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1.1.3 导数的几何意义


1.1.3 导数的几何意义
一、选择题 1.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点(1,3),则 b 的值为( A.3 B.-3 C.5 D.-5 (x+Δx)3+a(x+Δx)+b-(x3+ax+b) = Δx )

解析:注意点(1,3)既在直线上,又在曲线上.由于 y′=Δx→0 lim

3x2+a,所以 y′|x=1=3+a=k,将(1,3)代入 y=kx+1,得 k=2,所以 a=-1,又点(1,3)在曲线 y=x3+ax +b 上,故 1+a+b=3,又由 a=-1,可得 b=3,故选 A. 2. f(x)为可导函数, 设 且满足Δx→0 lim A.2 解析:由题意得Δx→0 lim f′(1)=-1.故选 B. 答案:A )

f(1)-f(1-Δx) =-1, 则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率是( Δx 1 C. 2 D.-2

B.-1

f[1+(-Δx)]-f(1) =f′(1)=-1,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率 -Δx

答案:B

3.下列说法正确的是(

)

A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在 解析:本题主要考查导数的几何意义,f′(x0)即曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.答案:C

9 4.曲线 y= 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( x A.45° B.60°

) D.120°

C.135°

1 1 - x+Δx x f(x+Δx)-f(x) 1 9 解析:f′(x)=Δx→0 lim =9Δx→0 lim =-9Δx→0 lim =- 2, Δx Δx x (x+Δx)x 9 ∴y′|x=3=- =-1,又∵直线的倾斜角范围[0° ,180° ),∴倾斜角为 135° .答案:C 9

15 5.(2009· 江西)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于 ( 4 25 A.-1 或- 64 21 B.-1 或 4 7 25 C.- 或- 4 64 7 D.- 或 7 4

)

3 解析:设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x0),所以切线方程为 y-x3=3x2(x-x0), 0 0

3 3 即 y=3x2x-2x0,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= . 0 2 15 25 当 x0=0 时,由直线 y=0 与曲线 y=ax2+ x-9 相切可得 a=- ; 4 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由直线 y= x- 与曲线 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1.所以选 A.答案:A 2 4 4 4
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6.过点(-1,0)作抛物线 y=x2+x+1 的切线,则其中一条切线为( A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0 C.x+y+1=0 ①

) D.x-y+1=0

2 解析:设切点为(x0,y0),则 y0=x0+x0+1

f′(x0)=Δx→0 lim =Δx→0 lim ∴

f(x0+Δx)-f(x0) (x0+Δx)2+(x0+Δx)+1-(x2+x0+1) 0 =Δx→0 lim Δx Δx

Δx2+(2x0+1)Δx =Δx→0 (Δx+2x0+1)=2x0+1. lim Δx
?x0=0 ?x0=-2, ? ? 由①②解得? 或? ? ? ?y0=1 ?y0=3,

y0-0 =2x0+1② x0+1

∴(0,1),(-2,3)是抛物线上的点.

∴过(0,1)的切线方程为 y-1=x,即 x-y+1=0. 过(-2,3)的切线方程为 y-3=-3(x-3),即 3x+y-12=0. 答案:D

二、填空题 7.(2009· 福建)若曲线 f(x)=ax5+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 1 解析:∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞),∴由题知 5ax4+ =0 在(0,+∞)上有解. x x 1 1 即 a=- 5在(0,+∞)上有解.∵x∈(0,+∞),∴- 5∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0). 5x 5x

8.若点 P 是抛物线 y=x2 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 解析:由题意可得,当点 P 到直线 y=x-2 的距离最小时,点 P 为抛物线 y=x2 的一条切线的切点, 1 1 1 且该切线平行于直线 y=x-2,由 y′=2x=1,解得 x= ,所以 P( , ),故点 P 到直线 y=x-2 的最小 2 2 4 1 1 | - -2| 2 4 7 距离 d= = 2. 8 2 7 答案: 2 8

1 9. 曲线 y=x3 在点(a, 3)(a≠0)处的切线与 x 轴, a 直线 x=a 所围成的三角形的面积为 , a=________. 则 6 2 解析:由题意知切线的斜率为 3a2,由点斜式得切线方程为 y-a3=3a2(x-a).令 y=0,得 x= a,则 3 1 2 1 |a- a|· 3|= ,解得 a=± |a 1. 2 3 6 答案:± 1

三、解答题 10.已知抛物线 y=x2+bx+c 在点(1,2)处的切线与直线 y=x-2 平行,求 b,c 的值. 解:由于点(1,2)在抛物线 y=x2+bx+c 上, ∴2=1+b+c,即 b+c=1① ∵抛物线与直线 y=x-2 的平行直线相切于点(1,2),∴f′(1)=1, 而 f′(1)=Δx→0 lim Δy Δx
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=Δx→0 lim

(1+Δx)2+b(1+Δx)+c-(1+b+c) Δx

=Δx→0 (Δx+2+b)=2+b. lim ∴2+b=1② 由①②可得 b=-1,c=2.

11.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴所围成的三角形面积. 解:(1)由题意知 y′=2x+1,直线 l1 的斜率 k=2×1+1=3,所以直线 l1 的方程为 y=3x-3,设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2),则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2,由于 l1⊥l2,则 2b+1 1 2 1 22 =- ,b=- ,故 l2 的方程为 y=- x- . 3 3 3 9

?y=3x-3, ?x=6, ? (2)解方程组? 得? 1 22 5 ? ?y=-3x- 9 , ?y=-2,
1

1 5 所以 l1 与 l2 的交点坐标为( ,- ),l1,l2 与 x 轴的交点 6 2

22 1 25 5 125 坐标分别为(1,0),(- ,0),所以所求三角形面积 S= × ×|- |= . 3 2 3 2 12

12.已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1,C2 都相切,求直线 l 的方程. 解:设直线 l 与曲线 C1 切于点(x1,y1),与曲线 C2 切于点(x2,y2),则由 y=x2,得 y′|x=x1=2x1,所 以直线 l 的方程可以表示为 y-x2=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x2 1 1 ①.

又由 y=-(x-2)2=-x2+4x-4,得 y′|x=x2=-2x2+4,所以直线 l 的方程可以表示为 y+(x2-2)2 =(-2x2 +4)(x-x2),即 y=(4-2x2)x+x 2 -4 2
? ? ?4-2x2=2x1, ?x1+x2=2, ? 2 所以? 2 2 2 ? ? ?x2-4=-x1, ?x1+x2=4.

②,由题意可得,①和②表示同一条直线,从而有

所以 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0. 若 x1=0,则由①可得切线方程为 y=0; 若 x2=0,则由②可得切线方程为 y=4x-4. 所以适合题意的直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.

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