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【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题二第3讲平面向量课件 文 苏教版_图文

第 3 讲 平面向量 感悟高考 明确考向 (2010·天津)如图,在△A BC 中,A D ⊥A B ,BC ? 3 BD, | AD |? 1, 则AC ? AD ? . 解析 设 BD=a,则 BC= 3a,作 CE⊥BA 交 BA 的 延长线于 E,可知∠DAC=∠ACE,在 Rt△ABD 中, 1 1 1 sin B= = .在 Rt△BEC 中, CE=BC· sin B= 3a·= BD a a 3, 3 ∴cos ∠DAC=cos ∠ACE= . AC ? AD? AC ?| AD | ? | AC | cos?DAC 3 =AD· AC· = 3. AC 答案 3 考题分析 易错提醒 本题考查平面向量的线性运算、平面向量 (1)不能把AC用AB、 AD线性表示 . 2 的数量积.题目为中档题难度. (2)忽视 AB ? AD ? 0, AD ? 1. 主干知识梳理 1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意 非零向量都共线,记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的 a 单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的 一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.向量的运算 (1)向量的加法、 减法、 数乘向量是向量运算的基础, 应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数,而不是向 量.要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的 差异,平面向量的数量积不满足结合律与消去 律.a· b 的运算结果不仅与 a,b 的长度有关,而且 也与 a,b 的夹角有关,即 a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 . 3.两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b ?a=λb ?x1y2-x2y1=0; a⊥b ?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 热点分类突破 题型一 平面向量的数量积及应用 例 1 已知|a|=4,| b |=3,(2 a-3 b)· (2 a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角; (2)求| a+b |; (3)若AB ? a , AC ? b , 求△ABC 的面积. 思维启迪 (1)应用向量数量积的变形公式求解,即 a· b cos〈a,b〉= ; |a|| b | (2)应用公式| a+b |= (a+b)2即可求解; 1 (3)应用公式 S=2| a || b |sin〈a,b〉求解,关键是求 sin〈a,b〉的值. 向量的数量积公式 → 向量的夹角 → 向量的模 解 (1)由(2a-3 b)· (2 a+b)=61, 得 4| a |2-4 a· b-3| b |2=61, ∵| a |=4,| b |=3,代入上式得 a· b=-6, -6 a· b 1 ∴cos θ= = =- . 2 |a||b| 4×3 又 0° ≤θ≤180° ,∴θ=120° . (2)| a+b|2=(a+b)2 =| a |2+2 a· b+| b |2 =42+2×(-6)+32=13, ∴| a+b |= 13. (3)由(1)知∠BAC=θ=120° , | AB |?| a |? 4, | AC |?| b |? 3, 1 ? S ?ABC ? | AC || AB | sin ?BAC 2 1 = ×3×4×sin 120° =3 3. 2 探究提高 (1)准确利用两向量的夹角公式 cos〈a,b〉 a· b = 及向量模的公式|a|= a· a. | a ||b| (2)在涉及数量积时,向量运算应注意 ①a· a=0,未必有 a=0 或 b=0; ②| a· b|≤| a ||b|. 变式训练 1 在△A BC 中, A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c,且 AB ? AC ? BA? BC (1)判断△ABC 的形状; (2)若AB ? AC ? 2, 求边c的值. 解 (1) ? AB ? AC ? BA? BC, ? | AB | ? | AC | ? cos A ?| BA| ? | BC | ? cos B, ∴c· bcos A=c· acos B, 即 bcos A=acos B. ∴sin Bcos A=sin Acos B, ∴sin Acos B-sin Bcos A=0, 即 sin(A-B)=0. ∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 ?A ? ?B, ? AB的长为 AC在 AB上射影的 2倍. 又 AB ? AC ? 2, 即 | AB | ? | AC | ? cos A ? 2, 1 ?| AC | ? cos A ? ? ? | AB |, | AB | 2 ?| AB |? 2, 即c的值为 2. 2 题型二 有关向量的平行、垂直问题 例 2 已知向量 a=(sin x,cos x),b=( 3cos x,cos x) 且 b≠0,定义函数 f(x)=2a· b-1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 a∥b,求 tan x 的值; (3)若 a⊥b,求 x 的最小正值. 思维启迪 (1)根据已知求 f(x)的解析式,再由三角函 数的单调性求 f(x)的单调递增区间; (2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值; (3)a⊥b?a· b=0,得到关于 x 的三角等式,进而求出 x 的最小值. 解 (1)f(x)=2a· b-1=2( 3sin xcos x+cos2x)-1 = 3sin 2x+cos 2x π =2sin(2x+ ). 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6


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