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初高中数学知识衔接资料(二)

初高中数学知识衔接资料(二) 1. 二次函数
1.1 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,
2 2

h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”.
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax +bx+c=a(x +
2 2 2

b2 b b x )+c=a(x + x + 2 4a a a
2

)+c-

b2 4a

= a( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a
2 2

所以, =ax +bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax 的图象作左右平移、 y 上下平移得到的, 于是, 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (?
2

b 4ac ? b 2 b b ;当 x< ? 时, , ) ,对称轴为直线 x=- 2a 4a 2a 2a


y 随着 x 的增大而减小;当 x> ?

4ac ? b 2 b b 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= 4a 2a 2a
2

b 4ac ? b 2 b b , ) ,对称轴为直线 x=- (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? ;当 x< ? 时, 2a 4a 2a 2a
y 随着 x 的增大而增大;当 x> ?

4ac ? b 2 b b 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= 4a 2a 2a



上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来. 因此, 在今后解决二次函数问题时, 可以借助于函数图像、 利用数形结合的思想方法来解决问题.

y

b x=- 2a

y

A

A(-1,4)

y

(?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a
D(0,1) x

O A

x

O x=- 图 2.2-4

b 4ac ? b 2 图 ( ? 2a , 4a ) 2.2-3
例1
2

b 2a

C

O B x=-1 图 2.2-5

x

求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增

大(或减小)?并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x -6x+1=-3(x+1) +4, ∴函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1;顶点坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交于点 B ( 画出图象(如图 2.2-5 所示) . 例2 把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x 的图像,求 b,c 的值.
2 2 2 2 2

2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) ,与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点 3 3

解法一: =x +bx+c=(x+ y
2

b 2 b2 b b2 2 ) ?c ? , 把它的图像向上平移 2 个单位, 再向左平移 4 个单位, 得到 y ? ( x ? ? 4) ? c ? ?2 2 4 4 2

的图像,也就是函数 y=x 的图像,所以,

? b ? ? 2 ? 4 ? 0, ? 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b ? 2 ? 0, ? 4 ?
解法二:把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x 的图像,等价于把二次函数 y=
2 2

x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+c 的图像.
由于把二次函数 y=x 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=(x-4) +2 的图像,即为 y=x -8x+14 的图 像,∴函数 y=x -8x+14 与函数 y=x +bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14. 例 3 已知函数 y=x ,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的 值. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取最小值 y=a ; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a ;当 x=0 时,函数取最小值 y=0. y 4 4 y y
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2
4

a2
-2 a O ① x -2

a2
O ② a 2 x -2 O ③ a x

图 2.2-6
练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x
2 2


2

) (D)y=2x -4x
2

(B)y=2x -4x+2(C)y=2x -1
2 2

(2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x





(A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题

(B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

(1)二次函数 y=2x -mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= = 时,函数图象经过原点.
2 2

2

,n=

. 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m

时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m=

(3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 值 y= ;当 x

,对称轴为

,顶点坐标为

;当 x=

时,函数取最

时,y 随着 x 的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x -2x-3;
2 2

(2)y=1+6 x-x .

2

4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的 自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

1.2

二次函数的三种表示方式 二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h) +k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
2 2

除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax +bx+c=0.
2 2 2

2


2

并且方程①的解就是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) 于是, , 不难发现, 抛物线 y=ax +bx+c(a≠0) 与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b -4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax +
2 2

bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ =b2-4ac 存在下列关系:
(1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ >0 也成立. (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ =0 也成立. (3)当 Δ <0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ < 0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,所以
2 2 2 2 2 2 2 2

x1+x2= ?

b c ,x x = ,即 a a
1 2

b c =-(x +x ), =x x . a a
1 2 1 2

所以,y=ax +bx+c=a( x

2

2

?

b c x? a a

) = a[x -(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2).

2

由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 例1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二次函数的解析式.
2

解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为

y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) ,

∵二次函数的图像经过点(3,-1) , ∴ ?1 ? a(3 ? 2)
2

? 1 ,解得 a=-2. y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7.

∴二次函数的解析式为 例2

已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式.

解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得

y=ax2+2ax-3a,

顶点的纵坐标为

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 4a

由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ?

1 . 2 1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

所以,二次函数的表达式为 y=

解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2, ∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1) +2,或 y=a(x+1) -2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1) +2,或 0=a(1+1) -2. ∴a=-
2 2 2 2

1 1 ,或 a= . 2 2 1 1 (x+1) +2,或 y= (x+1) -2. 2 2
2 2

所以,所求的二次函数为 y=- 例3

已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
2

解:设该二次函数为 y=ax +bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

??22 ? a ? b ? c, ? ??8 ? c, ?8 ? 4a ? 2b ? c, ?
解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为 y=-2x +12x-8. 1.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 例 1 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数) ,所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一 次项和常数项) ,所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图 像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x -4x-3 的解析式可变为
2 2 2 2

y=2(x-1)2-1,其顶点坐标为(1,-1).

(1)把函数 y=2(x-1) -1 的图象向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得到 的函数图象对应的函数表达式就为
2

y=2(x-3)2-2.

(2)把函数 y=2(x-1) -1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平移后所得到 的函数图象对应的函数表达式就为 2.对称变换 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点 ——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的 对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例2 求把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的
2

y=2(x+1)2+2.

x=-1

y

O A1(-3,-1) 图 2.2-7 A(1,-1)

x

函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

解: (1)如图 2.2-7,把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状. 由于 y=2x -4x+1=2(x-1) -1,可知,函数 y=2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为 A1(-3,1), 所以,二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+ 3) -1,即 y=2x +12x+17. (2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象 的顶点位置和开口方向,不改变其形状. 由于 y=2x -4x+1=2(x-1) -1,可知,函数 y=2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以,对称 后所得到图象的顶点为 B(1,3),且开口向下,所以,二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 y=1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1) +3, 即 y=-2x +4x+1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

y

B(1,3)

y=1 O A(1,-1) 图 2.2-8 x

1.4 分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240

分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题 时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分) . 解:设每封信的邮资为 y(单位:分) ,则 y 是 x 的函数.这个函数的解析式为

?80, ?160 ? ? y ? ?240, ?320 ? ?400, ?

x ? (0, 20] x ? (20, 40] x ? 940,80] x ? (60,80] x ? (80,100]

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图 2.2-9 所示.

y(分) 400 320 240 160 80 O
20 40 60 80 100

x(克)

图 2.2-9

2 不等式
2.1 一元二次不等式及其解法 1.形如 ax
2

? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式。
2

2.一元二次不等式 ax

? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 及一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的关 y ? x 2 ? x ? 6 为例:
, x 轴 的 交 点 是 (? 3, 0), ( 2, 0) 即 当

系(简称:三个二次)。以二次函数 (1) 作出图象;

(2) 根 据 图 象 容 易 看 到 , 图 象 与
2

x ? ?3或2





就是说对应的一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0 的两实根是 x ? ?3或2 。 y ? 0。 (3) 当 x 是x

? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方。就是说

x2 ? x ? 6 ? 0 的 解

? ?3或x ? 2 。

当 ?3 ?

x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方。就是说 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解是 ?3 ? x ? 2 。

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 , 0), ( x2 , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个 不相等的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? 那么(图 1):

? 0 来判断)。

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? x1或x ? x2 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x1 ? x ? x2

②如果图象与 x 轴只有一个交点 (? 相的实数根 xx

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个 2a

? x2 ? ?

那么(图 2):

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 2a b ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? ? 2a

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解
③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 根的判别式 ?

? 0 来判断)



那么(图 3):

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x 取一切实数 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: (1) 化二次项系数为正; (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根 x1 , x2 .那么“ ? 0 ” 型的解为 x

? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);
2

(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax

? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a



结合完全平方式为非负数的性质求解。 【例 1】解不等式 x
2

? x ?6 ? 0。
(2) (x-1)(x+2) ? (x-2)(2x+1)

【例 2】解下列不等式: (1)

( x ? 2)( x ? 3) ? 6

【例 3】解下列不等式: (1)

x2 ? 2 x ? 8 ? 0
2
2

(2)

x2 ? 4x ? 4 ? 0

(3)

x2 ? x ? 2 ? 0

【例 4】已知对于任意实数 x , kx 【例 5】已知关于 x 的不等式 kx 2.2 简单分式不等式的解法 【例 6】解下列不等式: (1)

? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围。

? (k 2 ? 1) x ? 3 ? 0 的解为 ?1 ? k ? 3 ,求 k 的值。

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ?0 x ? x ?1
2

注:一元一次不等式最终可以化为 ax (1) 当 a

? b (a ? 0) 的形式。

b ; a b (2) 当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ; a (3) 当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? b ; ① 若 b ? 0 ,则不等式无解;② 若 b﹤0,则不等式的解是全体实数。 3. 二次函数的最值问题

? 0 时,不等式的解为: x ?

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道:二次函数在自

变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a

? 0 时,函数在 x ? ?

4ac ? b 2 b 处取得最小值 4a 2a

,无最大值;当 a

? 0 时,函数在 x ? ?

b 2a

处取得最大值

4ac ? b 2 4a

,无最小值。

【例 1】当 ?2 ?

x ? 2 时,求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的最大值和最小值。

分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相 应自变量 x 的值。 【例 2】当 1 ? 【例 3】当 x

x ? 2 时,求函数 y ? ? x 2 ? x ? 1 的最大值和最小值。

? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围。 1 2 5 【例 4】当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ? x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数)。 2 2
分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每件的销售价

x (元)满足一次函数

m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 。
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润

y 与每件销售价 x 之间的函数关系式;

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?



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