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向量知识点归纳与常见总结4

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向量知识点归纳与常见题型总结
一、向量知识点归纳 1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量,数量是只有大小的量(称标量) ,而向量既有大小又有方向;数量 可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小.记号“ a > b ”错了, 而| a |>| b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关,有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(大小和方向) , 故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时,可平移向量. ⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为 1 的向量,其坐标表示为( x, y ),其中 x 、 y 满足 x ? y
2
2

=1

(可用(cos ? ,sin ? ) (0≤ ? ≤2π )表示).特别:

AB | AB |
?

?

表示与 AB 同向的单位向量。

?

???? ??? ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在 AB ? ? ???? 例如: 向量 ? ( ??? | AB | | AC |
直线);

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ???? ? ) ? ? ? [0, ?? ). 例 1、 O 是平面上一个定点, A、 B、 C 不共线, P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC
则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。 → → → → 1 AB AC AB AC → → → (变式)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06 陕西) ⑸ 0 的长度为 0,是有方向的,并且方向是任意的,实数 0 仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段. (7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。) 2.与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加,其和仍是一个向量.(三角形法则和平行四边形法则) ①当两个向量 a 和 b 不共线时,a ? b 的方向与 a 、b 都不相同, 且| a ? b |<| a |+| b |; ②当两个向量 a 和 b 共线且同向时,a ? b 、a 、b 的方向都相同, 且 | a ? b |? | a | ? | b | ; ③当向量 a 和 b 反向时,若| a |>| b |, a ? b 与 a 方向相同 ,且| a ? b |=| a |-| b |; 若| a |<| b |时, a ? b 与 b 方向相同,且| a + b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减,其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB

例 2:P 是三角形 ABC 内任一点,若 CB ? ? PA? PB, ? ? R ,则 P 一定在(
1

?

?

?



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A、 ?ABC 内部
2

B、AC 边所在的直线上

C、AB 边上

D、BC 边上

例 3、若 AB·BC ? AB ? 0 ,则△ABC 是:A.Rt△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰 Rt△ 例 4、已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? ( 3 ,?1) ,求 | 2a ? b | 的最大值。 分析:通过向量的坐标运算,转化为函数(这里是三角)的最值问题,是通法。 解:原式= | (2 cos? ? 3,2 sin ? ? 1) |? = 8 ? 8 sin(? ?

(2 cos? ? 3 ) 2 ? (2 sin ? ? 1) 2

?
3

) 。当且仅当 ? ? 2k? ?

5? (k ? Z ) 时, | 2a ? b | 有最大值 4. 6

评析:其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ”就显得 简洁明快。原式 ? | 2a | ? | b | = 2 | a | ? | b |? 2 ? 1 ? 2 ? 4 ,但要注意等号成立的条件(向 量同向) 。 ⑶围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)的和为零向量. 如, AB ? BC ? CA ? 0 ,(在△ABC 中) AB ? BC ? CD ? DA ? 0 .(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项: 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b≠0 ), a∥b ? 存在实数λ使 a=λb. 如果两个非零向量 a , b ,使 a =λ b (λ ∈R) ,那么 a ∥ b ; 反之,如 a ∥ b ,且 b ≠0,那么 a =λ b . 这里在“反之”中,没有指出 a 是非零向量,其原因为 a =0 时,与λ b 的方向规定为平行. ⑸数量积的 8 个重要性质 ①两向量的夹角为 0≤ ? ≤π .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值,其射影值可正、可负、可以为零,故向量的数量积是一个实数. ②设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则

e ? a ? a ? e ? | a | ? cos? .(? | e | ? 1)
③ a ? b ? a ? b ? 0 (∵ ? =90°, cos? ? 0) ④在实数运算中 ab =0 ? a =0 或 b=0.而在向量运算中 a ? b = 0 ? a = 0 或 b = 0 是错误的, 故 a ? 0 或 b ? 0 是 a ? b =0 的充分而不必要条件. ⑤当 a 与 b 同向时 a ? b = | a | ? | b | ( ? =0,cos ? =1); 当 a 与 b 反向时, a ? b =- | a | ? | b | ( ? =π ,cos ? =-1),即 a ∥ b 的另一个充要条件是

? ? ? ? | a ? b |? | a | ? | b | .当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要 ? ? ? ? b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充 非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、
分条件; 例 5.如已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是 ______(答: ? ? ?
? ?

?

?

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3

例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量,a ? i ? 2 j ,b ? i ? ? j 。且 a 与 b 的夹角为锐角, 求实数 ? 的取值范围。
2

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分析:由数量积的定义易得“ ? a, b ? ? a ? b ? 0 ” ,但要注意问题的等价性。 解:由 a 与 b 的夹角为锐角,得 a ? b ? 1 ? 2? ? 0. 有 ? ? 而当 a ? t b(t ? 0), 即两向量同向共线时,有 ? 故 ? ? ?? ?,?2? ? ? ? 2, ? . 评析:特别提醒的是:? a, b ? 是锐角与 a ? b ? 0 不等价;同样 ? a, b ? 是钝角与 a ? b ? 0 不等价。极易疏忽特例“共线” 。 特殊情况有 a ? a ? a = | a | 。或 | a | = a ? a
2

1 . 2

?t ? 1 得 ? ? ?2. 此时其夹角不为锐角。 ?t? ? ?2

? ?

1? 2?

2

= a =

2

x2 ? y2 .

如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ),( x 2 , y 2 ), 则

| a | = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
⑥ | a ? b |? | a | ? | b | 。 (因 cos? ? 1 ) ⑦数量积不适合乘法结合律. 如 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c). (因为 ( a ? b) ? c 与 c 共线,而 a ? (b ? c ) 与 a 共线) ⑧数量积的消去律不成立. 若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a ? c ? b ? c 并不能得到 a ? b 这是因为向量不能作除数, 即

1 c

是无意义的.
a ?b a
? ? ?

(6)向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =
? ?

(7) e1 和 e 2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一) ??? ? ??? ? 特别:. OP = ?1 OA ? ?2 OB 则 ?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、A、B 共线的充要条件. 注意:起点相同,系数和是 1。基底一定不共线 例 7、已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 ? 三点共线(该直线不过点 O) ,则 S200=( )

???? ??? ? ? 1 ??? BO=a1 OA+a 200 OC ,且 A、B、C 2

A.50 B. 51 C.100 D.101 例 8 、 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) , 若点 C 满足

OC ? ?1 OA ? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______ (直线 AB)
例 9、已知点 A,,B,C 的坐标分别是 (3,1), (5,2), (2 ,2 ) .若存在实数 ? ,
t ?t

? ??

? ??

? ??

使 OC ? ? OA ? (1 ? ? )OB ,则 t 的值是:A. 0 A. MP ? sin 20?MA ? cos 20?MB
2 2

B. 1

C. 0 或 1
2 2

D.不确定

例 10 下列条件中,能确定三点 A, B, P 不共线 的是: ... B. MP ? sec 20?MA ? tan 20?MB
3

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C. MP ? sin 20?MA ? cos 70?MB
2 2

D. MP ? csc 31?MA ? cot 31?MB
2 2

分析:本题应知: “ A, B, P 共 线 , 等 价 于 存 在 ? , ? ? R, 使 MP ? ? MA ? ? MB 且 。 ? ? ? ? 1” (8) ① 在 ?ABC 中 , PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的 重 心 , 特 别 地

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

3 ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; AB ? BC ? AD 则 AD 过三角形的重心; 2 b2 、 b3 , 例 11、 设平面向量 a1 、a2 、a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0 。 如果向量 b1 、 满足 bi ? 2 ai ,
且 ai 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(D) (06 河南高考)
o

A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0 C. b1 ? b2 ? b3 ? 0

B b1 ? b2 ? b3 ? 0

D. b1 ? b2 ? b3 ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心( ?BAC 的角分线所在直线); AB ? ? ???? ③向量 ? ( ??? | AB | | AC | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ④ | AB | PC ? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;(选) ⑤ S⊿AOB= 1 x A y B ? xB y A ;
2

例 12、 若 O 是 ? ABC 所在平面内一点, 且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA , 则 ? ABC 的形状为____(答:直角三角形) ; 例 13 、 若 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足

??? ? ????

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? ? 例 14、若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则内角 C 为____(答: 120 ) ;

??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?| AP | ? ? ? ,则 ? 的值为___(答:2) P A? B P ? CP ?0 ,设 ??? ; | PD |

(9)、 P 分 P 2 , ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分. 1P = ? P P 1P 2 的比为 ? ,则 P
1 ( OP1 + OP2 );设 P(x,y),P1(x1,y1), 2 1? ? x ? ?x 2 x ? x2 ? ? x ? x2 ? x3 ? x? 1 , x? 1 , x? 1 , ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 P2(x2,y2)则 ? ;中点 ? 重心 ? ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? y ? y1 ? ?y 2 . ? y ? y1 ? y 2 . ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ?

OP = OP1 ? ? OP2 ;若λ =1 则 OP =

说明:特别注意各点的顺序,分子是起点至分点,分母是分点至终点,不能改变顺序和 分 子分母的位置。 例 15、已知 A(4,-3) ,B(-2,6) ,点 P 在直线 AB 上,且 | AB |? 3 | AP | ,则 P 点的坐 标是( ) (2,0) , (6,-6) (10) 、点 P( x, y) 按 a ? (h, k ) 平移得 P?( x?, y?) , 则 PP? = a 或 ?
? a ? (h, k ) 平移得函数方程为: y ? k ? f ( x ? h) ?
? ?

????

?

? x? ? x ? h 函数 y ? f ( x) 按 ? y? ? y ? k

说明: (1)向量按向量平移,前后不变;
4

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(2)曲线按向量平移,分两步:ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致; ⅱ按左加右减,上加下减(上减下加) ? 2 例 16 、把函数 y ? 2 x 的 图象 按向 量 a ? (2, ?2) 平移后 得到的解 析式 是 _________ 。

y ? 2 x2 ? 8x ? 6
例 17、 函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后, 所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1, 则a =________(答: ( ?
? ?

,1) ) 4 结论: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,过 A, B 的直线与 l 交于点 P ,则 P 分 Ax ? By1 ? C ,若用此结论,以下两题将变得很简单. AB 所成的比是 ? ? ? 1 Ax2 ? By 2 ? C 例 18、 已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别是 (?1,1), (2,2) , 若直线 l 的方程是 x ? my ? m ? 0 ,直线 l 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是________. Ax1 ? By1 ? C 1 ? 2m 解 :由 ? ? ? 得? ? ,因为直线 l 与 PQ 的延长线相交 ,故 ? ? ?1 , Ax2 ? By 2 ? C 2 ? 3m 2 解得 ? 3 ? m ? ? 3 变式:已知点 A(2,-1),B(5,3).若直线 l : kx ? y ? 1 ? 0 与线段 AB 相交,求 k 的范围. Ax1 ? By1 ? C 2k ? 2 2 提示: 由 ? ? ? 得: ? ? ? ? 0 及直线过端点得 ? 1 ? k ? Ax2 ? By 2 ? C 5k ? 2 5

?

5



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