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概率学经典计算题


1. (袋中有红球 6 个, 白球 4 个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽 样. 设事件 A 表示 “第一次取的是红球”, 事件 B 表示 “第二次取的是白 球”, 用 A ,
B

表示下列事件, 并求其概率: 1)两个都是红球; 3)第二次取的是红球.
? 1 3

2)两球中,白

球和红球各有一个; 解:1)
P(AB) ? C6
2 2

................................................(5’)

C 10 C 4C 6 C 10
1 1 2 1 1

2) P ( A B ) ?

?

8 15
2

.....................................................(10)

3) P ( B ) ?

A4 A6 ? A6 A1 0
2

?

3 5

......................................................(15’)

2.(7 分) 某宾馆大楼有 3 部电梯,通过调查,知道某时刻 T,各电梯正在 运行的概率均为 0.8,求:(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率; (2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率.
解: (1) P ? 3 ? 0 . 8 ? 0 . 2 2 ? 0 . 096 。。。。。。。。。。。。。。。(3’) 。。。。。。。。。。。。。。 3 (2) P ? 1 ? 0 . 2 ? 0 . 992 。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。(7’)

3. (8 分)某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,如果每个车间 的次品率分别为 6%,3%,2%,已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产 量的 25%,25% ,50% 。现从全厂产品中任取一件产品,求取到的为次 品的概率。 解:设 A1 , A 2 , A 3 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的”
B

表示“取到的产品为次品” ,则
2 5 % P, A ? ) ( 2 2 5 P 3A ? ( % , ) 5 0 %

P ( A )? 1

P ( B | A1 ) ? 6 % , P ( B | A 2 ) ? 3 % , P ( B | A 3 ) ? 2 %

。。。。。。。。。(3’) 。。。。。。。。

由全概率公式,所求概率为
3

P ( B )?

?
i ?1

P A i P) B ( A i | (

)

? 25% ? 6% ? 25% ? 3% ? 50% ? 2%

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8’) ? 3 . 0 6 %。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

第 1 页 共 5页

4. (8 分) 设随机变量
Y ? sin X

X

在区间 [ 0 , ? ] 上服从均匀分布,求随机变量 .

的概率密度

fY ( y )

解:当 0

? y ? 1 时,

F Y ( y ) ? P { s in X ? y } ? P {0 ? X ? a rc s in y } ? P { ? ? a rc s in y ? X ? ? }

?

?

a rc s in y 0

1

?

dx ?

??

?
? a rc s in y

1

?

dx ?

2

?

a c r s in y

; ;

????? (3’);

当y 当y

? 0

时, F Y ( y )

? P { s in X ? y } ? 0

F ? 1 时, Y ( y ) ? P { s in X ? y } ? 1



????? (5’); ????? (8’);

于是,

2 ? , 0 ? x ? 1; ? 2 fY ( y ) ? ? ? 1 ? y ? 其它. ? 0 ,

1. (12 分) 设 ( X , Y ) 的联合分布律为
Y
1 X 2

3
0 . 12
A

1
2

0 . 18
0 . 12
Y

0 .3
0 .2

(1) 求 A ;(2) 求 X ,

的边缘分布律; (3) 问 X 与 Y 是否相互独立?
? 0 . 2 ) ? 0 . 08

解:(1) A ? 1 ? ( 0 . 18 ? 0 . 3 ? 0 . 12 ? 0 . 12 (4’) (2) X 的边缘分布律为 1 2 X p 0.6 0.4 Y 的边缘分布律为 1 2 Y p 0.3 0.5

。。。。。。。。 。。。。。。。。

3 0.2

(3) 直 接 验 算 可 知

第 2 页 共 5页

P ( X ? a , Y ? b ) ? P ( X ? a ) P (Y ? b )

因此 X 与 Y 相互独立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。(12’) 2. (10 分) 设随机变量 X 具有分布函数
? 0, ? 3 F (x) ? ?x , ? 1, ? x ? 0 0 ? x ?1 x ?1
f (x)

求: (1) P ( ? 1 ? 解: (1) (2) (3)

X ?

1 2

) ;(2) X
1 2 ) ? F( 1 2

的概率密度函数
) ? F ( ? 1) ? 1 8

;(3) 数学期望 E ( X ) .

P (?1 ? X ?
2

。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 (3’)

?3 x , f (x) ? ? ? 0,
E(X ) ?

0 ? x ?1 其它

。。。。。。。。。。。。。。。。。 (6’) 。。。。。。。。。。。。。。。。。
1

?

?? ??

xf ( x ) dx ?

?

3 x dx ?
3

3 4

。。。。。。。。。。。。 (10’) 。。。。。。。。。。。。

0

3. (10 分) 在人寿保险公司里有 3000 个同龄的人参加人寿保险. 在 1 年内 每人的死亡率为 0.1%,参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元, 死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元. 试用中心极限定理求保险公司 亏本的概率. 解:设 1 年内的死亡人数为 X ,则 。。。。。。。。。。。 X ~ B ( n , p ) ,n ? 3000 , p ? 0 . 001 。。。。。。。。。。。。(2’)
Y 由棣莫弗-拉普拉斯定理, ? X ? np n p (1 ? p )

近似服从 N ( 0 ,1) 。。。。。。 (4’) 。。。。。。

所求概率为

P ( 2 0 0 0X ? 3 0 0 0 0 。。。。。。。。。。。。。。。。。 ) 。。。。。。。。。。。。。。。。 (6’)

? P ( X ? 15 ) ? P (
? 1 ? ?( 6 . 9 )?

X ? np np (1 ? p )

?

15 ? 3 3 ? 0 . 999

)

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (10’) 0

第 3 页 共 5页


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