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“无棱”和“短棱”二面角的处理


“无棱”或“短棱”二面角问题的处 无棱” 短棱” 理 414014湖南省岳阳石油化工总厂一中 彭向阳

解有关二面角的问题, 我们一般是先作出这个二面角的平面角. 作一个 二面角的平面角有多种方法,如利用定义在棱上找一点(一般是特殊点)分别 在两个面内作棱的垂线来作平面角,利用作棱的垂面去截二面角来得到平面 角, 利用面上一点作另一个面的垂线和棱的垂线由三垂线定理或逆定理得到平 面角等等.但这些作法都是必须依靠二面角的棱来进行的.如果一个二面角的 棱没有画出来,或者只画出了一个交点,或者棱画得不够“长” ,致使无法直 接从一个特殊点作出其平面角. 这时我们的处理方法①是延展两个平面使得棱 变长再从一特殊点出发作出其平面角; ②是不通过延展平面而找出棱的位置 再从一特殊点出发作出其平面角; ③是利用面积射影定理间接求出二面角的 大小; ④是利用异面直线上两点间的距离公式间接求出二面角的大小. 下面 通过例题详细说明: 例1. 如图 1, 已知 E、F、G 分别为正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1、 AB、BC 的中点, 求二面角 E-FG-A 的余弦值. D1 C1 P l
A1 E D A M F 图1 B G A 图2 B C B1 D C

分析: 找准 A 和 E 这两个特殊点, 由它们向棱 FG 作垂线, 似乎棱“短” 了一点. 所以可先将棱“延长”, 过 A 作 AM⊥GF 于 M, 连结 EM. 设正 方体的棱长为 a. ∵EA⊥面 ABCD, ∴EM⊥GF, 则∠EMA 是二面角 E-FG-A 的平面角. ∵∠AMF=∠GBF=90°, ∠AFM=∠GFB, AM MF AF ∴△AMF∽△GBF. 得 = = . GB BF GF ∵AF=FB=BG=
1 a, 2 1 2 FG= AC= a, 2 2

1 1 a? a 2 2 = 2 a. ∴AM=MF= 4 2 a 2 在 Rt△EMF 中,
? 2 ? ? 2 ? 6 ? ? ? EM= EF ? MF = ? ? 2 a? ? ? 4 a? = 4 a . ? ? ? ?
2 2

2

2

∴在 Rt△EAM 中,

cos∠EMA=

AM 3 = . EM 3

例2. 如图 2, 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面, 且 PA=AB, 求 面 PAB 与面 PCD 所成二面角的大小. 分析 1: 虽然图中面 PAB 与面 PCD 只画出了一个交点, 但由于 AB∥CD, 故此二面角的棱一定平行于 AB 和 CD 且过 P 点, 所以过 P 作直线 l 平行于 AB, 则 l 就是此二面角的棱. ∵PA⊥面 ABCD, ∴PA⊥AB, ∴PA⊥ l . 又∵AB⊥AD, ∴AB⊥面 PAD, ∴AB⊥PD, ∴PD⊥ l . ∴∠APD 为面 PAB 与面 PCD 所成较小的二面角的平面角. ∴∠APD=45°. Rt△PAD 中, ∠PAD=90°, PA=AD, 即面 PAB 与面 PCD 所成二面角为 45°或者 135°. 1 分析 2: 设所成的较小的二面角大小为 θ , PA=AB=a. S△PAB= a2, 易 2 证 CD⊥PD,
DA⊥面 PAB, CB⊥面 PAB.

∴S△PCD=

1 2 2 CD×PD= a, 2 2

∴△ PAB 是△ PCD 在面 PAB 上的射影 .

1 2 a S ?PAB 2 2 ∴ cos θ = = = . S ?PCD 2 2 2 a 2

∴ θ =45°. 故面 PAB 与面 PCD 所成二面角为 45°或者 135°. 例3. 已 知 : 如 图 3, P 是 正 方 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , PA=PB=PC=PD=a, AB=a. 求面 APB 与面 CPD 相交所成大的二面角的余弦 值. 分析: 面 APB 与面 CPD 虽然只画出了一个交点 P, 但由于两个面内 AB ∥CD, 所以这个二面角的棱一定与 AB 和 CD 平行且过 P 点. 故过 P 点作 l ∥ AB, 则 l 就是这个二面角的棱.

作 AB、CD 的中点 E、F, ∵PA=PB=PC=PD, ∴ PE⊥ l , 角. 在△PEF 中,
cos∠EPF= PF⊥ l ,

连结 PE、PF、EF. PF⊥CD 且 PE=PF=
3 a , EF=a. 2

∴PE⊥AB,

即∠ EPF 就是这两个平面所成一个二面角的平面 EP 2 + PF 2 ? EF 2 1 = . 2 EP ? PF 3

1 所以面 APB 与面 CPD 相交所成大的二面角的余弦值为- .. 3
P P

l
D D C

A E B

F C

A

B

E
图3 图4

例4. 已知如图 4, 是底面直角梯形 ABCD 外一点, BA⊥AD, CD⊥AD, P 且 AB=2, CD=4, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 侧面 PBC 是边长为 10 的正三角形, 求侧面 PAD 与侧面 PBC 的二面角的余弦. 分析 1: 此题的两个侧面也只画出了一个交点 P, 我们可采取延展平面的 方法使棱变长. 如图, 延长 DA 交 CB 的延长线于点 E, 连结 PE, 则平面 PAD ∩ 平面 PBC=PE. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, CD⊥AD. ∴CD⊥平面 PAD. ∵PE ? 平面 PAD, PD ? 平面 PAD, ∴CD⊥PE, CD⊥PD. 又∵AB⊥AD, CD⊥AD, ∴AB∥CD, 由 CD=2AB=4. ∴B 是 EC 的中点. 又∵△PBC 是等边三角形, ∴ CP⊥PE, ∴∠CPD 是侧面 PAD 与侧面 PBC 所 成 二 面 角 的 平 面 角 . 在 Rt △ PDC 中 , PC=10, DC=4, ∴
PD= 10 2 ? 4 2 =2 21 .

∴cos∠CPD= 分析 2:

PD 21 = . PC 5

由已知条件得△PAD 是△PBC 在面 PAD 上的射影. 则 cosα=

设面 PAD

与面 PBC 所成二面角的大小为 α,

S ?PAD . S ?PBC S ?PAD 21 . = S ?PBC 5

易求得 S△PAD=15 7 , 例5.
D1

S△PBC=25 3 .

∴cosα=

A1

D

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求二面角 A-B1C-A1 的余弦值. C1 分析: 取 B1C 的中点 E, 连结 AE. 由 AB1=AC 得 AE⊥B1C. B1 又 A1B1⊥面 BCC1B1, 则 A1B1⊥B1C E ∴异面直线 A1B1 与 AE 所成的角的大小 即所求二面角的大小, 设此角为 α, 正方体 C 棱长为 a, 则
B

A

A1B1=a,

B1E=

2 a, 2

AE=

6 a. 2

由异面直线上两点间的距离公式 AA12=A1B12+AE2+B1E2-2A1B1×AEcosα 得 cosα=
6 . 3

完 2001 年 1 月 6 日打印



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