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河北省唐山一中2013—2014学年度高二数学第一学期期中试卷 理

唐山一中 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高二年级数学(理)试卷
说明:1.考试时间 120 分,满分 150 分。 2.将卷 ? 答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷 ?? 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。 卷Ⅰ: (选择题共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为(
2

) D.-8 是直角梯形(如图

A.

1 8

B. ?

1 8

C.8

2. 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图
? 所示, ?ABC ? 45 ? AB ? 2, AD ? 1? DC ? BC ? 则这块菜地的

面积为(

). B. 4+2 2 D. 1? 2

A. 2 ? 2 2 C. 2 ? 2

3.已知椭圆 C: +y =1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B, 2 若 FA =3FB,则|AF|= A. 3 B.2 C. 2 ) C.有两个交点 D.有三个交点

x2

2

??? ?





(

). D.3

4. 直线 y=x+3 与曲线 - =1( 9 4 A.没有交点 B.只有一个交点

y2 x|x|

5. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a, b ? 0 ? 的左焦点 F1 ,作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线交双曲线右支 a 2 b2

于点 P,切点为 T, PF1 的中点 M 在第一象限,则以下结论正确的是 ( ) A b ? a ? MO ? MT C b ? a ? MO ? MT B b ? a ? MO ? MT D b ? a与 MO ? MT 的大小不确定 (第 1 页共 6 页)
1

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π C.16+16π B.8+8π D.8+16π

).

7.直线 y = x + b 与曲线 x= 1 ? y 2 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是( ) (A)|b|= 2 (B) ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 (C) ?1 ? b ?

2

(D)以上都错

8. 设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点

x2 y2 a b

P 满足|PF2|=|F1F2|,且 cos∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为(
A.3x±4y=0 9. 圆 x ? 2 3 B.4x±3y=0
2

4 5 C.3x±5y=0

)

D.5x±4y=0

?

?

2

? ? y ? 3? ? 16 与 y 轴交于 A、B 两点,与 x 轴的一个交点为 P,


则 ?APB 等于( A.

? 6

B.

? 4
2

C.

? 3
2

D.

? 2
2

10.直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x =4y 和圆 x +(y-1) =1 从左到右的交点依次为 |AB| A、B、C、D,则 的值为( |CD| A.16
2

) 1 C. 4 1 D. 16

B.4
2

11. 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距 离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( (A) [ ) (D) [0,

, ] 12 4

? ?

(B) [

? 5?
,

12 12

]

(C) [

? ?

, ] 6 3

?
2

]
2

(第 2 页,共 6 页) 12. 已知 A( ?1,0) ,B(1,0) ,P 是圆 C: ? x ? 3? ? ? y ? 4? ? 4 上的任意一点,则
2 2

PA ? PB 的最大值与最小值各位多少( )
2 2

A.100,65

B. 65,20

C.100,20 D.100,45 卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13.已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点, 若|PF1|=17, 64 36 则|PF2|的值为________. 14. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A、B 两点, 且弦 AB 的长
2 2

x2

y2

为 2 3 ,则 a ?

.

15.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标 25 16


为 (6,4) ,则 PM ? PF1 的最大值为

16.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何 体上任意选择 5 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的 5 个顶点, 这些几何形体是(写 出所有正确结论的编号) .(其中 a ? b )

①每个侧面都是直角三角形的四棱锥; ②正四棱锥; ③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均 为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体 ④有三个侧面为直角三角形,另一个侧面为等腰三角形的四棱锥

(第 3 页,共 6 页)
3

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知三角形 ?ABC 的三个顶点是 A ? 4, 0 ? , B ? 6, 7 ? , C ? 0,8 ? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。

18. (本小题满分 12 分) 已知点 P (2,0) 及圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 .
2 2

(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 2 ,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 P 恰为 MN 的中点时, 求以线段 MN 为直径的圆 Q 的方程.

(第 4 页,共 6 页)
4

19. (本小题满分 12 分) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图,航天器运行(按顺 时针方向)的轨迹方程为 + =1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返 100 25

x2

y2

64 回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M(0, )为顶点的抛物线的实线部分, 降落点为 D(8,0). 观 7 测点 A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令?

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 25 及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1? y ? 7m ? 4 . ?m ? R ?
2 2

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; ( 2 ) 求 直 线 l 与 圆 C 所 截 得 的 弦 长 的 最 短 长 度 及 此 时 直线 l 的方程.

5

(第 5 页,共 6 页) 21. (本小题满分 12 分) 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A

O
21 题图

B

x

22.(本小题 12 分) 设点 P 是圆 x +y =4 上任意一点, 由点 P 向 x 轴作垂线 PP0, 垂足为 Po, MP ? 且 O
2 2

?????

? 3 ???? PPO . 2

(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l :y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于 不同的两点 A,B. (1)若直线 OA,AB,OB 的斜率成等比数列,求实数 m 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过曲线 C 与 x 轴正半轴的交点 Q,求证:直线 l 过定点 (Q 点除外),并求出该定点的坐标.

6

一、 题号 答案 1 B

(第 6 页,共 6 页) 唐山一中 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高二年级数学(理)答案 选择题 2 B 3 B 4 D 15. 5 A 15. 6 A 7 B 8 B 9 A 10 D 11 B 12 C

二、填空题 13. 33 14. 0 三、解答题

16. ①③④

17. 解: (1)如图,作直线 AD ? BC ,垂足为点 D 。

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

………………… 1 分

? BC ? AD
? k AD ? ? 1 ? 6 ………………3 分 k BC

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方程为:

y ? 0 ? 6 ? x ? 4?
化简得:

y ? 6 x ? 24 ……………5 分

(2)如图,取 BC 的中点 E ? x0 , y0 ? ,连接 AE 。

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? 2 由中点坐标公式得 ? , 8 ? 7 15 ?y ? ? ? 0 ? 2 2
即点 E ? 3,

? 15 ? ? ? 2?

……………………7 分

15 ?0 y?0 2 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为: ………………………9 分 ? x ? 4 3? 4 15 化简得: y ? ? x ? 30 ……………………………………10 分 2
18. 解:(1)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在),
7

则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 即 kx ? y ? 2k ? 0 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,

由题意知

3k ? 2 ? 2k k ?1
2

3 2 ? 32 ? 2 2)=1 , 解得 k ? ? . ( 4

…3 分

所以直线方程为 y ? ? 即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .

3 ( x ? 2) , 4
……4 分

当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. ……6 分 所以直线 l 的方程为 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ………………………7 分 (2)由于 CP ?

5 ,……8 分

所以弦心距 d ?

r2 ? (

MN 2

) 2 ? 5 ,则 MN ? 4 ……10 分
2 2

故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . 19. 解:(1)设曲线方程为 y=ax + 1 ∴a=- . 7 1 2 64 ∴曲线方程为 y=- x + . 7 7 …………4 分
2

……12 分

64 64 ,由题意可知,0=64a+ ,……2 分 7 7

?100 25=1, ? (2)设变轨点为 C(x,y), 联立? 1 64 ?y=-7x + 7 , ?

2

x2

y2

得 4y -7y-36=0. 9 ∴y=4 或 y=- (不合题意,舍去). ………………6 分 4 由 y=4 得 x=6 或 x=-6(不合题意,舍去). ∴C 点的坐标为(6,4),…………10 分 此时|AC|=2 5,|BC|=4. 故当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、4 时,应向航天器发出变轨指令 ……………………………12 分
8

2

20. 解:(1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 , 可以改写为 m?2 x ? y ? 7? ? x ? y ? 4 ? 0 ,…………2 分 所以直线必经过直线 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点. 由方程组 ?
?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 解得 ? 即两直线的交点为 A (3,1) ………3 分 ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 1

又因为点 A?3,1? 与圆心 C ?1,2? 的距离 d ? 5 ? 5 ,

……………4 分

所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交…………5 分 (2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D .
BD 为直线被圆所截得的最短弦长.

…………7 分

此时, AC ? 5 , BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 . 即最短弦长为 4 5 .
2

………………9 分

又直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 , 所以直线 BD 的斜率为 2. …………11 分

此时直线方程为: y ?1 ? 2?x ? 3?, 即2x ? y ? 5 ? 0. …………………12 分 21. [解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2 ,0 , 设椭圆的标准方程是

?

??

2 ,0 ,

??

2 ,1 .

?

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? . 2 a b
2

2

2

则2a ? AC ? BC ?

?

2? ? 2
2

?

?? ? ?1 ? 0?
2
2 2
2 2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2

………………3 分 ………………5 分

?a ? 2 ? b ? a ? c ? 4 ? 2 ? 2

?椭圆的标准方程是

x y ? ? 1. 4 2 ……………………6 分 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.
?y ? kx? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

联立方程: ?

消去 y 整理得, 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 8kx ? 4 ? 0

…………7 分

9

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , ………………………………9 分
有 x1 ? x2 ? ? 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1? k 所以, 即

?

2

?x x

1 2

? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0

4 1? k 2 16 k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 …………………10 分

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. …………………11 分 1 ? 2k 2 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .
所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点…12 分 22.解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? , P ? x0 , y0 ? ,则由题意知 P0 ( x0 ,0) . 由 MP0 ? ( x0 ? x,? y ) , PP0 ? (0,? y 0 ) ,且 MP0 ? 得 ( x 0 ? x, ? y ) ?

???? ?

3 ???? PP0 , 2

3 (0,? y 0 ) . 2 ? x0 ? x ? 0, ? x 0 ? x, ? ? 所以 ? 于是 ? ……1 分 2 3 y0 , ?? y ? ? ? y 0 ? 3 y. 2 ? ? 4 2 2 2 2 又 x0 ? y 0 ? 4 ,所以 x ? y ? 4 . 3 x2 y2 ? ? 1 .…3 分 所以,点 M 的轨迹 C 的方程为 4 3 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) . ? y ? k x ? m, ? 2 2 2 联立 ? x 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 . y2 ? 1, ? ? 3 ?4 2 2 2 所以, ? ? (8mk ) ? 16(3 ? 4k )( m ? 3) ? 0 ,
即 3 ? 4k ? m ? 0 .
2 2



………………5 分

10

8mk ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 且? 2 ? x ? x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ? y y kx ? m kx2 ? m 2 2 (i)依题意, k ? 1 2 ,即 k ? 1 . ? x1 x2 x1 x2
? x1 x2 k 2 ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 .

? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ,即 km(?

8mk ) ? m2 ? 0 . 3 ? 4k 2

? m ? 0 ,? k (?

8k ) ? 1 ? 0 ,…………………6 分 3 ? 4k 2 3 3 2 2 2 解得 k ? .将 k ? 代入①,得 m ? 6 . 4 4 所以, m 的取值范围是 (? 6 ,0) ? (0, 6 ) ……………………8 分

(ii)曲线

x2 y2 ? ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 Q(2,0) . 4 3 依题意, AQ ? BQ , 即 AQ ? BQ ? 0 . 于是 (2 ? x1 ,? y1 ) ? (2 ? x2 ,? y 2 ) ? 0 . ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y 2 ? 0 , 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (kx1 ? m)( kx2 ? m) ? 0 ,
? (k 2 ? 1) ? 4(m 2 ? 3) 8mk ? (km ? 2) ? (? ) ? 4 ? m 2 ? 0 .化简, 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 得 7m ? 16mk ? 4k ? 0 . ……………….13 分 2k 2 2 解得, m ? ?2k 或 m ? ? ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 ……9 分 7 当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0) (舍去); …10 分 2k 2 2 当m ? ? 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0) . ………11 分 7 7 7 2 所以,直线过定点 ( ,0) . ………12 分 7

11



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