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高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质教案北师大版4教案


1.6

余弦函数的图像与性质
整体设计

教学分析 1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的 图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移 的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用. 2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数 的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们 就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类 函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导. 3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观 察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数 的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即 可. 三维目标 1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用 图像平移的方法得到余弦函数的图像. 2.观察函数 y=cosx,x∈[0,2π ]的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数 y=cosx 在 x∈[0,2π ]上的简图. 3.通过类比、 知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像 与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系. 重点难点 教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的 性质. 教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦 函数的图像吗?从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究. 思路 2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y=cosx 是函数,我们当然也要探讨它的 一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、 余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下, 一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、 单调性、最值)?然后逐一进行探究. 推进新课 新知探究 提出问题 ①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗? ②你能类比正弦函数性质的学习得到函数 y=cosx,x∈[0,2π ]的性质吗? ③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同? 活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继 续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、 指导.在上一

1

节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数 图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线 ,当然用多 媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角 函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三 角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学 生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势. 由诱导公式 y=cosx=cos(-x)=sin [ y=sin(

?
2

-(-x)] =sin(

?
2

+x)可知,y=cosx 的图像就是函数

+x)的图像.从而,余弦函数 y=cosx 的图像可以通过将正弦曲线 y=sinx 向左平移 2 2 个单位长度得到(如图 1 所示).

?

?

图1 也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图 2 所示).余弦函数 y=cosx(x∈R)的图像叫 作余弦曲线.

图2 教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、 周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师 仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数 y=cosx,x∈R 具有以下主要性质: (1)定义域 余弦函数的定义域是 R. (2)值域 余弦函数的值域是[-1,1]. (3)周期性 余弦函数是周期函数,它的最小正周期是 2π . 由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个 x 值,讨论余弦函 数在区间[x,x+2π ]上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上. (4)最大值与最小值 当 x=2kπ (k∈Z)时,余弦函数取得最大值 1; 当 x=(2k+1)π (k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1. (5)单调性 我们选取长度为 2π 的区间[-π ,π ].可以看出,当 x 由-π 增大到 0 时,cosx 的值由-1 增 大到 1,当 x 由 0 增大到 π 时,cosx 的值由 1 减小到-1. 因此,余弦函数在区间[-π ,0]上递增,在区间[0,π ]上递减. 由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间 [(2k-1)π ,2kπ ] (k∈Z)上都是递增 的,在每一个区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是
2

余弦函数的单调区间. (6)奇偶性 余弦函数的图像关于 y 轴对称,即 cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数. 这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:

图3 x cosx -π -1 ? ↗ -

?
2
0

? ↗

0 1

?

?
12
0

?

π -1





类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的 对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线 x=0,x=π 等多条直线对称,余弦曲线还关于点 (

? ,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的 .教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔 2

学生的视野. 探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番 ,这种习惯很 好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法. 当我们仔细对比正弦函数、 余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两 个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相 同,都为 R.值域也相同,都是[-1,1].最大值都是 1,最小值都是-1,只不过由于 y 轴放置的 位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是 2π .它们 的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心, 以过最值点且垂直于 x 轴的直线为对称轴.但是由于 y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与 x 轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、 减区间间隔出现. 也是由于 y 轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以 看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响. 讨论结果:①—③略. 应用示例 例 1 画出函数 y=cosx-1,x∈R 的简图,并根据图像讨论函数的性质. 活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题 ,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦 函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1 对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领, 最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功. 可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在 学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图 4 所示). x cosx cosx-1 0 1 0

?
12
0 -1

π -1 -2

3? 2
0 -1

2π 1 0

3

图4 不难看出,函数 y=cosx-1 的主要性质有(如下表所示). 函数 定义域 值域 奇偶性 周期 单调性 最大值与最小值 y=cosx-1 R [-2,0] 偶函数 2π 当 x∈[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)时,函数是递增的; 当 x∈[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)时,函数是递减的 当 x=2kπ (k∈Z)时,最大值为 0; 当 x=(2k+1)π (k∈Z)时,最小值为-2

点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目 的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些 动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看. 完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了 .这也让学生从中体会 到了数形结合的好处.

23? 17? )与 cos()的大小. 5 4 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识 迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调 性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的 学生给予帮助指导.
例 2 利用三角函数的单调性,比较 cos(解:cos(-

23? 23? 3? 17? 17? ? ? 3? )=cos =cos ,cos()=cos( )=cos .因为 0< < <π , 5 5 4 4 5 4 4 5

3? 23? 17? >cos ,即 cos()<cos(). 5 4 4 5 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为 同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如
且函数 y=cosx,x∈[0,π ]是减函数,所以 cos 本例中,cos

?

?
4

>0,cos

3? <0,显然大小立判. 5

1 ? x- ),x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间. 2 6 活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学
例 3 求函数 y=cos(

1 ? x- 看成 z,问题就转化为求 y=cosz 的单调区间问题,而这就简单多了, 2 6 教师应点出,这里用的是换元的思想方法.
生的思考方向:把 解:令 z=

1 ? x- .函数 y=cosz 的单调递增区间是[-π +2kπ ,2kπ ]. 2 6
4

由-π +2kπ ≤ 取 k=0,得-

1 ? 5? ? x- ≤2kπ ,得+4kπ ≤x≤ +4kπ ,k∈Z. 2 6 3 3

5? ? 5? ? ≤x≤ ,而[, ] [-2π ,2π ], 3 3 3 3

1 ? 5? ? x- ),x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间是[, ]. 2 6 3 3 点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关 于 x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一 数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
因此,函数 y=cos( 4.求函数 y= cos x 的定义域. 活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行 适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等. 解:由 cosx≥0 得-

?
2

+2kπ ≤x≤

?
2

+2kπ (k∈Z).

+2kπ ](k∈Z). 2 2 点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合 题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解 集.变式训练 函数 y=1+cosx 的图像( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 ∴原函数的定义域为[C.关于原点对称 D.关于直线 x=

?

+2kπ ,

?

?
2

对称

答案:B 例 5 (2007 山 东 临 沂 一 模 ,17(1)) 在 给 定 的 直 角 坐 标 系 ( 如 图 5) 中 , 作 出 函 数 f(x)= 2 cos(2x+

?
4

)在区间[0,π ]上的图像.

图5 解:列表取点如下: x 0

?
8

3? 8
π - 2

5? 8

7? 8

2

π

2x ?

?
4

?
4
1

?
2
0

3? 2
0

9? 4
1

f(x)

描点连线作出函数 f(x)= 2 cos(2x+

?
4

)在区间[0,π ]上的图像如图 6.

5

图6 点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节. 知能训练 课本练习 1-4. 课堂小结 1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识?学习了哪些数学思想方法? 这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、 周期性、 增减性、 对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了 本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的 知识系统. 2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归 纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业 课本习题 1—5 3、4、5、6. 设计感想 1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、 大量活动.作为函数的性 质,从初中就开始学习,到高中学习幂、 指数、 对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是 高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容 易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外 ,又有其特殊性,共性中包含特性, 特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟. 2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、 余弦函数的性质的异同,以加深他们对两 个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、 余弦函数的图像,在解题中突 出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利 用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想. 3. 学习正、余弦函数性质后 , 引导学生对过去所学的知识重新认识 , 例如 cos(α +2π ) = cosα 这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式 ,现在我们认识到了它表明余弦 函数的周期性,以提升学生的思维层次. 备课资料 备用习题 1.函数 y=cosx,x∈[A. [0,1]

?
6

,

?
2

]的值域是 C. [0,

(
3 ] 2

) D. [-

B. [-1,1]

1 ,1] 2

2.(2007 山东临沂)对于函数 y=f(x)= ? A.该函数的值域是[-1,1]

?sin x, sin x ? cos x, 下列命题中正确的是( ?cos x, sin x ? cos x,

)

6

B.当且仅当 x=2kπ +

(k∈Z)时,函数取得最大值 1 2 C.该函数是以 π 为最小正周期的周期函数 D.当且仅当 2kπ +π <x<2kπ + 3.(2005 山东潍坊)已知A.m<-1

?

3? (k∈Z)时,f(x)<0 2

?
6

≤x<

?
3

,cosx=

m ?1 ,则 m 的取值范围是( m ?1
C.m>3

) D.3<m<7+4 3 或

B.3<m≤7+4 3

m<-1 4.(2004 天津,12)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈[0, A.-

?
2

]时,f(x)=sinx,则 f(

5? )的值为( 3

)

3 3 1 1 B. C.D. 2 2 2 2 5.(2006 广东珠海)已知函数 y=2cosx(0≤x≤1 000π )的图像与直线 y=2 围成一个封闭的平 面图形,则这个封闭图形的面积是__________________. 6.(2005 上海,10)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈ [0,2π ] 的图像与直线 y=k 有且只有两个不 同的交点,则 k 的取值范围是______________.

7.根据余弦函数的图像,求满足 cos2x≥ 参考答案: 1.A 画出 y=cosx,x∈[-

1 的 x 的集合. 2

?
6

,

?
12

]的图像,从而得出 y∈[0,1],故选 A.

2.D 画图像可知,值域为[-

? 2 ,1],x=2kπ 或 x=2kπ + 时取最大值,T=2π ,故选 D. 2 2

3.C 由-

?
6

≤x<

?
3

,

1 1 m ?1 <cosx≤1,∴ < ≤1.∴m>3.故选 C. 2 2 m ?1

4.D 由 f(x)的周期为 π 知,f( 由 f(x)是偶函数知 f(又当 x∈[0, ∴f(

5? 2? ? )=f( )=f(- ). 3 3 3
).

?
3

)=f(

?
3

? ]时,f(x)=sinx, 2
?
=
3 . 2

?

3 3 故选 D. 5.2 000π 由图像知 y=2cosx 在 [0,2π ] 上与直线 y=2 围成封闭图形的面积是 2π ×2=4π ∵1 000π ÷2π =500,∴在 0≤x≤1 000π 上所围成的封闭图形的面积 S=4π ×500=2 000π .
6.1<k<3f(x)=sinx+2|sinx|= ?

)=sin

?3 sin x, x ? [0, ? ], 则 k 的取值范围是 1<k<3. ?? sin x, x ? (? ,2? ),

7.解:由余弦函数的图像与性质知

7

-

?
3

+2kπ ≤2x≤

?
3

+2kπ (k∈Z), +kπ (k∈Z).

即-

?
6

+kπ ≤x≤

?
6

∴满足函数 cos2x≥

1 ? ? 的 x 的集合是{x|- +kπ ≤x≤ +kπ }(k∈Z). 2 6 6

8


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