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化归——数学思想方法的灵魂_图文

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4 6 ?  

数 学教 育研 究 

2 0 1 2年 第 2期 

化 归—— 数 学 思想 方法 的 灵魂 
邓 新 如  ( 江西省赣州市赣县中学 3 4 1 1 0 0 )  
化归思想是 中学数 学最 基本 的 思想方 法之 一 , 是  中学 数 学 的 一 大 难 点 和 亮 点 , 数 学 中 很 多 问题 的解 决  都离不开化归 : 数 形 结 合 思 想 体 现 了 数 于 形 的 相 互 转  化, 函数 方 程 思 想 体 现 了 函 数 、 方程 、 不 等 式 间 的 相 互  转化 , 分 类讨 论 思 想 体 现 了 局 部 与 整 体 的 相 互 转 化 . 那  么, 如 何 在 解 题 中 应 用 化 归 思 想 ? 通 过 下 面 例 题 我 们  来 简要 的分 析 、 体会一下化归思想吧.  
f+ 2> 0,  

所以 厂 ( z) 一( b c 一1 ) z一 6 一c +2 >0, z∈( 一1 , 1 )   因为 厂 ( 一1 ) =一( k一1 ) 一6 ~c +2 —4一( 6 +1 ) ( C   +1 ), 又 因为 l bl <1 ,   <1 , 所以 O <6 +1 < 2, O <c +1   < 2, 所以O <( 6 +1 ) ( f +1 ) < 2, 所以 厂 ( 一1 ) >0  

同理 厂 ( 1 ) 一( 6 c 一1 ) 一6 一C +2 一( 6 —1 ) ( C 一1 ) >  0 , 所以, ( z ) 在( 一1 , 1 ) 上恒大于 0 , 所以(   一1 ) n 一6 一 
c +2 > 0, 即 a b c +2 > a+ b 十c .  

1 特 殊 和 一 般 转 化 

例l 设z t ,   z , …,   都是正数, 求证:   A  7+ 3   7 3  ̄   +  
2  


4 数 与 形 的 转 化 
例 5   求 函 数 f( z )一   z   一3   一6 z 十1 3~  

+  ≥ zl + z2 + … +z   .  

/ x —z   +1 的 最 大值 .  
解 


解 析 :本题 是 一 多 元 不 等 式 , 从 整 体 上 考 虑 一 时 难  以人 手 , 现行教材只学过均值不 等式 ; 对 于 三 个 以 上 的  式子不等式关 系未 作介 绍 , 能 否 从 学 过 的 不 等 式 人 手  呢 ?事 实 上 :   堕 十z   ≥2 z -  堕 +z   ≥2 z  


用 待 定 系 数 法 、配 方 为

f( z) 一  

/ ( x-3 )   +( z 。 一2 ) 。 一 ̄ / z 。 +( 7 3   一1 ) 。 转 化 为 几 何 
) 到 点 P( 3 , 2 ) 和 到 点 Q( 0 , 1 ) 距 离之 差. 由l MP l —  

问题 . 几 何 意 义 是 抛 物 线  —z 。上动 点 M ( x , z 。 )   (  ,  

, …



墨 +z   ≥2 z   各 


l MQl ≤l P Ql 解得: f ( 7 3 ) 的最 大 值 为 l P QI 一 ̄ / 1 O .  
还 可 以考 虑 用 向量 的 知 识 解 本 题 : 可考 虑 l Ⅱl —  l   b l ≤l n 士b 1 ≤l 口 I +I   b l   ① 

7 2 3  

7 3 [ ; 3  

1  

式 相 加 即 得 

f 堕+ 堕+ …+ 堕1 + (   l 十 z 2 + … + 7 3 n ) ≥ 2 z   +  
\3 72   x 3   z 1 /  

厂 ( z ) 一 ̄ / ( 7 3 -3 )   +( z   一2 )  一  ̄ / z   +( z   一1 )  ,  
令 Y—z  可 知 

2 x2+ … + 2 x 

即兰   + 堕 + … +笠 ≥ z   +z   +…+z  
7 2 3   7 3 3   Z 1  

l  n  l 一  

( z 一3 )   +( z   一2 )   和

l  b  l 一  

 ̄ /   +( z   一1 )  , 可 知 
n =( - z 一3 ,  一2 ) 和 b 一( z , Y一 1 ) , 由① 式 可得 :   , ’ ( z ) ≤l 口 ±b l  
n 士 一 ( 3 一 z。 2 -y ) +( 7, 3  一1 ) =( 3, 1 )  

2 正 与 反 的 互 化 
例 2   已知 抛 物 线  =z   +4 a x +3 , Y=   +( 口 一  1 ) z +口   ,  =z   +2 口 z一2 口中 至 少 有 一 条 与 z 轴 相 交 ,   求 实 数 n的 取 值 范 围.  
r △1 =( 4 n ) 。 一4 ( 3 —4 a ) <O  
  l 々 

{ 口 ±b I = ̄ / 3 。 +1   4- i - 6 , 当且仅 当 n与 b共线 
同 向 时 等 号成 立 .  

所以  厂 ( z ) 的最大值是 4- f 6 .  
点评 :   l 1   z   l 一1   z z     l I ≤I   +  z   l ≤l   I +I   z { , 当且  仅 当共 线 同 向 时 取 得 最 大值 , 反向时取得最小值.  

解 由   【 △ 2 一( a -1 )   一 4 a   <o   解 得一昔<口 <  
△。 =( 2 n) z +8 口 <o  


1 , 再 求 它 的补 集 , 则 n的 取 值 范 围 是 :  
n ≤ 一÷ 或 n ≥ 一1  

5 相等 与不等 的转 化 
例 6 若正数 a 、 b 满足 a b —n +b +3 , 求n 6的 取 值 
范围.  

3 变 量 与 常 量 的 转 化 
例 3 对于满足 I P I ≤ 2的所 有 实 数 P , 求 使 不 等 式  z+幻: +1 >2 z + P恒 成 立 的 z取 值 范 围.   解  原 不 等 式 化 为 ( z一 1 ) P+ ( z+ 1 ) 。 >0 , 令  , (  ) 一( z 一1 ) P+ ( z +1 )   , 它 是关 于 P的一 次 函数 ,   定义 域 为 [ 一 2 ,2 ] . 由 一 次 函 数 的 单 调 性 知 
f - 厂 ( 一2 ) 一( z一 1 ) ( z一 3 ) >O   ( I   厂( 2 ) 一( z~ 1 ) ( z+ 1 ) >0  

解 :由均 值 不 等 式 得 : n +6 ≥2  

, 将 不 等 式 转 

化为 : a b =n +6 十3 ≥ 2 ̄ / n 6 +3  

令£ 一 ̄ / n 6 , f >0 . 所以 t   一2 £ 一3 ≥0 , 解得 : £ ≤ 一1  
( 舍去 ) , £ ≥3   所以口 6 ≥9 , 即Ⅱ 6的取 值 范 围是 [ 9 , +o o )  

例7   为使 不 等式 X   +4 z   +4  +1 O z +n  + 6 >  0对 任 意 实 数  、 Y恒 成 立 , 试 求 实数 n 、 b 应 满 足 的 条 
件.   解 :为使 不 等 式 成 立 , 必 须且 只需 z   +4 7 3 y +4 y 。   +l O x +a y +b为 一 个 实 数 的 平 方 加 上 一 个 增 量 t ( £ > 

解得 : z < 一1或 z >3   例 4   已知 l 口l <1 , I b l <1 , l   c l < 1求 证 : a b c +2 > 
n+ 6+ c  

解: 把 n看 作 变 量 , 6 、 c 看作常量 , 有( 6 c 一1 ) n 一6 一 

O ) .  

( 下转 第 4 8页 )  

?  4 8  ?  
— ( 1一 z)  一 z ? (1一 z)( 1一 z)一 1

数 学 教 育 研 究 

2 0 1 2年第 2 期 

?

2 x(1一  

7 巧 用 升 幂 
例9 若O <x <l , 求 函数 y =x   ( 1 一  ) 的 最大 值 .   解 。  O <x <l , . . .1 一   >0 , 故有 y >0 .   由   一X 。 ( 1 一   ) 两边立方 , 有y 。 一z   ( 1 一z   ) 。 ( 均  拆 指数 ) 一z 。? X 。 ( 1 一z 。 ) ( 1 一  ) ( 1 一z 。 ) ( 配 系数) = 

z ) ( I - z , ≤ 专 [  
成立 , 故  ^ ★=   .  

等 


] 3 = 刍 .  
不 等 式 中 的 等 号 

当且 仅 当 2 z 一1 一z , 即 z一   1时

值.  

鲁 (   3  ) ( _ 耋 _   ) ( 1 一  ) ( 1 一  ) ( 1 一  ) ≤ 告   例 7若 o < z < ÷ , 求 函 数  X 2 ( 1 — 3 z ) 的 最 大  [ 号 卅  + 1  + 1  + I - 一 ]   一  

。 .

? . ?o < <  ,. ? .1 —3 z >o .  
J  

当且仅当导一一1 一z 。 , 即z 一÷ 丽时, 不等式  
中 的不 等 号 成 立 , 故Y   =  

. Y— x   (1— 3 x )一 z ? z ? ( 1— 3 x) 一 


4  

3  



) ? ( 号 z ) ( 1 - 3 x )  ̄ 号   毒  ] 。  
. 

8 巧 用 三 角 形 

号成立 , 故  的 最 大 值 是  4 6 巧 妙 换 元 

例 1 0 ̄ : E A A B C, 求 函 数   — s i n  ? s i n 导?   吾 ( ÷ )   一  .   i n 导 的 最 大 值 .   当 且 仅 当 号 - z 一 1 — 3   , 即  百 2 时 , 不 等 式 中 的 等  s 解 ‘ . 。A+B+ C= 1 8 0 。, . ? .一 A  B + C =9 。 。  
则 有 
1 ,  
V 一  

A — B 
 

A+B、  

.  
“ 

C 
一  

1  

∞   —

一 ∞   —  

例 8 若l z l <1 , 求函数 一z   ( 1 +、 / , i _ 二 了 ) 的最 
大值.  

( c 。 s 与  - s i n 导 ) ? s i n   C  1   1 - s i n 等 ) ? s i n  
C/ 1   l I  
I  





设 ̄ / 1 一z   =£ ( o <t ≤1 ) , 则 t   一1 一  , 即z  

一1 一t   , 于 是 

二 !   差 2   :   兰 1 I   2 一 专 ( ÷ )   ÷ 。   × ÷  

一( 1 一t   ) ( 1 +f ) =( 1 一f ) ( 1 +t ) ( 1 +f ) 一÷ ( 2 —  

1  

2  1  ( 1  ≤  (  
成立, 故. ) I A ★ =茜.  

) 。 一  

8‘  

当 且 仅 当A = B = C 一 号时 , 不 等 式 中 的 等 号 成  

当且仅 当 2 —2 t =1 +t , 即f 一÷ 时 , 不等式 中等号 

立 , 此 时 故   t   一 吉 .  
[ 责 任编 校 钱骁 勇]  
一C O   将式①平方得 :   ① 

( 上接 第 4 6页 )  
令X   +4   +4   3 ,   +1 O z +n  +6 一( z +2  +m) 。 + 
t , 即z 。 十4  3 , +4   +1 O z+ 口  + 6  

+4 z   +4   。 +2 ex r +4 my +m 。 +t , 由 多 项 式 恒 

( 号 一 c 。 s 』 9 )   = [ s i n l f s i n a + ( 1 一 c 。   ) c 。 s 口 ] z ≤  
[ s i n 。 卢 十( 1 一C O S 。 J 9 ) ] ( s i n 。 口 +C O S 。 口 ) =2 ( 1 一c o s  ̄ ) 所以  

f I   1 0 =2 m  

等 的 条 件 有 { l   ? b 一 =   m ?   十 ,   t  
I £ > o  
解得 : a一2 O, b 一2 5+ £ >0 . 所以, 当 口= 2 0, 6 >2 5  

( 导 一 c 。   ) 2 — 2 ( 1 - c o s 1 f )。 , C O s 卢 一 丢 )   ≤ o , 所 以  

c 。  一  


i f e ( o ,   ) 所 以 J 9 = 号 代 入 已 知 得   = 詈, 所  

时, 不 等 式  z   +4 z   +4   +1 O z +口   +6 >O恒 成 立 .  

以 a — J 9 一 号  
化归思想是数 学思 想方法 的灵 魂. 也 是 高 考 的 重  要考查对象 , 数 学 中 的各 种 变 换 大 多 离 不 开 化 归 . 灵 活  应用化归思想能令你轻松的学习 , 理解数学.  

6 应用 柯西 不等 式实 现 : 相 等与 不等 的转化 
例 8   已知 a , 口 ∈( O , Ⅱ ) 且 c o s a +c o s  ̄ -c o s ( a +/ D  


导, 试 求   , 卢 的 值 .  
分 析 :已 知 不 等 式 s i n l f s i n a +( 1 -c o s 1 f ) c 。  一   3  

[ 责任 编校

钱 骁 勇]  



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