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专题03 指数函数与对数函数-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题 03 指数函数与对数函数 【母题来源一】【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a log2 0.2,b 20.2,c 0.20.3 ,则 A. a b c B. a c b C. c a b D. b c a 【答案】B 【解析】 a log2 0.2 log2 1 0, b 20.2 20 1, 0 c 0.20.3 0.20 1, 即 0 c 1, 则a c b. 故选 B. 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较,考查了数学运算的素养.采取中间量法,根据指数函数和 对数函数的单调性即可比较大小. 【母题来源二】【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】设 x、y、z 为正数,且 2x 3y 5z ,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D 【解析】令 2x 3y 5z k(k 1) ,则 x log2 k , y log3 k , z log5 k ∴ 2x 2 lg k lg 3 lg 9 1,则 2x 3y , 3y lg 2 3lg k lg 8 2x 5z 2 lg k lg 2 lg 5 5lg k lg 25 lg 32 1 ,则 2x 5z . 故选 D. 【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 x, y, z ,通 过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及 0 与 1 的对 数表示. 1 【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的大小比较,以能力为主,重点考查函数的单调性及其函 数图象.主要体现在以下几个方面: (1)掌握幂的运算. (2)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在 简化运算中的作用. (3)理解指数、对数函数的概念,理解指数、对数函数的单调性. 【命题规律】 高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主,多以指数、对数函数为 载体,查函数值的大小比较及单调性. 此外,指数、对数函数的图象及应用也常有出现,一般以选择题或填空题的形式呈现,难度一般不大,解 题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质,注意分类讨论、数形结合及转化与化归 思想的运用. 【思路点拨】 解答本类题目,一般有两种思路: 模板一:利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较,即 (1)比较形如 am 与 an 的大小,利用指数函数 y ax 的单调性; (2)比较形如 loga m 与 loga n 的大小,利用对数函数 y loga x 的单调性; (3)比较形如 am 与 bm 的大小,利用幂函数 y xm 的单调性. 模板二:中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为 中间桥梁,进而可比较大小. (1)比较形如 am 与 bn 的大小,一般找一个“中间值 c”,若 am c 且 c bn ,则 am bn ;若 am c 且 c bn , 则 am bn .常用到的特殊值有 0 和 1.( 0 loga 1,1 loga a,1 a0 ) 2 (2)比较形如 am 与 bn 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值, 即 an 或者 bm ,进而利用中间值解決问题. 【方法总结】 (一)比较幂的大小的常用方法: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断; (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断; (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较. (二)比较对数式的大小: (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分 类讨论,即 a>1 时 y log x a 是增函数,0<a<1 时 y log x a 是减函数,当对数底数为变量时,要分情况对 底数进行讨论来比较两个对数的大小; (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较; (3)若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较.在具体比较时,可以首先将它们与零比较, 分出正负;正数通常再与 1 比较分出大于 1 还是小于 1,然后在各类中间两两相比较,另外若题中既有对数 式又有指数式,也常用中间量比较大小. (三)解指数、对数方程或不等式: (1)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数 a 的 取值范围,并在必要时进行分类讨论. (2)①形如 loga x logab 的不等式,借助 y loga x 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需分 a 1与 0 a 1两种情况讨论; ②形如 loga x b 的不等式,需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式,再借助 y=loga x 的单调性求解. (四)快速判断对数的符号:八字真言“同区间正,异区间负”. 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为 0,1 和 1, . (1)如果底数和真数均在 0,1 中,或者均在 1, 中,那么对数的值为正数; (2)如果底数和真数一个在 0,1 中,一个在 1, 中,那么对数的值为负数. 例如: log3 0.5 0, log0.5 0.3 0, log2 3 0 等 (五)比较大小的两个理念: 3 (1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则


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