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2013届高考文科数学第一轮复习测试题41


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命题要点:?1?等差数列与等比数列的综合应用?′11 年 4 考,′10 年 6 考?.?2?等 差、等比数列与其他知识的交汇?′11 年 3 考,′10 年 4 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) a9+a10 1 1.在等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1,2a3,2a2 成等差数列,则 = a7+a8 ( A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 ). 满分:60 分)

解析 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),则由题意得 a3=a1+2a2,所以 a1q2= a1+2a1q, 所以 q2-2q-1=0, 解得 q=1± 2.又 q>0, 因此有 q=1+ 2, 故 q2?a7+a8? 2 = =q =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 答案 C 2.(2011· 揭阳模拟)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列 {bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为( A. 2 1 B.4 C.2 D.2 ). a9+a10 a7+a8

解析 设数列{an}的公差为 d(d≠0),由 a2=a1a7 得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得 3 a1=2d, a3 a1+2d 2a1 故数列{bn}的公比 q=a = a = a =2.
1 1 1

答案 C 3.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂 为 2 个, 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至 少需要( A.6 秒钟 ). B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟

解析 设至少需 n 秒钟,则 1+21+22+?+2n-1≥100,
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∴2n-1≥100,∴n≥7. 答案 B
2 4.(2012· 郑州模拟)已知各项均不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a7+2a11=0,

数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 B.4 C.8 D.16

).

解析 因为{an}为等差数列,所以 a3+a11=2a7,所以已知等式可化为 4a7-a2= 7
2 0,解得 a7=4 或 a7=0(舍去),又{bn}为等比数列,所以 b6b8=b7=a2=16. 7

答案 D 5.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成 等比数列,那么 x+y+z 的值为( ).

2 1

4 2 x y z

A.1 C.3

B.2 D.4

1 解析 由题知表格中第三列中的数成首项为 4,公比为2的等比数列,故有 x=1. 5 1 根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5,2,故第四列的公比为2,所 ?1? 5 ?1? 3 以 y=5×?2?3=8,同理 z=6×?2?4=8,故 x+y+z=2. ? ? ? ? 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 金华模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1,5,17 项顺次成等比 数列,则这个等比数列的公比是________.
2 解析 由题知 a2=a1·17,即 a5=(a5-4d)· 5+12d), a (a 5

∴8a5d-48d2=0,∵d≠0,∴a5=6d, a5 a5 6d ∴公比 q=a = = =3. 1 a5-4d 6d-4d
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答案 3 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列{an} 的公比为________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q(q≠0), 由 4S2=S1+3S3,得 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2), 1 即 3q2-q=0,又 q≠0,∴q=3. 1 答案 3 8.(2012· 安庆模拟)设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 解析 由 x2-x<2nx(n∈N*),得 0<x<2n+1,因此知 an=2n. 100?2+200? ∴S100= =10 100. 2 答案 10 100 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 中 S7 的值最大,且|a7|<|a8|,求使 Sn >0 成立的最大正整数 n. 解 ∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn 中 S7 的值最大, ∴a7≥0,a8≤0.于是由|a7|<|a8|,得 a7<-a8, 即 a7+a8<0. 14?a1+a14? ∴S14= =7(a1+a14)=7(a7+a8)<0, 2 13?a1+a13? 13· 7 2a S13= = 2 =13a7≥0. 2 若 a7=0,则必有 a6>0, 12?a1+a12? ∴S12= =6(a6+a7)=6a6>0, 2 此时使 Sn>0 成立的最大正整数 n=12. 若 a7≠0,则 S13=13a7>0,此时使 Sn>0 成立的最大正整数 n=13. 10.(12 分)(2011· 青岛模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a2=3,S6 =36.
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(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列且满足 b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an·n}的前 n 项 b 和为 Tn,求 Tn. 解 (1)∵数列{an}是等差数列,∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36.∵a2 =3,∴a5

=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2. 又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1. (2)由等比数列{bn}满足 b1+b2=3,b4+b5=24, b4+b5 3 得 =q =8,∴q=2.∵b1+b2=3,∴b1+b1q=3, b1+b2 ∴b1=1,bn=2n-1,∴an·n=(2n-1)·n-1. b 2 ∴Tn =1×1+3×2+5×22 +?+(2n-3)·n - 2 +(2n-1)·n - 1 ,则 2Tn =1×2+ 2 2 3×22+5×23+?+(2n-3)·n-1+(2n-1)·n, 2 2 两式相减,得(1-2)Tn=1×1+2×2+2×22+?+2·n-2+2·n-1-(2n-1)·n,即 2 2 2 -Tn =1+2(21 +22 +?+2n - 1)-(2n-1)·n =1+2(2n -2)-(2n-1)·n =(3- 2 2 2n)·n-3.∴Tn=(2n-3)·n+3. 2 2 B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知{an}是等差数列,a1=15,S5=55,则过点 P(3,a2),Q(4,a4)的直线的 斜率为( 1 A.4 B.4 ). 1 C.-4 D.-4 满分:40 分)

5×4 a4-a2 解析 S5=5a1+ 2 d,所以 5×15+10d=55,即 d=-2.所以 kPQ= =2d 4-3 =-4. 答案 C nπ nπ? ? 2.数列{an}的通项 an=n2?cos2 3 -sin2 3 ?,其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( ? ? A.470 B.490 C.495 D.510 2nπ 2πx 解析 注意到 an=n2cos 3 ,且函数 y=cos 3 的最小正周期是 3,因此当 n 是正
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).

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1 1 7 整数时,an+an+1+an+2=-2n2-2(n+1)2+(n+2)2=3n+2,其中 n=1,4,7,?, S30=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+?+(a28+a29+a30) 7? ? 7? 7? ? ? =?3×1+2?+?3×4+2?+?+?3×28+2? ? ? ? ? ? ? =3× 10×?1+28? 7 +2×10=470. 2

答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(★)对正整数 n,若曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为
? an ? ? ? an,则数列?n+1?的前 n 项和为________. ? ? ? ?

解析 (等价转化法)由题意,得 y′=nxn-1-(n+1)xn,故曲线 y=xn(1-x)在 x= 2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为 y+
? an ? ? ? an 2n=k(x-2).令 x=0 得 an=(n+1)2n,即 =2n,则数列?n+1?的前 n 项和为 n+1 ? ? ? ?

2+22+23+?+2n=2n+1-2. 答案 2n+1-2

错误!
2 4.(2012· 南通模拟)在数列{an}中,若 a2-an+1=p(n≥1,n∈N*,p 为常数),则 n

称{an}为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断:
2 ①若{an}是等方差数列,则{an}是等差数列;

②{(-1)n}是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列. 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上).
2 解析 ①正确,因为 a2-an+1=p,所以 a2+1-a2=-p,于是数列{a2}为等差数 n n n n

列.②正确,因为(-1)2n-(-1)2(n+1)=0 为常数,于是数列{(-1)n}为等方差数 列.③正确,因为 a2 -a2 +k=(a2 -a2 +1)+(a2 +1-a2 +2)+(a2 +2-a2 +3)+?+ kn kn kn kn kn kn kn kn
2 (akn+k-1-a2 +k)=kp,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列. kn

答案 ①②③ 三、解答题(共 22 分)
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5.(10 分)某商场因管理不善及场内设施陈旧,致使年底结算亏损,决定从今年 开始投入资金进行整修,计划第一个月投入 80 万元,以后每月投入将比上月减 1 1 少5.第一个月的经营收入约为 40 万元,预计以后每个月收入会比上个月增加4. (1)设 n 个月内的总投入为 an 万元,总收入为 bn 万元,写出 an,bn; (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈. ?4? 1-?5?n ? ? ?4? ?4? ?4? 解 (1)由题意,得 an=80+80×?5?+80×?5?2+?+80×?5?n-1=80× 4 = ? ? ? ? ? ? 1-5 ? ?4? ? 400?1-?5?n?. ? ? ?? ?5? ?5? ?5? bn=40+40×?4?+40×?4?2+?+40×?4?n-1 ? ? ? ? ? ? ?5? 1-?4?n ? ? ??5?n ? ?? ? ? =40× 5 =160??4? -1?. 1-4 (2)由题意,令 an<bn, ? ?4? ? ??5? ? ∴400?1-?5?n?<160??4?n-1?. ? ? ?? ?? ? ? 1? ?5? ? 设 t=?4?n,则 5?1- t ?<2(t-1),即 2t2-7t+5>0. ? ? ? ? 5 ?5? 5 ∵t>1,∴解得 t>2,即?4?n>2. ? ? ?5? 5 ?125? 5 取 n=4,则?4?4=2×?128?<2; ? ? ? ? ?5? 5 ?625? 5 取 n=5,则?4?5=2×?512?>2. ? ? ? ? ∴第 5 月开始扭亏为盈. 6.(12 分)在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2-x2=1 上, 1 数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an·n,求证:cn+1<cn. b
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(1)解

由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1,∴数列{an}是一个以 2 为首

项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. (2)证明 1 ∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,

1 ∴Tn=-2bn+1,① 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2),② 1 1 ①②两式相减得 bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3 1 1 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1. 1 2 令 n=1,得 b1=-2b1+1,∴b1=3, 2 1 ∴{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列. (3)证明 2 ?1? 2 ? 由(2)可知 bn=3·3?n-1=3n. ? ?

2 ∴cn=an·n=(n+1)·n, b 3 2 2 ∴cn+1-cn=(n+2)·n+1-(n+1)·n 3 3 2 2 = n+1[(n+2)-3(n+1)]= n+1(-2n-1)<0, 3 3 ∴cn+1<cn.

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