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2013高考数学一轮同步训练(文科) 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2013 高考数学一轮强化训练 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题 文 新人教 A 版
1.已知(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<1 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.-7<a<24 D.-24<a<7 答案:C )

? y ? 1? ? 2.已知实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1? 如果目标函数 z=?x-y?的最小值为-1,则实数 m 等于 ? x ? y ? m? ?
( ) A.7 B.5 C.4 D.3 答案:B 解析:将直线 y=x+1 与 y=2x-1 联立解得 A(2,3),据题意即为最优解,又点 A 必在直线 x+y=m 上,代入求得 m=5.

? y ? 2 x? ? 3.已知实数 x、y 满足 ? y ? ?2 x? 则目标函数 z=x-2y 的最小值是 ? x ? 3? ?
答案:-9 解析:如图作出可行域为阴影部分,由 ?

.

? y ? 2 x? ? x ? 3? 得 ? 即 A(3,6),经过分析可知直线 ? x?3 ? y ? 6?

z=x-2y 经过 A 点时目标函数 z=x-2y 取最小值为-9.

? x ? y ? 2 ? 0? ? 4.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0? 所确定的平面区域记为 D.点(x,y)是区域 D 上的点,若圆 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
O: x 2 ? y 2 ? r 2 上的所有点都在区域 D 上,则圆 O 的面积的最大值是 答案: 4? .

5

? x ? y ? 2 ? 0? ? 解析:画出不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0? 所表示的平面区域(略),其中直线离原点最近的距离 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?


2 5 ? 故 r 的最大值为 2 5 ? 所以圆 O 的面积的最大值是 4? . 5 5 5

题组一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

? x ? y ? 1 ? 0? ? 1.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0? (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则 a 的值为?( A.-5 B.1 答案:D ) C.2 D.3

? x ? y ? 1 ? 0? ? 解析:不等式组 ? x ? 1 ? 0? 所围成的区域如图所示. ?ax ? y ? 1 ? 0 ?

则 A(1,0),B(0,1),?C(1?,1+a),且 a>-1, ∵ S? ABC ? 2? ∴ 1 (1 ? a ) ? 1=2,解得 a=3.

2

? y ? 2 x ? 0? ? 2.满足条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 的可行域中整点的个数为? ( ?5 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?

)

A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:画出可行域,作出网格知有 4 个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).

3.如下图,能表示平面中阴影区域的不等式组是.

?2 x ? y ? 2 ? 0? ? y ? 0? 答案: ? ? 2x ? 3y ? 6 ?
题组二 求目标函数的最值

x ? 1? ? ? 4.若 x? y ? R,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 则 z=x+2y 的最小值等于( ? y ? x? ?

)

A.2 B.3 C.5 D.9 答案:B 解析:由 z=x+2y 得 y ? ? 1 x ? 1 z? 当直线经过直线 x=1 和 y=x 的交点 A(1,1)时,截距 z 取得 2 2 最小值,故 z=1+2=3.

x ? 0? ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0? 则 z=3x-2y 的最大值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0? ?

)

A.0 B.2 C.4 D.6 答案:C 解析:作出可行域,图中阴影部分为约束条件限定区域,当 z=3x-2y 过点(0,-2)时,z=3x-2y 取最大值,且为 4.

? x ? 2 y ? 4? ? 6.已知关于 x、y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1? 求函数 u=3x-y 的最大值和最小值. ? x ? 2 ? 0? ? ? x ? 2 y ? 4? ? 解:作出二元一次不等式组 ? x ? y ? 1? 表示的平面区域,如图所示. ? x?2?0 ?

由 u=3x-y,得 y=3x-u,表示斜率为 3,在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平行线, 由图可知,当直线 y=3x-u 经过可行域上的 C 点时,截距-u 最大,即 u 最小, 解方程组 ? ∴ umin

? x ? 2 y ? 4? 得 C(-2,3), ? x ? 2 ? 0? ? 3 ? (?2) ? 3 ? ?9 . ? x ? 2 y ? 4? 得 B(2,1), ? x ? y ? 1? ? 3? 2 ?1 ? 5 .

当直线 y=3x-u 经过可行域上的 B 点时,截距-u 最小,即 u 最大, 解方程组 ? ∴ umax

∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9. 题组三 线性规划的简单应用 7.在”家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运 输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( )

A.2 000 元 B.2 200 元 C.2 400 元 D.2 800 元 答案:B 解析:设需使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,运输费用 z 元,根据题意,得线性约束条件

?20 x ? 10 y ? 100? ? ? 0 ? x ? 4? ? 0 ? y ? 8? ?
求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值. 解得当 ?

? x ? 4? 时 ? zmin ? 2 200. ?y ?2

8.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料 需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克?A 产品?获利 40 元.乙车间加工一 箱原料需耗费工时?6 小时?可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总活力最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 答案:B 解析:设甲车间加工原料?x 箱?,乙车间加工原料 y 箱,根据题意,得约束条件

? x ? y ? 70? ?10 x ? 6 y ? 480? ? 画出可行域.目标函数 z=280x+200y,即 y ? ? 7 x ? z ? 作直线 ? 5 200 ? x ? 0? y ? 0? ? x、y ? N ? ? y ? ? 7 x 并平移,得直线经过点 A(15,55)时 z 取最大值.所以当 x=15,y=55 时,z 取最大 5
值?.

9.某班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大小彩色气球装点联欢晚会的 会场,根据需要,大球数不少于 10 个,小球数不少于 20 个,请你给出几种不同的购买方 案? 解:设可购买大球 x 个,小球 y 个.

?2 x ? y ? 100? ? x ? 10? ? ? 依题意有 ? y ? 20? ? x ? N ?? ? ? y ? N ?? ? ? x ? 10? ? x ? 20? ? x ? 30? ? x ? 35? 其整数解为 ? …都符合题目要求(满足 2x+y-100<0 ? ? ? ? y ? 20? ? y ? 30? ? y ? 30? ? y ? 29?
即可). 题组四 线性规划问题的综合应用 10.若 2m ? 4n ? 2 2 ? 则点(m,n)必在( A.直线 x+y=1 的左下方 B.直线 x+y=1 的右上方 C.直线 x+2y=1 的左下方 D.直线 x+2y=1 的右上方 答案:C 解析:∵ 2m ? 4n ? 2m ? 22 n ? 2 2m ? 2 n ? ∴ 2 2m ? 2 n ? 2 2 ? 即 m+2n<1, ∴点(m,n)必在直线 x+2y=1 的左下方. )

? x ? y ? 3 ? 0? ? 11.若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件 ? 2 x ? y ? 0? 下取得最大值时的最优解只有 ? y?a ?
一个,则实数 a 的取值范围是 答案: a ? 2 解析:作出可行域如图: .

由图可知直线 y=-x 与 y=-x+3 平行,若最大值只有一个,则直线 y=a 不能在直线 y=2x 与 y=-x+3 的交点(1,2)的上方,故 a ? 2 . 12.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且 花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解:方法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,

? x ? 0? y ? 0? ? x ? 0? y ? 0? ?12 x ? 8 y ? 64? ?3 x ? 2 y ? 16? ? ? 则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足 ? 即 ? ? 6 x ? 6 y ? 42? ? x ? y ? 7? ?6 x ? 10 y ? 54? ?3 x ? 5 y ? 27? ? ?
z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,6),?D(0,8)?处的值分别是 Z A ? 2 . 5 ? 9 ? ? 4 ? 0 ?=?22.5?,

Z B ? 2 . 5 ? 4 ? 4 ? 3 ? 22? Z C ? 2 . 5 ? 2 ? 4 ? 5 ? 25? Z D ? 2 . 5 ? 0 ? 4 ? 8 ? 32 . 比较之 ? Z B 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要
求. 方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,

? x ? 0? y ? 0? ? x ? 0? y ? 0? ?12 x ? 8 y ? 64? ?3 x ? 2 y ? 16? ? ? 则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足 ? 即 ? ? 6 x ? 6 y ? 42? ? x ? y ? 7? ?6 x ? 10 y ? 54? ?3 x ? 5 y ? 27? ? ?
让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得 最小值. 因此,应该为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.?

?

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