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高中数学第三章指数函数和对数函数3.3指数函数基础知识素材北师大版必修1

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指数函数
一、指数函数的定义:
函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R。
注意点 1:为什么要规定 a ? 0且a ? 1呢?

①若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, ax ? 0 ;当 x ? 0 时, a x 无意义.

②若 a ? 0 ,则对于 x 的某些数值,可使 a x 无意义.

如 (?2) x ,这时对于 x ?

1 x? 4,

1 2 ,…等等,在实数范围内

函数值不存在.

③若 a ?1,则对于任何 x ? R , ax ? 1,是一个常量,没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况,所以规定 a ? 0且a ? 1。在规定以后,对于任何 x ? R , a x 都有意义,且 ax ? 0 . 因此

指数函数的定义域是 R ,值域是 (0, ??) 。
注意点 2: 上述指数函数的定义是形式上的定义,它实质上是一种指数的对应关系,以 a 为底数作为指数 对 应 过 去 。 从 对 应 的 角 度 看 指 数 函 数 的 话 , 就 能 很 容 易 理 解 为 什 么 函 数 y ? 3x?1 不 是 指 数 函 数 , 也 能

理解指数函数的解 析 式 y ? ax 中, ax 的系数为什么 是 1.

有 些 函 数 貌 似 指 数 函 数 , 实 际 上 却 不 是 , 如 y ? ax ? k ( a ? 0且a ? 1, k ? Z ); 有 些 函 数 看 起 来

不 像 指 数 函 数 ,实 际 上 却 是 ,如 y ? a?x

( a ? 0且a ? 1),因 为 它 可 以 化 为

y

?

? ??

1 a

? ??

x

,其



1 a

?0
,且

1 a

?1


二、函数的图象 ( 1)① 特 征 点 :指 数 函 数 y= ax(a> 0 且 a≠ 1)的 图 象 经 过 两 点 (0,1)和(1,a),我 们 称这两点为指数函 数 的两个特征点 . ②指数函数 y=ax(a> 0 且 a≠1)的图象中, y=1 反映了它的分 布特征;而直线 x= 1 与指数函数图象的 交点(1,a)的纵坐标 则 直观反映了指数函 数 的底数特征,我们 称 直线 x= 1 和 y= 1 为 指数函数的两条特 征 线(如右图所示). ( 2)、 函 数 的 图 象 单 调 性
当 a>1 时,函数在定 义域范围内呈单调 递 增; 当 0<a<1 时,函数在定义域范围内呈 单 调递减;

1

y

推 论 :( 1 ) 底 互 为 倒 数 的 两 个 函 数 图 像 关 于 y 轴 对 称

( 2) 当 a>1 时 ,底数 越 大, 函数 图象 越靠近 Y 轴 ;

y

?

??

1

x
? ?

?2?

当 0<a<1 时,底数越小,函 数 图

象越靠近 Y 轴 。

(3)、函数的图象奇偶性:

若 函 数 f (x) 是 奇 函 数 , 则 对 定 义 域 内 的 每 一 个 x , 都 有

y ? ?? 1 ??x ?3?

y ? 3x y ? 2x
f (?x) ? ? f (x) ;

特别当 x ? 0 属于定义域时,有 f (0) ? ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 . 若函数 f (x) 是偶函数,则对定义域内的每一个 x ,都有
f(-x)=f(x)。

1

y ? ?? 1 ??x ?2?

0

y

?

??

1

?x ?

x

?3?

2



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