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高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性导学案苏教版4解析


1.3.1

三角函数的周期性
课堂导学

三点剖析 1.周期函数与周期的意义 【例 1】 求下列三角函数的周期. (1)y=sin(x+

? x ? );(2)y=3sin( + ). 2 5 3 ? ,而 sin(2π +z)=sinz, 3

思路分析:运用周期函数的定义即可. 解: (1)令 z=x+

即 f(2π +z)=f(z), f[(2π +x)+

? ? ]=f(x+ ). 3 3

∴周期 T=2π . (2)令 z=

x ? + , 2 5

则 f(x)=3sinz =3sin(z+2π )

x ? + +2π ) 2 5 x ? 4? ? ? ) =3sin( 2 5
=3sin( =f(x+4π ). ∴T=4π . 温馨提示 理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个 x 满足 f(x+T)=f(x),而非某一个 x 值.也可用公式 T=

2? 求周期. ?

2.判断函数是否具有周期性和求周期 【例 2】 求证: (1)y=cos2x+sin2x 的周期为 π ; (2)y=|sinx|+|cosx|的周期为

? . 2

思路分析:观察特征,运用定义. 证明: (1) f(x+π )=cos2(x+π )+sin2(x+π )=cos(2π +2x)+sin(2π +2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是 π .

? ? ? )=|sin(x+ )|+|cos(x+ )|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), 2 2 2 ? ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是 . 2
(2)f(x+ 温馨提示 “f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式, 即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验 证一个量是否是一个函数的周期.
1

3.判断函数是否具有周期性 【例 3】证明 y=sin|x|不是周期函数. 思路分析:运用定义进行证明. 证明:假设 y=sin|x|是周期函数,且周期为 T,则 sin|x+T|=sin|x|(x∈R).

? 时, 2 ? ? 令 x= ,得 sin| +T| 2 2 ? ? ? =sin| | ? sin( +T)=sin ? cosT=1; 2 2 2 ? ? ? 令 x=- ,得 sin|- +T|=sin|- | 2 2 2 ? ? ?sin(- +T)=sin 2 2 ?-cosT=1 ?cosT=-1. ? 由此得 1=-1,这一矛盾说明 T≥ 不可能. 2 ? (2)当 T≤- 时, 2 令 x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T| ? sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但 ? -T≥ ,由(1)知这是不可能的. 2 ? ? (3)当- <T< 时, 2 2 令 x=0 得,sin|T|=sin|0| ? sinT=0 ? T=0(周期不为零).
(1)当 T≥ 由此可知原函数无周期,故 y=sin|x|不是周期函数. 温馨提示 进一步理解定义,①存在一个常数 T≠0;②当 x 取定义域内每一个值时(而不是某一个), 都有 f(x+T)=f(x)恒成立. 各个击破 类题演练 1 求下列函数的最小正周期. (1)f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(

1 ? x ? ). 2 4

解: (1)f(x)=3sinx=3sin(x+2π )=f(x+2π ),函数的最小正周期为 2π . (2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π )=sin2(x+π )=f(x+π ), 函数的最小正周期为 π . (3)f(x)=2sin(

1 ? 1 ? 1 ? ? x ? )=2sin( x ? +2π )=2sin[ (x+ )+ ]=f(x+4π ),函数的 2 4 2 4 2 4 4

最小正周期为 4π . 变式提升 1 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈
2

[0,

? 5 ]时,f(x)=sinx,则 f( π )的值为( 3 2
1 2
B.



A. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

解析:由题意:f(

5 5 5 ? ? 3 π )=f(- π )=f(- π +2π )=f( )=sin = . 3 3 3 3 3 2

答案:D 类题演练 2 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的周期函数,且 f(x)是偶函数,在区间[2,3]上, 2 f(x)=-2(x-3) +4,求 x∈[1,2]时,f(x)的解析表达式. 解:当 x∈[-3,-2]时,-x∈[2,3]. ∵f(x)是偶函数, 2 2 ∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3) +4=-2(x+3) +4. 又∵f(x)是以 2 为周期的周期函数, 当 x∈[1,2]时,-3≤x-4≤-2, 2 2 ∴f(x)=f(x-4)=-2[ (x-4)+3] +4=-2(x-1) +4. 2 ∴f(x)=-2(x-1) +4(1≤x≤2). 变式提升 2 2 定义在 R 上的偶函数 f(x),其图象关于直线 x=2 对称,当 x∈(-2,2)时,f(x)=x +1,则 x∈(-6,-2)时,f(x)=__________________. 解析:∵偶函数 f(x)其图象关于直线 x=2 对称, ∴f(x+4)=f(x),f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期. 当 x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2). 2 2 ∴f(x)=f(x+4)=(x+4) +1=x +8x+17. 2 答案:x +8x+17 类题演练 3 证明下列函数不是周期函数. 3 2 (1)y=x ;(2)y=sinx . 3 3 证明: (1)因为 y=x 在 x∈R 上单调,设 y 取到值 a,方程 x =a 不可能有两个不同的根,因 3 此 y=x 不是周期函数. 2 2 2 (2)设函数 y=sinx 是周期函数,周期为 T,那么对所有的 x∈R,sin(x+T) =sinx .由 x 的 任意性,T=0,所以函数 y 不可能是周期函数. 变式提升 3 (1)证明 f(x)=1(x∈R)是周期函数,但没有最小正周期. 证明:因为对于任意实数 T≠0,都有 f(x+T)=f(x)=1,所以此函数是周期函数,其周期为任 意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期. (2) 偶 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R, 若 f(x-1)=f(x+1) 对 一 切 x∈R 恒 成 立 , 又 当 0≤x≤1 2 时,f(x)=-x +4. ①求证 f(x)是周期函数,并确定它的周期; ②求当 1≤x≤2 时,f(x)的解析式. ①证明:∵f(x)定义域为 R 且 f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x). 则 f(x)的一个周期为 2,且 2n(n∈Z,n≠0)都是 y=f(x)的周期.

3

②解:设 1≤x≤2,则-2≤-x≤-1, 因此,0≤2-x≤1, 2 由已知有:f(2-x)=-(2-x) +4, ∵f(x)的周期为 2,且为偶函数, ∴f(2-x)=f(-x)=f(x). 2 ∴当 1≤x≤2 时,f(x)=-(2-x) +4.

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