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龙文区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

龙文区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学 一、选择题
1. 设集合 A ? ?x ? R || x |? 2? , B ? ?x ? Z | x ?1 ? 0? ,则 A A. ?x |1 ? x ? 2? B. ?x | ? 2 ? x ? 1 ? C.

B?(
D. ?1, 2?



??2, ?1,1, 2?

【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题. 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ A. [2, ??) 3. 过点(2,﹣2)且与双曲线 A. ﹣ =1 B. ﹣ B. ? 2, 4?

2. 函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 5 在区间 ?0, m? 上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范围是( C. ( ??, 2] ) ﹣ ) =1

) D. ? 0, 2?

2 ﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(

=1

C.



=1

D.

4. 设全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩? UN=﹛2,4﹜,则 N=( A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} ) 5. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为(

A.1

B.

C.

D. )

6. 如图在圆 O 中, AB , CD 是圆 O 互相垂直的两条直径,现分别以 OA , OB , OC , OD 为直径作四个 圆,在圆 O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(

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A

D

O B

C

A.

1

?

B.

1 2?

C.

1 1 ? 2 ?

D.

1 1 ? 4 2?

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法,借助圆这个载体,突出了几何概型的基本运算能力,因用到圆的 几何性质及面积的割补思想,属于中等难度. 7. 如图所示的程序框图输出的结果是 S=14,则判断框内应填的条件是( )

A.i≥7?B.i>15?

C.i≥15?

D.i>31?

8. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( A.12 B.11 C.10 D.9

,且 f(x)=f(x+2),g(x)= )



9. 已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,若 a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列,则 a10 ? ( A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 ?M,则实数 a 的取值范围是( ) C.[ ,1) D.( ) ,1) 10.设关于 x 的不等式:x2﹣ax﹣2>0 解集为 M,若 2∈M, A.(﹣∞, )∪(1,+∞) B.(﹣∞,



11.已知某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79),则以下 结论正确的是( ) A.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定 B.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定 C.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定 D.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定
? ? ? , log 4 x ? log8 x ,命题:存在 x ? R ,使得 tan x ? 1 ? 3x ,则下列命题为 12.已知命题 p :对任意 x ? ? 0 ,

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真命题的是( A. p ? q

) B. ? ?p ? ? ? ?q ? C. p ? ? ?q ? D. ? ?p ? ? q

二、填空题
13.设 α 为锐角,若 sin(α﹣ )= ,则 cos2α= .

14.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 结论的序号是 .
k k+1

)”;其中所有正确

15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,则{an}的通项公式 an= .

16.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ,若对 ?n ? N ? , an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______. 【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识,意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算 能力. 17.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是 18.已知函数 f(x)=cosxsinx,给出下列四个结论: ①若 f(x1)=﹣f(x2),则 x1=﹣x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; ③f(x)在区间[﹣ , ]上是增函数; 对称.

?

?

.

④f(x)的图象关于直线 x= 其中正确的结论是 .

三、解答题
19.(本题满分 12 分)设向量 a ? (sin x,

3 (sin x ? cos x)) , b ? (cosx, sin x ? cos x) , x ? R ,记函数 2

f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 f ( A) ?

1 , a ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2

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20.已知命题 p:x2﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: q 为假,求实数 a 的取值范围.

若 p 或 q 为真,p 且

21.已知全集 U=R,函数 y= (1)集合 A,B; (2)(? UA)∩B.

+

的定义域为 A,B={y|y=2 ,1≤x≤2},求:

x

22.已知{an}为等比数列,a1=1,a6=243.Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和,b1=3,S5=35. (1)求{an}和{Bn}的通项公式; (2)设 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求 Tn.

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx .
x 2

(1)当 a ? 0, b ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上零点的个数; (2)证明:当 b ? a ? 1 , x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 1 .

1 2

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24.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ,求直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值.

25.已知集合 P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}. (1)若 a=1,求 P∩Q; (2)若 x∈P 是 x∈Q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

26. AC=AA1= 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1, H 为棱 CC1 的中点,D 在棱 BB1 上,且 A1D 丄平面 AB1H. (Ⅰ)求证:D 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值.

AB, AB⊥AA1, ∠AA1C1=60°,

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龙文区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及 | x |? 2 ,得 ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? ?x | ? 2 ? x ? 2? ,所以 A 2. 【答案】B 【解析】 试题分析: 画出函数图象如下图所示,要取得最小值为, 由图可知 m 需从开始, 要取得最大值为,由图可知 m 的右端点为,故 m 的取值范围是 ? 2, 4? .

B ? ?1,2? ,故选 D.

考点:二次函数图象与性质. 3. 【答案】A 【解析】解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程
2 ﹣y =λ, 2 ﹣y =λ,

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为 故选 A.



【点评】本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用. 4. 【答案】B 【解析】解:∵全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜, ∴集合 M,N 对应的韦恩图为 所以 N={1,3,5} 故选 B

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5. 【答案】 C

【解析】解:第一次循环 第四次循环得到的结果 …

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

所以 S 是以 4 为周期的,而由框图知当 k=2011 时输出 S ∵2011=502×4+3 所以输出的 S 是 故选 C 6. 【答案】 C 【解析】设圆 O 的半径为 2 ,根据图形的对称性,可以选择在扇形 OAC 中研究问题,过两个半圆的交点分别 向 OA , OC 作垂线,则此时构成一个以 1 为边长的正方形,则这个正方形内的阴影部分面积为

?

? ? 1 ,扇形 2

OAC 的面积为 ? ,所求概率为 P ? 2
7. 【答案】C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=2,i=0 不满足条件,S=5,i=1 不满足条件,S=8,i=3 不满足条件,S=11,i=7 不满足条件,S=14,i=15

?1

?

?

1 1 ? . 2 ?

由题意,此时退出循环,输出 S 的值即为 14, 结合选项可知判断框内应填的条件是:i≥15? 故选:C. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解题的关键,属于基本知识 的考查. 8. 【答案】B 【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数,

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函数 g(x)= 对称,

,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11.

故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题. 9. 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为 d ,且 d ? 0 . ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,∴ a2 ? 5 . ∵ a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列, ∴ (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 2)(a3 ? 13) , ∴ (a2 ? 5)2 ? (a2 ? d ? 2)(a2 ? d ? 13) ,
2 ∴ 10 ? (7 ? d )(18 ? d ) ,解得 d ? 2 .

∴ a10 ? a2 ? 8d ? 5 ? 8 ? 2 ? 21 . 10.【答案】C 【解析】解:由题意得: 解得: ≤a<1, ,1). ,

则实数 a 的取值范围为[ 故选 C

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【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,以及不等式组的解法,根据题意列出关于 a 的不等式组是解本题 的关键. 11.【答案】C 【解析】解:∵某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79), ∴μ1=90,?1=86,μ2=93,?2=79, ∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定, 故选:C. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 12.【答案】D 【 解 析 】

考 点:命题的真假.

二、填空题
13.【答案】 ﹣ . )= ,

【解析】解:∵α 为锐角,若 sin(α﹣ ∴cos(α﹣ ∴sin
2 ∴cos2α=1﹣2sin α=﹣

)=

, = . [sin(α﹣ )+cos(α﹣ )]= ,

故答案为:﹣



【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基础题. 14.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确;

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②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …
m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ), m+1



∈(1,2],f(x)=2

﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9, n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数,
k k+1 ∴若(a,b)?(2 ,2 )”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

故答案为:①②④. 15.【答案】 .

n 【解析】解:∵数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,∴Sn =3 .

故 a1=s1=3,n≥2 时,an=Sn ﹣sn﹣1=3 ﹣3 故 an=

n

n﹣1

=2?3n﹣1, .

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式,数列的前 n 项的和 Sn 与第 n 项 an 的关系,属于中档题. 16.【答案】 ( ?

1 5 , ) 4 3

17.【答案】 2e 【解析】 试题分析:

f ? x ? ? xex ,? f ' ? x ? ? ex ? xex ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e .

考点:利用导数求曲线上某点切线斜率.

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18.【答案】 ③④ .

【解析】解:函数 f(x)=cosxsinx= sin2x, 对于①,当 f(x1)=﹣f(x2)时,sin2x1=﹣sin2x2=sin(﹣2x2) ∴2x1=﹣2x2+2kπ,即 x1+x2=kπ,k∈Z,故①错误; 对于②,由函数 f(x)= sin2x 知最小正周期 T=π,故②错误; 对于③,令﹣ +2π≤2x≤ , +2kπ,k∈Z 得﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z

当 k=0 时,x∈[﹣ 对于④,将 x=

],f(x)是增函数,故③正确; )=﹣ 为最小值,

代入函数 f(x)得,f(

故 f(x)的图象关于直线 x= 综上,正确的命题是③④. 故答案为:③④.

对称,④正确.

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交 汇,对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,难度为中等.

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20.【答案】 【解析】解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分)
2 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2﹣a=0 有实根, 2 ∴△=4a ﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分)

依题意得,当 p 真 q 假时,得 a∈?; …(8 分) 当 p 假 q 真时,得 a≤﹣2.…(10 分) 综上所述:a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分) 【点评】 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系, 解决此类问题应该先求出简单命题为真时 参数的范围,属于基础题. 21.【答案】 【解析】解:(1)由 A=[0,3], 由 B={y|y=2 ,1≤x≤2}=[2,4], (2))?UA=(﹣∞,0)∪[3,+∞),
x

,解得 0≤x≤3

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∴(?UA)∩B=(3,4] 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵{an}为等比数列,a1=1,a6=243,
5 ∴1×q =243,解得 q=3,





∵Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和,b1=3,S5=35. ∴5×3+ d=35,解得 d=2,

bn=3+(n﹣1)×2=2n+1. (Ⅱ)∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn, ∴ ①

② ①﹣②得: , 整理得: 的合理运用. 23.【答案】(1)当 a ? (0, 点;(2)证明见解析. 【解析】 . 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法

e2 e2 e2 ) 时,有个公共点,当 a ? 时,有个公共点,当 a ? ( , ??) 时,有个公共 4 4 4

ex ex 试题分析: (1)零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 a ? 2 ,构造函数 h( x) ? 2 ,利用 h( x) ' 求出 x x 2 e 单调性可知 h( x) 在 (0, ??) 的最小值 h(2) ? ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数;(2)构造函数 4 h( x) ? ex ? x2 ? x ?1 ,利用导数可判断 h( x) 的单调性和极值情况,可证明 f ( x) ? 1 .1
试题解析:

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当 a ? (0, 当a ?

e2 ) 时,有 0 个公共点; 4

e2 ,有 1 个公共点; 4 e2 当 a ? ( , ?? ) 有 2 个公共点. 4 x 2 ' x (2)证明:设 h( x) ? e ? x ? x ?1 ,则 h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,
令 m( x) ? h ( x) ? e ? 2 x ?1,则 m ( x) ? e ? 2 ,
' x ' x

1 1 2 2 ' 当 x ? (ln 2,1) 时, m ( x) ? 0 , m( x) 在 (ln 2,1) 上是增函数,

' 因为 x ? ( ,1] ,所以,当 x ? [ , ln 2) 时, m ( x) ? 0 ; m( x) 在 [ , ln 2) 上是减函数,

1 2

考点:1.函数的极值;2.函数的单调性与导数的关系;3.不等式;4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值,函数的单调性与导数的关系,不等式,函数的零点.有关零点问题一 类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,若方程易求解时

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用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识;(3)数形结合法.在研究函数零点, 方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝 对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24.【答案】 【解析】证明:(1)连 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 O,连 DO,则 O 为 AC1 中点, ∵D 为 AB 的中点, ∴DO∥BC1, ∵BC1?平面 A1CD,DO?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. 解:∵底面△ABC 是边长为 2 等边三角形,D 为 AB 的中点, 四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ∴CD⊥AB,CD=
2 2 2



=

,AD=1, ,

∴AD +AA1 =A1D ,∴AA1⊥AB, ∵ ,∴ ∴CD⊥DA1,又 DA1∩AB=D, ∴CD⊥平面 ABB1A1,∵BB1?平面 ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵矩形 BCC1B1,∴BB1⊥BC, ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面 ABC, ∵底面△ABC 是等边三角形, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱. 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CC1 为 y 轴,过 C 作平面 CBB1C1 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(2,0,0),A(1,0, =( ,﹣2,﹣ ),D( ,0, ),A1(1,2, ),

),平面 CBB1C1 的法向量 =(0,0,1),

设直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角为 θ, 则 sinθ= = = . .

∴直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

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25.【答案】 【解析】解:(1) 当 a=1 时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2} 则 P∩Q={1} (2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P 是 x∈Q 的充分条件,∴P?Q ∴ ,即实数 a 的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,以及充分条件的运用,也是高考常会考的题型.

26.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:连接 AC1, ∵AC=AA1,∠AA1C1=60°, ∴三角形 ACC1 是正三角形, ∵H 是 CC1 的中点, ∴AH⊥CC1,从而 AH⊥AA1, ∵侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1,面 AA1C1C∩侧面 ABB1A1=AA1,AH?平面 AA1C1C, ∴AH⊥ABB1A1, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系如图, 设 AB= 则 ,则 AA1=2, ,2,0),D( =( ,t,0), ,2,0), ,t﹣2,0), 则 A(0,2,0),B1( =(

∵A1D 丄平面 AB1H.AB1?丄平面 AB1H. ∴A1D 丄 AB1, 则 即 D( ? =( ,2,0)?( ,t﹣2,0)=2+2(t﹣2)=2t﹣2=0,得 t=1, ,1,0),

∴D 为 BB1 的中点;

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(2)C1(0,1,

),

=(

,﹣1,0),

=(0,﹣1,

),

设平面 C1A1D 的法向量为 =(x,y,z), 则由 ? = x﹣y=0), ? ,z= , =﹣y+ =(3,3 , z=0,得 ), ), , ,

令 x=3,则 y=3

显然平面 A1DA 的法向量为 = 则 cos< , >= =

=(0,0, = .

即二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值是

【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量, 利用向量法是解二面角的常用方法.综合性较强,运算量较大.

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