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2017高考真题集合与函数解析


打造全国高考数学培训第一品牌

前言
金牌数学简介:榆林金牌数学由马蓉名师工作室创始人、高中数学金牌名 师马蓉老师与高中数学金牌名师张磊、周飞老师联合创办,通过强强合作,资 源整合旨在将金牌数学鼎力打造成全国高考数学培训第一品牌。三位始人均为 高中数学实力派资深教学专家,经过十多年的研究和实践总结出一套最适合学生 学习的教学体系和方法---金牌数学“七步教学法” 。同时,汇聚了物理、化学、 英语等学科几十位教学精英,并将“七步教学法”精准应用至其他学科。

金牌数学教研团队:金牌数学教研团队由周飞、张磊、马蓉等几十位资深 教学专家组成,以高中数学培优为特色,主要从事数学教研产品研发,辅导资 料研发出版等核心工作。 本套试卷主要以 2017 年全国各省高考数学真题为基准,把各省真题进行 了分类汇总,以模块化的解析呈现在学生面前,解析内容荟萃了全国高考各省 的真题,把真题进行了分类、分模块汇编,使高三学子直观、系统的看到每一 个知识点的考查应用,特别是金牌数学名师点睛更是名师们根据多年的一线教 学经验,结合学生们的实际学习情况,分享了自己的解题思路和观点,是给孩 子们最好的解答和忠告。金牌数学教研团队将以此为基础,进行不断地学习和 创新,今后将给各位莘莘学子们提供更多的优质学习资源和学习方法,您们孩 子的进步是我们最大动力。 在此,金牌数学团队祝愿同学们在高中数学的学习中不断进步,并能在高 考中金榜题名。
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金牌数学名师高考真题解析一 集合与函数

1.【2017 课表 1,文 1】已知集合 A= ?x|x ? 2? ,B= ?x|3 ? 2 x ? 0? ,则
3? ? A.A ? B= ? x|x ? ? 2? ? 3? ? C.A ? B ? ? x|x ? ? 2? ?

B.A ? B ? ? D.A ? B=R

【答案】A 【解析】

【考点】集合运算. 【金牌数学名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图 处理. 2.【2017 课标 I I,文 1】设集合 A ? {1, 2,3}, B ? {2,3, 4} 则 A ? B ?

, 2, 3, 4? A. ?1
【答案】A

, 2, 3? B. ?1

C.

3, 4? ?2,

, 3, 4? D. ?1

【解析】由题意 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,故选 A. 【考点】集合运算 【金牌数学名师点睛】集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合 是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. 3.【2017 课标 3,文 1】已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A ? B 中元素的个数为( A.1 【答案】B 【解析】由题意可得: A ? B ? ?2, 4? , A ? B 中元素的个数为 2,所以选 B. 【考点】集合运算 【金牌数学名师点睛】集合的基本运算的关注点 B .2 C.3 D.4 )

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(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. 4.【2017 天 津,文 1】设集合 A ? {1, 2,6}, B ? {2, 4}, C ? {1, 2,3, 4} ,则 ( A ? B) ? C ? (A) {2} (B) {1, 2, 4} (C) {1, 2, 4,6} (D) {1, 2,3, 4,6} 【答案】 B 【解析】 试题分析:由题意可得: A ? B ? ?1,2,4,6? ,?? A ? B ? ? C ? ?1,2,4? .本题选择 B 选项. 【考点】集合的运算 【金牌数学名师点睛】集合分为有限集合和无限集合,若集合个数比较少时可以用列举法表示,若集合是 无限集合就用描述法表示,注意代表元素是什么,集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算, 常常借助数轴或韦恩图进行处理. 5.【2017 北京,文 1】已知 U ? R ,集合 A ? {x | x ? ?2或x ? 2} ,则 ? UA? (A) (?2, 2) (C) [?2, 2] 【答案】C 【解析】 (B) (??, ?2) ? (2, ??) (D) (??, ?2] ? [2, ??)

【考点】集合的运算 【金牌数学名师点睛】集合分为有限集合和无限集合,若集合个数比较少时可以用列举法表示,若集合是 无限集合就用描述法表示,注意代表元素是什么,集合的交、并、补运算问题,应先把集 合化简再计算, 常常借助数轴或韦恩图进行处理. 6.【2017 浙江,1】已知 P ? {x | ?1 ? x ? 1} , Q ? {0 ? x ? 2} ,则 P ? Q ? A. (?1,2) 【答案】A 【解析】 B. (0,1) C. (?1,0) D. (1,2)

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试题分析:利用数轴,取 P, Q 所有元素,得 P ? Q ? (?1,2) . 【考点】集合运算 【金牌数学名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图 处理. 7 .【2017 天津,文 2】设 x ? R ,则“ 2 ? x ? 0 ”是“ | x ? 1|? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 【答案】 B 【解析】 试题分析: 2 ? x ? 0 ,则 x ? 2 , x ?1 ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ? 1,0 ? x ? 2 , x 0 ? x ? 2 ? x x ? 2 据此可知:“ 2 ? x ? 0 ”是“ x ?1 ? 1 ”的的必要的必要不充分条件,本题选择 B 选项. 【考点】充分必要条件 【金牌数学名师点睛】判断充分必要条件的的方法:1.根据定义,若 p ? q, q ?? p ,那么 p 是 q 的充分 不必要条件,同时 q 是 p 的必要不充分条件,若 p ? q ,那互为充要条件,若 p ??? q ,那就是既 不充 分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若 p : x ? A, q : x ? B ,若 A ? B ,那么
?

(D)既不充分也不必要条件

?

? ?

?



p 是 q 的充分必要条件,同时 q 是 p 的必要不充分条件,若 A ? B ,互为充要条件,若没有包含关系,就
是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将 p 是 q 条件的判断, 转化为 ? q 是 ? p 条件的判断.

N ? x x?2 , 8.【2017 山东,文 1】设集合 M ? x x ? 1 ? 1 , 则M ?N ?
A. ? ?1,1? 【答案】C 【解析】 B.

?

?

?

?

? ?1, 2?

C.

? 0, 2 ?

D. ?1, 2 ?

【考点】 不等式的解法,集合的运算 【金牌数学名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助 数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能

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否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图. 9.【2017 山东,文 5】已知命题 p: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ;命题 q:若 a 2 ? b 2 ,则 a<b.下列命题为真命题的 是 A. p ? q 【答案】B 【解析】 试题分析: 由 x ? 0 时 x2 ? x ? 1 ? 0 成立知 p 是真命题,由 12 ? (?2)2 ,1 ? ?2 可知 q 是假命题,所以 p ? ?q 是 真命题,故选 B. 【考点】命题真假的判断 【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.根据“原命 题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判 断其等价命题的真假. 10.【2017 课标 1,文 8】函数 y ? B. p ? ?q C. ? p ? q D. ? p ? ? q

sin2 x 的部分图像大致为 1 ? cosx

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

【考点】函数图象

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【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域,从图象的对称性,分析函数的奇偶性,根据函数的奇偶性排 除部分选择支, 从图象的最高点、 最低点, 分析函数的最值、 极值利用特值检验, 较难的需要研究单调性、 极值等,从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等确定图象. 11.【2017 课标 3,文 7】函数 y ? 1 ? x ?

sin x 的部分图像大致 为( x2



A

B

D.

C 【答案】D

D

【考点】函数图像 【金牌数学名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及 其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与 条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转

“f ” 化,单调性可实现去 ,即将函数值的大小转化自变量大小关系
12.【2017 浙江,5】若函数 f(x)=x2+ ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则 M – m A.与 a 有关,且与 b 有关 C.与 a 无关,且与 b 无关 【答案】B 【解析】 B.与 a 有关,但与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关

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a a2 试题分析:因为最值在 f (0) ? b, f (1) ? 1 ? a ? b, f (? ) ? b ? 中取,所以最值之差一定与 b 无关,选 2 4
B. 【考点】二次函数的最值 【金牌数学名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题,通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间 的关系,结合图象,当函数图象开口向上,且对称轴在区间的左边,则函数在所给区间内单调递增;若对 称轴在区间的右边,则函数在所给区间内单调递减;若对称轴在区间内,则函数图象顶点的纵坐标为最小 值,区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值.
x x 13.【2017 北京,文 5】已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x )

1 3

(A)是偶函数,且在 R 上是增函数 (B)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是偶函数,且在 R 上是减函数 (D)是奇函数,且在 R 上是增函数 【答案】B 【解析】
[来源:]

【考点】函数的性质 【金牌数学名师点睛】本题属于基础题型,根据奇偶性的定义 f ? ? x ? 与 f ? x ? 的关系就可以判断函数的奇 偶性,判断函数单调性的方法,1.平时学习过的基本初等函数的单调性;2.函数图象判断函数的单调性; 3.函数的四则运算判断,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,判断函数的单调性;4.导数判 断函数的单调性. 14.【2017 北京,文 8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质 的原子总数 N 约为 10 .则下列各数中与 (参考数据:lg3≈0.48)
33 (A)10 73 (C)10 53 (B)10 93 (D)10 80

M 最接近的是 N

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【答案】D 【解析】 试题分析:设

M 3361 3361 ? x ? 80 ,两边取对数, lg x ? lg 80 ? lg 3361 ? lg1080 ? 361? lg 3 ? 80 ? 93.28 , N 10 10
M 最接近 1093 ,故选 D. N

所以 x ? 1093.28 ,即 【考点】对数运算

【金牌数学名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算 关系,以及指数与对数运算的关系,难点是 x ?

3361 时,两边取对数,对数运算公式包含 1080
M n , loga M ? n loga M . N

loga M ? loga N ? loga MN , log a M ? log a N ? log a
15.【2017 山东,文 9】设 f ? x ? ? ? A. 2 【答案】C 【解析】 B. 4

? ? x ,0 ? x ? 1 ?1? ,若 f ? a ? ? f ? a ?1? ,则 f ? ? ? ?a? ? ? 2 ? x ? 1? , x ? 1
D. 8

C. 6

【考点】分段函数求值 【金牌数学名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解;当 给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要 注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.
0.8 16. 【2017 天津, 文 6】 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.若 a ? ? f (log 2 ), b ? f (log 2 4.1), c ? f (2 ) ,

1 5

则 a, b, c 的大小关系为 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b 【答案】 C 【解析】

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试题分析:由题意: a ? f ? ? log 2

? ?

1? 0.8 ? ? f ? log 2 5? ,且: log2 5 ? log2 4.1 ? 2,1 ? 2 ? 2 , 5?

0.8 据此: log2 5 ? log2 4.1 ? 20.8 ,结合函数的单调性有: f ? log 2 5 ? ? f ? log 2 4.1? ? f 2 ,

? ?

即 a ? b ? c, c ? b ? a ,本题选择 C 选项. 【考点】1.指数,对数;2.函数性质的应用 【金牌数学名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇 函数的性质和对数运算法则, a ? f ? log2 5? ,再比较 log2 5,log2 4.1, 20.8 比较大小. 17.【2017 课标 II,文 8】函数 f ( x) ? ln( x2 ? 2x ? 8) 的单调递增区间是 A. (??, ?2) B. (??, ?1) 【答案】D 【解析】函数有意义,则: x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得: x ? ?2 或 x ? 4 ,结合二次函数的单调性、对数函 数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 ? 4, ??? . 故选 D. 【考点】复合函数单调区间 【金牌数学名师点睛】求函数单调区间的常用方法:(1)定义法和导数法,通过解相应不等式得单调区间; (2)图象法,由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集:二是图象不 连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接;(3)利用函数单调性的基本性质,尤其是 复合函数“同增异减”的原则,此时需先确定函数的单调性.
[来源:Z_xx_k.Com] [来源:学&科&网]

C. (1, ??)

D. (4, ??)

18.【2017 课标 1,文 9】已知函数 f (x) ? lnx ? ln(2 ? x) ,则 A. f (x) 在(0,2)单调递增 C.y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称 【答案】C 【解析】
[来源:Zxxk.Com]

B. f (x) 在(0,2)单调递减 D.y= f (x) 的图像关于点(1,0)对称

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【考点】函数性质 【金牌数学名师点睛】如果函数 f ( x ) , ?x ? D ,满足 ?x ? D ,恒有 f (a ? x) ? f (b ? x) ,那么函数的

a?b ;如果函数 f ( x ) , ?x ? D ,满足 ?x ? D ,恒有 f (a ? x) ? ? f (b ? x) ,那么函 2 a?b , 0) . 数 f ( x ) 的图象有对称中心 ( 2
图象有对称轴 x ? 19.【2017 山东,文 10】若函数 e f ? x ? (e=2.71828 ? ,是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上单调递增,
x

则称函数 f ? x ? 具有 M 性质,下列函数中具有 M 性质的是 A . f ? x? ? 2 【答案】A
x ?x ?x x ?x x ?x 【解析】 由 A,令 g ( x) ? e ? 2 , g '( x) ? e (2 ? 2 ln ) ? e 2 (1 ? ln ) ? 0 ,则 g ( x) 在 R 上单调递增,

?x

B. f ? x ? ? x

2

C.

f ? x ? ? 3? x

D. f ? x ? ? cos x

1 2

1 2

f ( x) 具有 M 性质,故选 A.
【考点】导数的应用 【金牌数学名师点睛】 (1)确定函数单调区间的步骤: ① 确定函数 f(x)的定义域; ②求 f′(x); ③解不等式 f′(x)>0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)根据函数单调性确定参数范围的方法:①利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b) 是相应单调区间的子集.②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解.

?| x | ?2, x ? 1, x ? 20. 【2017 天津, 文 8】 已知函数 f ( x) ? ? 设a?R , 若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| ? a | 在 R 上 2 2 x ? , x ? 1. ? x ?
恒成立,则 a 的取值范围是 (A) [?2, 2] (B) [?2 3, 2] (C) [?2, 2 3] (D) [?2 3, 2 3] 【答案】 A 【解析】

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零点是 x=—2a>0 零点左边 g(x)=

【考点】1.分段函数;2.函数图形的应用;3.不等式恒成立. 【金牌数学名师点睛】一般不等式恒成立求参数 1.可以选择参变分离的方法,转化为求函数最值的问题; 2.也可以画出两边的函数图象,根据临界值求参数取值范围;3.也可转化为 F ? x ? ? 0 的问题,转化讨论求 函数的最值求参数的取值范围. 21.【2017 课标 II,文 14】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? 2 x3 ? x2 , 则 f (2) ? ________. 【答案】12

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【金牌数学名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间 上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的值域或解析式.(2)已知函数的奇偶性 求参数,一般采用待定系数法求解,根据 f ( x) ? f (? x) ? 0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或 方程(组),进而得出参数的值. 22.【2017 北京,文 13】能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为______________________________. 【答案】-1,-2,-3(答案不唯一) 【解析】 试题分析: ?1 ? ?2 ? ?3, ?1 ? ? ?2? ? ?3 ? ?3 相矛盾,所以验证是假命题. 【考点】不等式的性质 【金牌数学名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式 举反例进行验证,答案不唯一. 23.【2017 江苏,1】已知集合 A ? {1, 2} , B ? {a, a2 ? 3} ,若 A ? B ? {1} 则实数 a 的值为 【答案】1
2 2 【解析】由题意 1 ? B ,显然 a ? 3 ? 3 ,所以 a ? 1 ,此时 a ? 3 ? 4 ,满足题意,故答案为 1.



.

【考点】元素的互异性 【金牌数学名师点睛】(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其 他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A ? B ? ?, A ? B 等集合问题时, 往往忽略空集的情况, 一定先考虑 ? 是否成立, 以防漏解. 24.【2017 北京,文 11】已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x+y=1,则 x 2 ? y 2 的取值范围是__________. 【答案】 ? ,1? 【解析】

?1 ? ?2 ?

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【考点】二次函数 【金牌数学名师点睛】本题考查了转化与化归的能力,除了象本题的方法,转化为二次函数求取值范围, 也可以转 化为几何关系求取值范围,当 x ? 0, y ? 0 , x ? y ? 1 表示线段,那么 x 2 ? y 2 的几何意义就是线 段上的点到原点距离的平方,这样会更加简单.
? x ? 1,x ? 0, 1 25. 【2017 课标 3, 文 16】 设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范围是__________. 2 ?2 ,x ? 0,

【答案】 (? , ??)

1 4

1 1 1 1 1 x x? 时 x 恒成立,即 x ? ;当 0 ? x ? 时 2 ? x ? ? 1 ? 1 恒成 2 2 ? 2 ? 1 2 2 2 2 1 1 1 1 立,即 0 ? x ? ;当 x ? 0 时 x ? 1 ? x ? ? 1 ? 1 ? x ? ? ,即 ? ? x ? 0 ;综上 x 的取值范围是 2 2 4 4 1 (? , ??) . 4
【解析】由题意得: 当 x ? 【考点】分段函数解不等式 【金牌数学名师点睛】 分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对 应的函数解析式是 什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是 分段函数结合点处函数值. 26.【2017 山东,文 14】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x ? [?3,0] 时, f ( x) ? 6 , 则 f(919)= 【答案】 6 【解析】 .
?x

【考点】函数奇偶性与周期性 【金牌数学名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法 ①已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. ②已知函数的奇偶性求解析式

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将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组), 从而得到 f(x)的解析式. ③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程 求解. ④应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 27.【2017 江苏,1】已知集合 A ? {1, 2} , B ? {a, a2 ? 3} ,若 A ? B ? {1} 则实数 a 的值为 【答案】1
2 2 【解析】由题意 1 ? B ,显然 a ? 3 ? 3 ,所以 a ? 1 ,此时 a ? 3 ? 4 ,满足题意,故答案为 1.



.

【考点】元素的互异性 【金牌数学名师点睛】(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其 他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
[来源:ZXXK]

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A ? B ? ?, A ? B 等集合问题时, 往往忽略空集的情况, 一定先考虑 ? 是否成立, 以防漏解. 28.【2017 江苏,11】已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x ? e x ? 则实数 a 的取值范围是 【答案】 [ ?1, ] ▲ .
1 , 其中 e 是自然对数的底数. 若 f (a ? 1) ? f (2a2 ) ≤ 0 , x e

1 2

【考点】利用函数性质解不等式 【金牌数学名师点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 f ( g ( x)) ? f (h( x)) 的形式,

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然后根据函数的单调性去掉“ f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g ( x) 与 h( x) 的取值应在外层函 数的定义域内

? x2 , x ? D, ? 29.【2017 江苏,14】设 f ( x) 是定义在 R 且周期为 1 的函数,在区间 [0,1) 上, f ( x) ? ? 其中集合 ? ? x, x ? D,
n ?1 ? ? D ? ?x x ? , n ? N*? ,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 n ? ?



.

【答案】8 【解析】由于 f ( x) ? [0,1) ,则需考虑 1 ? x ? 10 的情况 在此范围内, x ? Q 且 x ? Z 时,设 x ?

q , p, q ? N* , p ? 2 ,且 p, q 互质 p
n , m, n ? N* , m ? 2 ,且 m, n 互质 m

若 lg x ? Q ,则由 lg x ? (0,1) ,可设 lg x ? 因此 10 ?
n m

q q m n ,则 10 ? ( ) ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 lg x ? Q p p

因此方程解的个数为 8 个.

【考点】函数与方程 【金牌数学名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的 单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性, 分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.

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