范围— 原人教版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分;答 题时间 150 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一,选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1. 若等差数列{ a n }的前三项和 S 3 = 9 且 a1 = 1 ,则 a 2 等于 A.3 B.4 C.5 D.6 ( ) ( )

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 = 9 , S6 = 36 ,则 a7 + a8 + a9 = A. 63 B.45 C.36 D.27

3.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an =

1 ,则 S5 等于 n(n + 1)
C.

(

)

A.1

B.

5 6
2

1 6

D.

1 30
( )

4.已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n 9n ,第 k 项满足 5 < ak < 8 ,则 k = A. 9 B. 8 C. 7
2n

D. 6

5.已知等比数列 {an } 满足 an > 0, n = 1, 2, ,且 a5 a2 n 5 = 2 ( n ≥ 3) ,则当 n ≥ 1 时,

log 2 a1 + log 2 a3 + + log 2 a2 n 1 =
A. n(2n 1) B. (n + 1) 2 C. n
2

( D. ( n 1) 2 (

)

6.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 = S3 S6
C.

)

A.2

B.

7 3

8 3
2

D.3 )

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 am 1 + am +1 am = 0 , S 2 m 1 = 38 ,则 m= ( A.38 B.20 C.10 D.9

8.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究 数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形 ,将其称为三角 形数;类似地,称图 2 中的 1,4 ,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角 形数又是正方形数的是
[来源:Z.xx.k.Com]

(

)

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

9.已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105 , a2 + a4 + a6 =99,以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和,
[来源:学|科|网]

则使得 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 B.20
2 2

(

)

10.数列 {an } 的通项 an = n (cos A. 470

nπ nπ sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 3 3
C. 495 D. 510

C.19

D. 18

(

)

B. 490

11.已知函数 f ( x ) = log 2 x ,等比数列 {an } 的首项 a1 > 0 ,公比 q = 2 ,若

f ( a2 a4 a6 a8 a10 ) = 25 ,则 2
A. 2
1004× 2008

f ( a1 ) + f ( a2 ) ++ f ( a2009 )
1004×2009

=
D. 2

(
1005× 2009

)

B. 2

C.

21005×2008

12. 已知函数 f ( x) = 3x 2 , ∈ R . x 规定: 给定一个实 数 x0 , 赋值 x1 = f ( x0 ) , x1 ≤ 244 , 若 则继续赋值 x2 = f ( x1 ) ,…,以此类推,若 xn 1 ≤244,则 xn = f ( xn 1 ) ,否则停止赋值, 如果得到 xn 称为赋值了 n 次 (n ∈ N* ) .已知赋值 k 次后该过程停止,则 x0 的取值范围 是 ( A. (3
k 6

)

, 3

k 5

]

B. (3

5 k

+ 1, 3

6 k

+ 1]

C. (3k 6 + 1, k 5 + 1] 3

D. (34 k + 1, 5 k + 1] 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二,填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) .

13. { a n }为公比 q>1 的等比数列, a2007 和 a2008 是方程 4 x 2 8 x + 3 = 0 的两根, 设 若

则 a2009 + a2010 =
14.设等比数列 {an } 的公比 q =

.
1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 = 2 a4
.

类 15.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S 4 ,S8 S 4 ,S12 S8 ,S16 S12 成等差数列. 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 比数列. , ,

T16 成等 T12

an , 当an为偶数时, 16.已知数列 {an } 满足: a1=m (m 为正整数) an +1 = 2 , 3a + 1, 当a 为奇数时. n n
若 a6=1 ,则 m 所有可能的取值为 .
[来

三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分) .
源:学*科*网 Z*X*X*K]

17. (12 分)在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (1)设 bn =

1 n

n +1 , 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 ; n

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

18. 2 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S n = kn + n , n ∈ N ,其中 k 是常数. (1
2
*

(1) 求 a1 及 an ;

[来源:Zxxk.Com]

(2)若对于任意的 m ∈ N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

19. (12 分)设数列 {an } 的通项公式为 an = pn + q ( n ∈ N , P > 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ≥ m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p =



1 1 , q = ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p = 2, q = 1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式.

20. (12 分)等 比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ∈ N 函数 y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn =

+

,点 (n, S n ) ,均在

n +1 (n ∈ N + ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4 an

[来源:学科网 ZXXK]

21. 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1 n ∈ N ( (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 4 (3)证明:
b1 1

(

)

4 b2 1 4 b3 1 4 bn 1 = (a n + 1) bn ,证明: {an } 是等差数列;

1 1 1 2 + + + < (n ∈ N ) . a2 a3 an +1 3

22. (14 分)各项均为正数的数 列 {an } , a1 = a, a2 = b ,且对满足 m + n = p + q 的正整数

m, n, p, q 都有
(1)当 a =

a p + aq am + an = . (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )

1 4 , b = 时,求通项 an ; 2 5 1

(2) 证明: 对任意 a , 存在与 a 有关的常数 λ , 使得对于每个正整数 n , 都有

λ

≤ an ≤ λ .
[来

源:学科网]

参考答案
[来源:Zxxk.Com]

一.选择题 1.A; 2. B; 3.B;
2

4.B;
2n

5.C ;由 a5 a2n5 = 22n (n ≥ 3) 得 a n = 2

, a n > 0 ,则 a n = 2 ,
n

log 2 a1 + log 2 a3 + + log 2 a 2 n 1 = 1 + 3 + + (2n 1) = n 2 .
6.B;设公比为 q ,则

S 6 (1 + q 3 ) S3 = =1+q3=3 q3=2, S3 S3

于是

S9 1 + q 3 + q 6 1 + 2 + 4 7 = = = S6 1 + q3 1+ 2 3

[来源:学+科+网]

7.C;因 为 {an } 是等差数列,所以, am 1 + am +1 = 2am ,由 am 1 + am +1 am = 0 ,
2

得:2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m 1 = 38 ,即
2

(2m 1)(a1 + a 2 m 1 ) =38, 2

即(2m-1)×2=38,解得 m=10. 8.C;由图形可得三角形数构成的数列通项 an =

n(n + 1) ,同理可得正方形数构成的数列 2 n(n + 1) 2 2 通项 bn = n ,则由 bn = n ( n ∈ N + ) 可排除 A,D,又由 an = 知 an 必为奇数. 2

9.B;由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 = 105, 即 a3 = 35 ,由 a2 + a4 + a6 =99 得 3a4 = 99 即 a4 = 33 ,∴ d = 2 , an = a4 + ( n 4) × ( 2) = 41 2n , 由

an ≥ 0 得 n = 20 . an +1 < 0
2

10.A;由于 {cos

nπ nπ sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

[来源:学科网 ZXXK]

12 + 22 4 2 + 52 282 + 292 2 2 S30 = ( + 3 ) + ( + 6 ) + + ( + 302 ) 2 2 2

= ∑ [
k =1

10

10 (3k 2) 2 + (3k 1) 2 5 9 ×10 × 11 + (3k ) 2 ] = ∑ [9k ] = 25 = 470 . 2 2 2 k =1

11.B; 12.B.

[来源:Z.xx.k.Com]

二,填空题 13.18;

1 q4 a1 (1 q 4 ) s4 3 , a4 = a1q ,∴ = 3 = 15 . 14.15; 对于 s4 = 1 q a4 q (1 q )
15.

T8 T12 T T , ; 对于等比 数列, 通过类比, 有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , T4 , 8 , 12 , 则 T4 T8 T4 T8 T16 成等比数列. T12

[来源:学科网 ZXXK]

16.4,5,32; (1)若 a1 = m 为偶数,则 ①当

a1 m a m 为偶, 故 a2 = a3 = 2 = 2 2 2 4


[来源:学科网]

m = 1 m = 32 32 3 m +1 m 3 ②当 为奇数时, a4 = 3a3 + 1 = m + 1 a6 = 4 4 4 4 3 m +1 故4 = 1 得 m=4. 4
(2)若 a1 = m 为奇数,则 a2 = 3a1 + 1 = 3m + 1 为偶数,故 a3 =

m m m 仍为偶数时, a4 = a6 = 4 8 32

a6 =
三.解答题

3m + 1 3m + 1 ,所以 =1 可得 m=5. 16 16 an +1 an 1 1 = + n ∴ bn +1 bn = n n +1 n 2 2

3m + 1 必为偶数 2

17.解: (1)由已知有

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn = 2 (2)由(I)知 an = 2n
n n

1 * (n∈ N ) . n 1 2

n n n n k k ,∴ Sn = ∑ (2k k 1 ) = ∑ (2k ) ∑ k 1 n 1 2 2 k =1 k =1 k =1 2

[来源:Z*xx*k.Com]



∑ (2k ) = n(n + 1) ,又 ∑ 2
k =1 k =1

k
k 1

是一个典型的错位相减法模型,

[来源:Zxxk.Com]

易得

∑2
k =1

n

k
k 1

= 4

n+2 n+2 ∴ Sn = n(n + 1) + n 1 4 . n 1 2 2

18.解: (1)当 n = 1, a1 = S1 = k + 1 ,

n ≥ 2, a n = S n S n1 = kn 2 + n [k (n 1) 2 + (n 1)] = 2kn k + 1 ( )

经检验, n = 1, 对( )式也成立,
2

∴ a n = 2kn k + 1 .

(2)∵ a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,∴ a 2 m = a m .a 4 m , 即 ( 4km k + 1) 2 = ( 2km k + 1)(8km k + 1) ,整理得: mk ( k 1) = 0 , 对任意的 m ∈ N 成立, ∴ k = 0或k = 1 . 19. (1)由题意,得 an = ∴

1 1 1 1 20 n ,解 n ≥ 3 ,得 n ≥ . 2 3 2 3 3

1 1 n ≥ 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 = 7 . 2 3

(2)由题意,得 an = 2n 1 ,对于正整数,由 an ≥ m ,得 n ≥

m +1 . 2

根 据 bm 的 定 义 可 知 , 当 m = 2k 1 时 , bm = k k ∈ N * ; 当 m = 2k 时 ,

(

)

bm = k + 1( k ∈ N * ) .
∴ b1 + b2 + + b2 m = ( b1 + b3 + + b2 m 1 ) + ( b2 + b4 + + b2 m )
[来源:学科网]

= (1 + 2 + 3 + + m ) + 2 + 3 + 4 + + ( m + 1) = m ( m + 1) 2 + m ( m + 3) 2 = m 2 + 2m .
+

20.解: (1)因为对任意的 n ∈ N ,点 (n, S n ) ,均在函数 y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为 常数)的图像上.所以得 S n = b + r ,
n
[来源:Z,xx,k.Com]

当 n = 1 时, a1 = S1 = b + r , 当 n ≥ 2 时, an = S n S n 1 = b + r (b
n n 1

+ r ) = b n b n 1 = (b 1)b n 1 ,
n 1

又因为{ an }为等比数列, 所 以 r = 1 , 公比为 b , 所以 an = (b 1)b (2)当 b=2 时, an = (b 1)b 则 Tn =
n 1

= 2 n 1 , bn =

n +1 n +1 n +1 = = n +1 n 1 4 an 4 × 2 2

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = + 4 + 5 + + n +1 + n + 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + + n +1 n + 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 × (1 n 1 ) 1 23 n +1 3 1 n +1 2 + n + 2 = n +1 n + 2 1 2 2 4 2 2 1 2 3 1 n +1 3 n + 3 所以 Tn = n n +1 = n +1 . 2 2 2 2 2
21.解: (1)∵ a n +1 = 2a n + 1 ,∴ a n +1 + 1 = 2( a n + 1) 故数列 {a n + 1} 是首项 为 2,公比为 2 的等比数列.
[来源:学.科.网]

[来源:学.科.网]

∴ an + 1 = 2 n , an = 2 n 1 .
(2)∵ 4 b1 1 4 b2 1 4 b3 1 4 bn 1 = ( a n + 1) bn ,∴ 4
( b1 + b2 ++ bn n )

= 2 nbn

2(b1 + b2 + + bn ) 2n = nbn ① 2(b1 + b2 + + bn +b n +1 ) 2(n + 1) = (n + 1)bn+1 ②
②—①得 2bn +1 2 = ( n + 1)bn +1 nbn ,即 nbn 2 = ( n 1)bn +1 ③

∴ (n + 1)bn +1 2 = nbn + 2 ④

[来源:Zxxk.Com]

④—③得 2nbn +1 = nbn + nbn 1 ,即 2bn +1 = bn + bn 1 所以数列 {bn } 是等差数列 (3)∵

1 1 1 1 1 = n +1 < n +1 = a n 2 1 2 2 2 a n 1

设S =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ++ ,则 S < + ( + ++ ) = + (S ) a 2 a3 a n +1 a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n +1

S<

2 1 2 1 2 = < . a 2 a n +1 3 a n +1 3

[来源:学科网]

22.解 : (1)由

a p + aq am + an = 得 (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )

a1 + an a2 + an 1 1 4 = . 将 a1 = , a2 = 代入化简得 (1 + a1 )(1 + an ) (1 + a2 )(1 + an 1 ) 2 5 an = 2an 1 + 1 1 an 1 1 an 1 . 所以 = , 1 + an 3 1 + an 1 an 1 + 2

故数列 {

1 an 1 an 1 3n 1 } 为等比数列,从而 = n , 即 an = n . 1 + an 1 + an 3 3 +1

可验证, an =

3n 1 满足题设条件. 3n + 1

(2)由题设

am + an 的值仅与 m + n 有关,记为 bm+n , 则 (1 + am )(1 + an )

bn +1 =

a1 + an a + an = . (1 + a1 )(1 + an ) (1 + a )(1 + an )

[来源:学,科,网]

考察函数 f ( x) =

a+x ( x > 0) ,则在定义域上有 (1 + a )(1 + x)

1 a >1 1 + a , 1 f ( x) ≥ g (a) = , a =1 . 2 a 1 + a , 0 < a < 1
故对 n ∈ N , bn +1 ≥ g ( a ) 恒成立.
*
[来源:Zxxk.Com]

又 b2 n =

2 an 1 ≥ g (a ) ,注意到 0 < g (a ) ≤ ,解上式得 2 (1 + an ) 2

1 g (a) 1 2 g (a) 1 g (a) + 1 2 g (a) g (a) = ≤ an ≤ , g (a) g (a) 1 g (a) + 1 2 g (a)
取λ =
[来源:学科网 ZXXK]

1 g (a) + 1 2 g (a) ,即有 g (a)

1

λ

≤ an ≤ λ . .



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