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2016届黑龙江省哈尔滨三中高三下学期三模数学(理)试题(解析版)


2016 届黑龙江省哈尔滨三中高三下学期三模数学(理)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | A . {x | x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 2} 【答案】B 【 解

x ? 0} ,则集合 A ? B ? ( x ?1



B . {x | x ? 2 或 x ? 0}

C . {x | 1 ? x ? 2}



















A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ? ?

x | , ? 0} , ?? ? 1 ?? , B ? 2{x ? ? ? ? ?? ? ,0? ? ?1, ??? , x ?1

所以 A ? B ? ? ??,0? ? ?2, ??? ,故选 B. 【考点】1、集合的表示;2、集合的基本运算. 2.已知复数 z ? A.第一象限 【答案】C

5 ,则复数 z 所对应的点在( i?2
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

【解析】试题分析:因为 z ?

5 5 ? ?2 ? i ? ? ?2 ? i ,即 z 对应坐标为 ? ?2, ?1? ,所 = i?2 5

以复数 z 所对应的点在第三象限,故选 C. 【考点】1、复数的运算;2、复数的几何意义. 3.对于函数 y ? f ( x), x ? R ,命题“ f (0) ? 0 ”是“ y ? f ( x) 是奇函数”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 【答案】B B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
2



【解析】试题分析:因为 f ? x ? ? x 时也有 f (0) ? 0 ,即 y ? f ( x) 不是奇函数,而若

y ? f ( x) 是 奇 函 数 时 一 定 有 f ? x? ? f ? ? x ? ?0 , x ? 0 得 f ? 0? ? 0 , 所 以 命 题
“ f (0) ? 0 ”是“ y ? f ( x) 是奇函数”的必要非充分条件,故选 B. 【考点】1、函数的奇偶性;2、充分条件与必要条件. 【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查函数的奇偶性,属于中档题.判断 充要条件应注意:首先弄清条件 p 和结论 q 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性 质尝试 p ? q, q ? p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题, 除借助集合思想化 抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它 的等价命题. 4.已知 ?ABC 是边长为 4 的等边三角形,则 ?ABC 的斜二测直观图的面积为( ) A. 6 B. 2 6 C. 4 3 D. 2 3

【答案】A 【解析】试题分析:因为 ?ABC 是边长为 4 的等边三角形,所以 ?ABC 的面积为

3 S 2 , ?16 ? 4 3 , 而 原 图 与 直 观 图 面 积 之 间 的 关 系 是 , ?A' B 'C ' ? 4 S?ABC 4 S?A ' B 'C ' ? 2 ? 4 3 ? 6 ,故选 A. 4

【考点】1、斜二测画法的基本含义;2、三角形面积公式. 5.执行如下图所示的程序框图,则输出的结果是( )

A.1 【答案】A

B. ? 3

C. 3

D.0

【解析】试题分析:因为 n ? 1 时,第一次循环得 s ? ?

3 ; n ? 2 时,第二次循环得 2

1 ; n ? 5 时,第 2 五次循环得 s ? 1 ,n ? 6 时, 第六次循环得 s ? 1 , 时结束循环 n ? 7 , 输出的结果是1 ,

s ? 0 ; n ? 3 时,第三次循环得 s ? 0 ; n ? 4 时,第四次循环得 s ?

故选 A. 【考点】1、程序框图;2、循环结构及条件结构.

?x ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件: ?2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为( ?x ? y ? 2 ?
A.0 【答案】C B.1 C.2



D.3

?x ? 0 ? 【解析】试题分析:因为 ?2 x ? y ? 1 ,所以可以画出可行域如图,由可行域知目标函 ?x ? y ? 2 ?
数经过点 A? 0,2? 时有 z 最大值 3 ? 0 ? 2 ? 2 ,故选 C.

y
2

A x+y=2

2x+y=11
-3 -2 -1 -1

O

1

2

3

x

【考点】1、可行域的画法;2、最优解的求法. 7.已知 {an } 为等差数列,则下列各式一定成立的是( )

2 4 a2 ? a9 9 9 2 4 C. a6 ? a5 ? a8 3 3
A. a5 ? 【答案】B

7 4 a3 ? a14 11 11 2 7 D. a8 ? a3 ? a10 9 9
B. a7 ?

【解 析】试题分 析:因为 {an } 为 等差数列, 所以可设其 首项为 a1 公差 为 d ,将

6 a1 ? 4d ; 对 于 9 67 d ,故选 B. B a1 ? 6d ? a1 ? 6d ;对于 C a1 ? 5d ? 2a1 ? 12d ;对于 D a1 ? 7 d ? a1 ? 9

d 表 示 ,对 于 A a1 ? 4d ? 都 a2 , a3 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a1 0, a1 4 用 a1 和

【考点】等差数列的通项. 8.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 45? 的直 2 a b


线与双曲线的右支有且仅有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2 ] 【答案】C B. (1, 2 ) C. [ 2 ,??)

D. ( 2 ,??)

【解析】试题分析:因为若过点 F 且倾斜角为 45 的直线与双曲线的右支有且仅有一个 交点 , 所以根据双曲线的几何性质可知,双曲线的渐近线的斜率

?

b ? tan 450 ? 1 ,即 a

b2 ? a2 , c2 ? a2 ? a2, e ? 2 ,故选 C.
【考点】1、双曲线的渐近线;2、双曲线的离心率. 9.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比 为( )

A.

3 3 ? 2

B.

3 ? 4

C.

3 3 ? 4

D.

3 ? 8

【答案】A 【解析】试题分析:由几何体的三视图知,该几何体是一个四棱锥,其底面是变长为 a 的正方形,一条长为 a 侧棱与底面垂直,它的外接球正是棱长为 a 的正方体的外接球,

4 ? 3 ? 1 2 V 3 3 球体积为 V1 ? ? ? ,四棱锥体积为 V2 ? ? a ? a , 1 ? a? ? ,故选 A. ? ? 3 3 ? 2 ? V2 2
【考点】1、几何体的三视图;2、球的体积公式及棱锥的体积公式. 10.从抛物线 y 2 ? 4 x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA 、 PB , A , B 为切 点,若直线 AB 的倾斜角为

3

? ,则 P 点的纵坐标为( 3
C.



A.

3 3

B.

2 3 3

4 3 3

D. 2 3

【答案】B

? 1 ,y?0 ? ?2 x , y ? 0 ? ? x 2 【解析】试题分析: y ? 4 x 可化为 y ? ? ,y' ? ? ,设两切点 1 ? 2 x , y ? 0 ? ?? ? y?0 ? x ?


A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , y1 ? 0, y2 ? 0



P ? ?1, y0 ?





kPA ?

1 1 1 , kPB ? ? , PA : y ? y1 ? ? x ? x1 ? , 结 合 y1 ? 2 x1 可 化 为 x1 x2 x1

yy1 ? 2 ? x ? x1 ? , 同 理 PB : yy2 ? 2 ? x ? x2 ? , 因 为 P 在 PA, PB 上 , 所 以
? ? y0 y1 ? 2 ? ?1 ? x1 ? , 可得 A, B 在直线 y0 y ? 2 ? ?1 ? x ? , 即 AB 方程为 y0 y ? 2 ?1 ? x ? , ? y y ? 2 ? 1 ? x ? ? ? 0 2 2 ?
故 , k AB ?

2 3 2 ,故选 B. ? 3 , y0 ? 3 y0

【考点】1、抛物线的标准方程及简单几何性质;2、利用导数求曲线切线斜率及方程. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及抛物线的标准方程和简单几何性质, 属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率及方程的一般步骤是:(1)求该点 处 的 导 数 即 是 切 线 斜 率 k ? f ? ? x1 ? ; (2) 根 据 点 斜 式 求 出 直 线 的 方 程

y ? y1 ? f ? ? x1 ?? x ? x1 ? ,解决本题求的关键是将抛物线方程讨论两种情况化为函数关
系,然后利用导数解答.

?e 2 x ? 1 ( x ? 0) f ( x ) ? 11.已知函数 ,把函数 p( x) ? f ( x) ? x ? 0 的零点从小到 ? ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
大的顺序排成一列,依次为 x1 , x2 , x3 ,?,则 x3 ? x5 与 2 x4 大小关系为( A. x3 ? x5 ? 2 x4 法确定 【答案】B B. x3 ? x5 ? 2 x4 C. x3 ? x5 ? 2 x4 ) D.无

?e 2 x ? 1 ( x ? 0) 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? ? , 所 以 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

f ? 0? ? 0 e ?1 ? 0 ?, f?

1? ? f?

0?

1 ?

1,

f ? 2? ? f ?1? ?1 ? 2, f ?3? ? f ? 2? ?1 ? 3, f ? 4? ? f ?3? ?1 ? 4, f ?5? ? f ? 4? ?1 ? 5,
函 数

p ( x) ? f ( x) ? x 的 零 点 即 是

f ( x) ? x ? 0 的 根 , 所 以

x3 ? 2, x4 ? 3, x5 ? 4, x3 ? x5 ? 2x4 ,故选 B.
【考点】1、分段函数的解析式;2、函数的零点与方程的根之间的关系. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系,属 于难题判断函数 y ? f ? x ? 零点个数的常用方法:(1)直接法: 令 f ? x ? ? 0, 则方程实 根的个数就是函数零点的个数; (2)零点存在性定理法: 判断函数在区间 ? a, b? 上是连续 不断的曲线, 且 f ? a ??f ? b ? ? 0, 再结合函数的图象与性质(如单调性、 奇偶性、 周期性、 对称性) 可确定函数的零点个数;(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数 问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数 ,本题就利用了方(1) 直接求解方程根的.
? 12.已知向量 a , b 的夹角为 60 , | a |? 1 , | b |? 3 ,则 5a ? b ?

?

?

? ?

.

【答案】 19
? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 向 量 a, b 的 夹 角 为 60 , | a |? 1 , | b |? 3 , 所 以

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? 1 | 5a ? b |2 ? 25| a |2 ? | b |2 ?10 | a || b | cos600 ? 25 ?1 ? 9 ? 10 ?1? 3 ? ? 19 , 所 以 2

? ? 5a ? b ? 19 ,故答案为 19 .
【考点】1、平面向量的数量积公式;2、平面向量的夹角和模.

二、填空题 13.哈三中高三一模理科参加数学考试学生共有 1016 人,分数服从 X ~ N (105 ,202 ) , 则估计分数高于 105 分的人数为 【答案】 508 .

【解析】试题分析:因为分数服从 X ~ N (105 ,202 ) ,所以由正态分布的性质可知

P ? X ? 105 ? ?

1 1 ,估计分数高于 105 分的人数为故 1016 ? ? 508 ,答案为 508 . 2 2 3 2 x } ,现向集合 A 所在区域 4
.

【考点】正态分布的性质及应用. 14.已知 A ? {( x, y) || x |? 2, | y |? 3} , B ? {( x, y ) | y ? 内投点,则该点落在集合 B 所在区域内的概率为 【答案】

1 3

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因为 A ? {( x, y) || x |? 2, | y |? 3} , 所 以 A 所 表 示 区 域 的面 积

3 2 1 2 3 x dx ? x3| ? 4 ,因为 B ? {( x, y ) | y ? x 2 } ,所以由定积 ?2 4 4 4 ?2 分的几何意义知 B 点所表示的区域面积为 4 ? 3 ? 4 ? 8 , 因此, 集合 A 所在区域内投点, 8 1 1 ? 为故答案为 . 则该点落在集合 B 所在区域内的概率为 24 3 3

4 ? 6 ? 24 ,又因为 ?

2

【考点】1、几何概型概率公式;2、定积分的几何意义. 【方法点睛】本题題主要考定积分的几何意义及几何概型概率公式,属于难题. 解决几 何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型 问题关鍵是计算总事件的总面积以及子事件的面积; 几何概型问题还有以下几点容易造 成失分,在备考时要高度关注: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错 误; (2) 基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误; (3) 利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

B C 15. 在 ?A

中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 ba t ( n .

BC A? a t n B) ? 2c a t n B,

边的中线长为 1,则 a 的最小值为 【答案】 2 2 ? 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 b( t A a? n t aB) n? 2c t aB n , 所 以

b

sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B sin c sin B ?b ?b ? 2c , 由正弦定理 cos A cos B cos A cos B cos B cos A cos B
sin B sin c sin c sin B 2 ? 2 , cos A ? , 设 BC 中 点 为 D , 则 cos A cos B cos B 2



???? 1 ??? ? ???? ??? ?2 AD ? ( AB ? AC ) , 4 AD ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 2bc ? 4, ①又由余弦 2
定理得 a2 ? b2 ? c ? 2bc, ②,① - ②得 4 ? a ? 2 2bc , a2 ? 4 ? 2 2bc, 由①得
2
2

4 ? (2 ? 2)bc, bc ?

4 2? 2







a2 ? 4 ? 2 2 ?

4 ? 4 3? 2 2 2? 2

?

?

?4

?

2 ?1

?

2

, a ? 2( 2 ?1) 故 答 案 为

2 2 ?2.
【考点】1、正弦定理及余弦定理;2、两角和的正弦公式及基本不等式求最值. 【方法点睛】 本题主要考查正弦定理及余弦定理以及两角和的正弦公式及基本不等式求 最值,属于难题.正弦定理在解题中主要是边角互化,对余弦定理一定要熟记两种形式:
2 2 2 (1) a ? b ? c ? 2bc cos A ; (2) cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,同时还要熟练掌握运用两 2bc

种形式的条件.另外, 在解与三角形、 三角函数有关的问题时, 还需要记住 30o , 45o ,60o 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用. 三、解答题 16.已知各项均不为 0 的等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,满足 S4 ? 2a5 , a1a2 ? a4 ,数 列 {bn } 满足 bn?1 ? 2bn , b1 ? 2 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 2

【答案】 (1) an ? 2n ; (2) Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 . 【解析】试题分析: (1)根据 S4 ? 2a5 , a1a2 ? a4 可列出关于等差数列 {an } 的首项 a1 和公差 d 的方程组,解出 a1 和 d 可得数列 {an } 的通项公式,根据等比数列的性质直接 写出 {bn } 的通项公式即可; (2)符合错位相减法求和的条件,直接用错位相减法求和 即可得结论. 试题解析: (1) 4a1 ? 6d ? 2 ? a1 ? 4d ? , a1 ? a1 ? d ? ? a1 ? 3d 得 a1 ? 2, d ? 2 则 an ? 2n ;

bn ? 2n .
(2) cn ?

anbn ? n 2n , 2

则 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n2n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n2n?1
两式相减得 ?Tn ? 1? 21 ? 1? 22 ? 1? 23 ? ... ? 2n ? n2n?1 整理得 Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 . 【考点】1、等差、等比数列的定义及通项;2、错位相减法求和. 17.某网络营销部门为了统计某市网友 2015 年 11 月 11 日在某网店的网购情况,随机 抽查了该市 100 名网友的网购金额情况,得到如下频率分布直方图.

(1)估计直方图中网购金额的中位数; (2)若规定网购金额超过 15 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 15 千元 的顾客定义为“非网购达人” ;若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达 人”的概率,从全市任意选取 3 人,则 3 人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之 差的绝对值为 X ,求 X 的分布列与数学期望. 【答案】 (1) 13 ; (2) 1.74 . 【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 ) 设 中 位 数 为 10 ? x , 则

5? 0 ? . x0 ? 4 ? ? ?0 x? ? . 1?

5 ?

进而得中位数; (2.)从全 0 ? . 解得 1 x? ( 30 , 0 5 0 0 1 )

5

市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ,可以直接利用二项分布数学期望公 式求解. 试题解析: (1)由初步判定中位数在第二组,设中位数为

10 ? x ,则 5 ? 0.04 ? x ? 0.1? ? 5? x ? ? 0.1? (0,05? 0.01)? 5解得 x ? 3 ,则中位数是

13 ;
(2)依题意,从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ,所以 X 可能取
3 0 值为 1,3 ,且 P( X ? 3) ? C3 0.33 ? C3 0.73 ? 0.37 , 1 2 P( X ? 1) ? C3 0.31 ? 0.7 2 ? C3 0.32 ? 0.71 ? 0.63

所以 X 的分布列为

数学期望 EX ? 1 ? 0.63 ? 3 ? 0.37 ? 1.74 . 【考点】1、利用直方图求中位数;2、二项分布的分布列及期望.

18. 已知四边形 ABCD 为矩形,BC ? BE ? 2 , AB ? 5 , 且 BC ? 平面 ABE , 点F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE ,点 M 为 AB 中点.

(1)求证: MF // 平面 DAE ; (2)求 BF 与平面 DCE 所成线面角的正弦值. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2)

3 . 3

【解析】试题分析: (1)取 DE 中的 Q ,连接 QF 、 QA ,先证明四边形 AMFQ 为平 行四边形,再得 MF ? AQ ,进而由线面平行的判定定理得出结论; (2)以 B 为坐标原 点, BE 为 x 轴, BC 为 z 轴,建立空间直角坐标系,求出 BF 及平面 DCE 的法向 量,利用空间向量夹角余弦公式求解. 试题解析: (1)取 DE 中的 Q ,连接 QF 、 QA 因为 BF ? 平面 CAE ,所以 F 为中点,

??? ?

QF / / AM , QF ? AM ,
四边形 AMFQ 为平行四边形,

AQ / / MF , AQ ? 平面 DAE

, MF ? 平面 DAE ,所以 MF // 平面 DAE .

(2)因为 BF ? 平面 CAE ,所以 F 为中点, BF ? AE , 因为 BC ? 平面 BAE ,所以 AE ? 平面 BCE 所以 AE ? BE 以 B 为坐标原点, BE 为 x 轴, BC 为 z 轴,建立空间直角坐标系

??? ? BF

? ?1,0,1?

平面 DCE 的法向量为 n ? ?1, 2,1?

?

? ??? ? 3 . cos n, BF ? 3
所以线面角正弦值为

3 . 3

【考点】1、线面平行的判定定理;2、空间向量夹角余弦公式. 19. 已知椭圆 C :

x2 3 ? y2 ? 1, 斜率为 的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、B . 4 2

(1)设 M 为弦 AB 的中点,求动点 M 的轨迹方程; ( 2 ) 设 F1 、 F2 为 椭 圆 C 的 左 、 右 焦 点 , P 是 椭 圆 在 第 一 象 限 上 一 点 , 满 足

5 PF1 ? PF2 ? ? ,求 ?PAB 面积的最大值. 4
【答案】 (1) x ? 2 3 y ? 0 ( ? 3 ? x ? 3 ) ; (2) S max ? 1 . 【解析】试题分析: (1)设 M ?x, y ?, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? , 两式相减结合 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y2 ? 2 y, 求出 P 点坐标,设直线 l 的方程为 y ? 等式求最值. 试题解析: (1)设 M ?x, y ?, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,

x2 x 2 2 ? y 2 ? 1 , 1 ? y1 ? 1 , 4 4

2

2

5 y1 ? y2 3 , 可求得; (2) 由 PF1 ? PF2 ? ? ? 4 x1 ? x2 2

3 x ? m ,?PAB 面积用 m 表示,最后用基本不 2 x2 2 ? y2 ? 1 4
2



x1 2 ? y1 ? 1 ② 4

2

①-②得:

y1 ? y2 y1 ? y2 1 3 y 1 ? ? ,即 x ? 2 3 y ? 0 , ? ?? , 4 x1 ? x2 x1 ? x2 4 2 x

又 由 中 点 在 椭 圆 内 部 得 ? 3?x? 3 , 所 以 M 点 的 轨 迹 方 程 为

x ? 2 3y ? 0 , ? 3 ? x ? 3
(2)由 PF1 ? PF2 ? ? 设直线 l 的方程为 y ?

? 5 3? ?, ,得 P 点坐标为 ?1, ? 2 ? 4 ? ?
3 x ? m ,代入椭圆方程中整理得: 2

x 2 ? 3mx ? m 2 ? 1 ? 0 ,由 ? ? 0 得 ? 2 ? m ? 2 ,
则 x1 ? x2 ? ? 3m, x1 x2 ? m 2 ? 1 ,

AB ?

m 7 4 ? m2 , d ? 4 7 4

,

所以 S ?PAB ?

S ?PAB

1 m 4 ? m2 2 1 m2 ? 4 ? m2 1 2 ? ? 1 ,当 m ? ? 2 时, S max ? 1 . ? m 4?m 2 2 2

【考点】1、点差法求轨迹方程;2、利用基本不等式求解析几何中的最值. 【方法点睛】本题主要考查“点差法”求轨迹方程以及利用基本不等式求解析几何中的 最值,属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法” ,其解题步骤为:①设点(即设出 弦的两端点坐标) ;②代入(即代入圆锥曲线方程) ;③作差(即两式相减,再用平方差 公式分解因式) ;④整理(即转化为斜率与中点坐标的关系式) ,然后求解.本题(1)就 是利用“点差法”求解的. 20.已知函数 f ( x) ? sin x , g ( x ) ? ax ?

1 3 x , h( x) ? ln(x ? 1) , x ? (0,1) . 6

(1)当 a ? 2 时,判断 y ? g ( x) ? h( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 恒成立,求实数 a 的取值集合. 【答案】 (1) ? 0,1? 上单调递增; (2) {1} . 【解析】 试题分析: (1) 设 m? x? ? g ? x? ? h ? x? , 可证 m' ? x ? ? 0 , 进而知 m ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增; (2)f ? x ? ? g ? x ? ? 0 恒成立得 a ? 1 , 由 g? x ?h ?x 所以可得 a ? 1 . 试题解析: (1)当 a ? 2 时,设 m( x ) ? g( x ) ? h( x )

? ? ? 0 恒成立得 a ? 1 ,

m' ? x ? ? 2 ?

1 2 1 x ? 2 x ?1

? 1?

x( 1 ? x )( x ? 2 ) ?0 2( x ? 1 )

故 m( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增 .
3 (2)设 p( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ? sin x ? x ? ax

1 6

p?( x ) ? cos x ?

1 2 x ? a ,因为 p??( x ) ? x ? sin x ? 0 , 2

所以 p?( x ) 递增.所以有: 当 a ? 1 时, p?( x ) ? 0 ,所以 p( x ) 单调递增,所以 p( x ) ? p( 0 ) ? 0 ,成立;

1 ? cos 1 时, p?( x ) ? 0 ,所以 p( x ) 单调递减,欲证不等式不成立; 2 1 1 2 当 1 ? a ? ? cos 1 时,设 cos x ? x ? a ? 0 零点为 x0 ,则当 x ? ( 0,x0 ) 时 p( x ) 递 2 2
当a ? 减

x ?( x0 ,1 ) p( x ) 递增,从而当 x ? ( 0,x0 ) , p( x ) ? 0 ,与前提矛盾 ,
综上,此时 a ? 1 . 再设 q( x ) ? g( x ) ? h( x ) ? ax ?

1 3 x ? ln( x ? 1 ) 6

1 1 x3 ? x 2 ? 2 , q?( x ) ? a ? x 2 ? ?a? 2 x ?1 2( x ? 1 )
设 m( x ) ?

x3 ? x 2 ? 2 x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,易求 m?( x ) ? , 2( x ? 1 ) ( x ? 1 )2
3 2 2

再令 n( x ) ? x ? 2x ? x ? 2 ,易知 n?( x ) ? 3x ? 4x ? 1 ? 0 且 n( 0 ) ? 0,n( 1 ) ? 0 , 从而由零点存在定理知。 必存在唯一零点 s ? ( 0,1 ) , 使n (s)

?0

当 x ? ( 0,s ) m?( x ) ? 0 , m( x ) 递 减 x ? ( s 1, m ) ? ( x? ) 0 , m( x ) 递 增 , 且

m( 1 ) ? m( 0 ) ? 1
设 m( x )min ? m , 当 a ? 1 时, q?( x ) ? 0 恒成立, q( x ) 递增,所以 q( x ) ? q( 0 ) ? 0 ,原不等式成立; 当 a ? m 时, q?( x ) ? 0 恒成立, q( x ) 递减,所以 q( x ) ? 0 恒成立,矛盾; 当 m ? a ? 1, 设a?

x3 ? x 2 ? 2 ? 0 两根为 x1、x2 , 则( 0 (x) 递减, , x 1 )q ( x1 ,x2 ) q( x ) 2( x ? 1 )

递增, ( x2 ,1 ) q( x ) 递减,故此时 q( x ) ? 0 仍不能恒成立.

综上所述, a ? 1 , 所以 f ( x ) ? g( x ) ? h( x ) 恒成立的 a 的取值集合为 {1} . 【考点】1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式恒成立问题. 【方法点晴】 本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、 利用导数研究函数的最值、 不等式的恒成立,属于难题.利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步 骤:①确定函数 f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范 围就是递增区间;令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范围就是递减区间;④根据单调性求 函数 f ? x ? 的极值及最值. 21 .如图所示, MA 为以 AB 为直径的圆 O 的切线, A 为切点, C 为圆周上一点, BC // OM ,直线 MC 交 AB 的延长线于点 E .

(1)求证:直线 MC 是圆 O 的切线; (2)若 AB ? 2 , MA ? 3 ,求线段 BC 的长. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2)

10 . 5

【解析】试题分析: ( 1 )连接 OC 根据平行线的性质以及等腰三角形的性质证明

?COM ? ?AOM ,进而证明 ?OCM ? ?OAM ,得

?OCM ? ?OAM ?

?
2 ,可得

结论; (2)先根据勾股定理求 MO ,再根据 ?ABC ∽ ?MOA 求得线段 BC 的长. 试题解析: (1)连接 OC , BC // OM ? ?BCO ? ?COM , ?AOM ? ?CBO , 又

OC ? OB ? ?CBO ? ?BCO







?COM ? ?AOM

,



OC ? OA, OM ? OM ,
所 以 ?OCM ? ?OAM , 所 以 ?OCM ? ?OAM , 因 为 MA 为 圆 O 的 切 线 , 所 以

?OCM ? ?OAM ?

?

2

,直线 MC 是圆 O 的切线;

(2) Rt ?MAO 中, MO ? 所以 BC ? AB ? BC ? OA OM

AM 2 ? AO2 ? 10 ,连接 AC ,则 ?ABC ∽ ?MOA ,
10 . 5

【考点】1、三角形全等及三角形相似;2、平行线的性质及切线的性质. 22.已知曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数) ,以原点 O 为极点, x 轴的正半 ? y ? 1 ? 2t
4 cos ? . sin 2 ?

轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? (1)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程;

(2)已知点 P(2,1) ,曲线 C1 与曲线 C2 的交点为 M , N ,求 | PM | ? | PN | . 【答案】 (1) 2 x ? y ? 5 ? 0 , y 2 ? 4 x ; (2)

35 . 4

【解析】试题分析: (1)代入法消去参数即可得出 C1 的普通方程,利用极坐标和直角 坐标的互化公式即可得到 C2 的直角坐标方程; ( 2 )将直线 C1 的标准参数方程化为

? ?x ? 2 ? ? ? ? y ? 1? ? ?

1 m 5 代入 y 2 ? 4x ,直接利用直线参数方程的几何意义求解. 2 m 5
2

试题解析: (1) C1 的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , C2 的普通方程为 y ? 4 x .

? x ? 2? ? ? ( 2 ) 将 直 线 C1 的 标 准 参 数 方 程 ? ? y ? 1? ? ?
4 2 8 5 m ? m?7 ? 0, 5 5
所以 PM ? PN ? m1m2 ?

1 m 2 5 代 入 y ? 4x 得 , 2 m 5

35 . 4

【考点】1、参数方程与普通方程的互化;2、极坐标和直角坐标的互化.

23.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | . (1)求函数 f ( x) 的最小值 a ; (2)当 m ? n 时,求证: 2m ? 【答案】 (1) a ?

5 ? 33 a ? 2n . 2(m ? n) 2

5 ; (2)证明见解析. 2

【解析】试题分析: (1)分三段讨论函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | 的单调性进而求出最 小值; (2)左边变形为 (m ? n) ? (m ? n) ?

a

? m ? n?

2

利用基本不等式可证.

1 ? ? 3 x ? 1, x ? 2 ? 1 ? 试题解析: ( 1 ) f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 3,?2 ? x ? , 所 以 y ? f ( x) 在 2 ? ? 3 x ? 1 , x ? ? 2 ? ? ?
5 1? ? ?1 ? ?1? 5 在? , 所以 f ( x) min ? f ? ? ? , 所以 a ? . ? ? ? 上单调递增, ? - ?, ? 单调递减, 2 2? ? ?2 ? ?2? 2
(2)只需证 2(m ? n) ?

a a ? 33 a ,即证 (m ? n) ? (m ? n) ? ? 33 a . 2 ?m ? n? ?m ? n?2

【考点】1、分段函数求最值;2、基本不等式的应用.


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