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2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.4数列求和


2013 高考数学一轮强化训练 5.4 数列求和 文 新人教 A 版
1.在等差数列{ an }中,已知 a3 ? 2? 则其前 5 项和为? 答案:10 解析: S5 ? ? .

5(a ? a ) 5 ? 2a 1 5 ? 3 ? 5 ? 2 ? 2 ? 10 . 2 2 2
.

2.若数列{ an }的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ? 5? 则 a5 ? a6 ? a7 ? 答案:39 解析: a5 ? a6 ? a7 ? S7 ? S 4 ? 39 . 3.已知等差数列的通项公式 an ? ?5n ? 2? 则其前 n 项和 S n ?
2 答案: ? 5 n ? 1 n

.

2

2

解析:∵ an ? ?5n ? 2? ∴ a1 ? ?3 . 即 Sn ?

n(?3 ? 5n ? 2) ? ? 5 n2 ? 1 n . 2 2 2

题组一 数列求和 1.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 2a8 ? 6 ? a11 ? 则 S9 等于( A.54 答案:A B.45 C.36 D.27 )

解析:∵ 2a8 ? 6 ? a11 ? ∴ 2(a1 ? 7 d ) ? 6 ? a1 ? 10d . ∴ a1 ? 4d ? 6 . ∴ a5 ? 6? S9 ?

9(a ? a ) 1 9 ? 9a ? 54 . 5 2

2.一个等差数列共 n 项,其和为 90,这个数列的前 10 项的和为 25,后 10 项的和为 75,则项数 n为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 答案:C 解析: 25 ? 75 ? 10(a1 ? an )? ∴ a1 ? an ? 10 . 又 90 ? n ?10 ? ∴n=18.

2

3.在等差数列{ an }中 ? a1 ? ?2 008,其前 n 项的和为 S n .若 2007 ? 2005 ? 2? 则 S 2008 等于

S

S

2007

2005

( ) A.-2 007 答案:B

B.-2 008 C.2 007 D.2 008

2007(a ? a ) 2005(a ? a ) 1 2007 1 2005 2 2 解析:∵ 2007 ? 2005 ? ? ? d ? 2. 2007 2005 2007 2005 ∴ S 2008 ? 2 008 ? (?2 008) ? 2008 ? 2007 ? ?2=?-2 008. 2 S S
4.设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? … ?23n ?1 (n ? N ? )? 则 f(n)等于(
n A. 2 (8 ? 1)

)

7

B. 2 (8

n?1

7

? 1) ? 1)

C. 2 (8

n? 2

7

? 1)

D. 2 (8

n? 3

7

答案:B

3(n ? 1) 2[1 ? 2 ] 2 n ?1 ? (8 ? 1) . 解析: f (n) ? 7 1 ? 23
5.数列{ (?1) n ? n }的前 2 010 项的和 S 2010 为 A.-2 010 C.2 010 答案:D ( )

B.-1 005 D.1 005

解析: S 2010 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4-5+…+2 008-?2 009+?2 010=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+?(2 010-?2 009)?=?1 005. 6.数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若? a1 ? 1, an ?1 ? 3S n (n ? 1)? 则 a6 等于( A. 3 ? 44 C. 45 答案:A 解析:由 an ?1 ? 3S n ? 得 an ? 3S n ?1 (n ? 2)? 相减得 an ?1 ? an ? 3( S n ? S n ?1 ) ? 3an ? 则 an ?1 ? 4an (n ? 2)? 即 n ? 2 时 ? an 为等比数列. 又 a1 ? 1? a2 ? 3? 则 a6 ? a2 ? 44 ? 3 ? 44 ? 选 A. 7.数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 an ? B. 3 ? 44 ? 1 D. 45 ? 1 )

1 ? 则 S 等于 5 n(n ? 1)

.

答案: 5

6
1 ?1? 1 ? n(n ? 1) n n ? 1

解析:∵ an ?

∴ S5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? … ? 1 ? 1 ? 5 .

2

2 3 3 4

5 6

6

题组二 数列求和的综合应用 8.等比数列前 n 项和为 54,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A.66 B.64 C. 66 2

)

3

D. 60 2

3
.

答案:D 9.若等比数列的公比为 2,且前 4 项和为 1,则这个等比数列的前 8 项和为 答案:17

解析:由题意可知 ? S8 ? S 4 ? a8 ? a7 ? a6 ? a5 ? q 4 (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 24 ? 所以前 8 项和等于 17. 10.已知{ an }为等差数列,且 a3 ? ?6? a6 ? 0 . (1)求{ an }的通项公式; (2)若等差数列{ bn }满足 b1 ? ?8? b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? 求{ bn }的前 n 项和公式. 解:(1)设等差数列{ an }的公差 d. 因为 a3 ? ?6? a6 ? 0? 所以 ? 解得 a1 ? ?10? d ? 2 . 所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 . (2)设等比数列{ bn }的公比为 q, 因为 b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24? b1 ? ?8 . 所以-8q=-24,即 q=3.

?a1 ? 2d ? ?6? ? a1 ? 5d ? 0?

b (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) . 所以{ bn }的前 n 项和 S n ? 1 1? q
11.已知数列{ an }是等差数列,且 a1 ? 2? a1 ? a2 ? a3 ? 12 . (1)求数列{ an }的通项公式;

(2)令 bn ? an x n ( x ? R),求数列{ bn }前 n 项和 S n . 解:(1)设数列{ an }的公差为 d,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d=12. 又 a1 ? 2? 得 d=2.所以 an ? 2n . (2)令 S n ? b1 ? b2 ? … ?bn ? 则由 bn ? an x n ? 2n ? x n ? 得 S n ? 2 x ? 4 x 2 ? … ?2n ? x n . ①

xS n ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? … ?(2n ? 2) x n ? 2n ? x n ?1 . ②
当 x ? 1 时,①式减去②式,得:

(1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? … ? x n ) ? 2nx n ?1 ?

2 x(1 ? x n ) ? 2nx n ?1 ? 1? x

2 x(1 ? x n ) 2nx n ? 1 所以 S n ? . ? 1? x (1 ? x)2
当 x=1 时 ? S n ? 2 ? 4 ? …+2n=n(n+1). 综上可得,当 x=1 时 ? S n ? n(n ? 1) ; 当 x ? 1 时 ? Sn ?

2 x(1 ? x n ) 2nx n ? 1 . ? 1? x (1 ? x)2

12.已知点 (1? 1 ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0? 且 a ? 1) 的图象上一点.等比数列{ an }的前 n 项和为 3 f(n)-c.数列{ bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 S n 满足 S n ? S n ?1 ? (1)求数列{ an }和{ bn }的通项公式; (2)若数列{

S n ? S n ?1 (n ? 2) .

1 }的前 n 项和为 Tn ? 问满足 Tn ? 1000 的最小正整数 n 是多少? 2009 b b n n ?1

x 解:(1)f (1) ? a ? 1 ? ∴ f ( x) ? ( 1 ) .

3

3

∴ a1 ? f (1) ? c ? 1 ? c? a2 ? [ f (2) ? c] ? [f(1)- c] ? ? 2 ?

3

9

a3 ? [ f (3) ? c] ? [ f(2) ?c] ? ? 2 . 27
4 a2 2 ? 81 ? ? 2 ? 1 ? c? ∴c=1. 又数列{ an }是等比数列 ? a1 ? 3 3 a 2 3 ? 27

n ?1 n 又公比 q ? 2 ? 1 ? ∴ an ? ? 2 ( 1 ) ? ?2( 1 ) ? ? n ? N ? .

a

a 1

3

3 3

3

S n ? S n ?1 ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 (n ? 2)?
又 bn ? 0? S n ? 0? ∴ S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列{ S n }构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列,

S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n? S n ? n 2 ?
当 n ? 2? bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 . 又∵ b1 ? c ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 . ∴ bn ? 2n ? 1(n ? N ? ) .

1 (2)Tn ? 1 ? 1 ? 1 ? … ? bb b b bb b b 12 2 3 3 4 n n ?1

1 ? 1 ? 1 ? 1 ?…? (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ( 1 ? 1 ) ? 1 ( 1 ? 1 ) ? …+ 1 ( 1 ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ) ? n . 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
由 Tn ?

n ? 1000 得 n ? 1000 ? 2n ? 1 2009 9

满足



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