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2015-2017三角函数高考真题教师版


2015-2017 三角函数高考真题
1、 (2015 全国 1 卷 2 题) sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ? )

3 2

( B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2 1 ,故选 D. 2

【答案】D 【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o =

2、 (2015 全国 1 卷 8 题)函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递 减区间为( )

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(B) (2k? ?

【答案】D

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 【解析】由五点作图知,? ,解得 ?=? ,? = ,所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ?

?

4 1 3 ( 2k ? , 2k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

考点:三角函数图像与性质 3、 (2015 全国 1 卷 12 题)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是. 【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 ) 【解析】 如图所示, 延长 BA, CD 交于 E, 平移 AD, 当 A 与 D 重合与 E 点时, AB 最长, 在△BCE 中 , ∠ B= ∠ C=75° , ∠ E=30° , BC=2 , 由 正 弦 定 理 可 得

BC BE ? ,即 sin ?E sin ?C

2 BE ? ,解得 BE = 6+ 2 ,平移 AD ,当 D 与 C 重合时,AB 最短,此时与 AB o sin 30 sin 75o
1

交于 F, 在△BCF 中, ∠B=∠BFC=75°, ∠FCB=30°, 由正弦定理知, 即

BF BC ? , sin ?FCB sin ?BFC

BF 2 ? ,解得 BF= 6 ? 2 ,所以 AB 的取值范围为( 6 ? 2 , 6+ 2 ). o sin 30 sin 75o

考点:正余弦定理;数形结合思想 4、 (2015 全国 2 卷 10 题)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 ,O 是 AB 的中点, 点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为

x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图像大致为(
D P C



A
y

x O
y

B
y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

【 解 析 】 由 已 知 得 , 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 , 即 0 ? x ?

?
4

时 ,

PA ? PB ? t a 2n
PA ? PB ? (

? x 4 ? t ;当点 an x P 在 CD 边上运动时,即

?
4

?x?

3? ? , x ? 时, 4 2

1 1 ? ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 , 当 x ? 时,PA ? PB ? 2 2 ; 当点 P 在 2 tan x tan x
3? ? x ? ? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ,从点 P 的运动过程 4

AD 边上运动时,即

可以看出,轨迹关于直线 x ? 考点:函数的图象和性质.

?

2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B.

?

?

4

2

2

5、 (2015 全国 2 卷 17 题) ?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求

sin ?B 2 ; (Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? ,求 BD 和 AC 的长. sin ?C 2

【解析】 ( Ⅰ ) S?ABD ?

S?ABD

1 1 AB ? AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 因 为 2 2 sin ?B AC 1 ?BAD ? ?CAD , ? ? . 所以 AB ? 2 AC . 由正弦定理可得 ? 2S?ADC , sin ?C AB 2

(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定 理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB ,AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC .
AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
考点:1、三角形面积公式;2、正弦定理和余弦定理. 6、 (2016 全国 1 卷 12 题)已知函数 f ( x) ? sin(? x + ? )(? ? 0, ? ? 零点, x ? (A)11 【答案】B

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x) 的

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? (B)9 (C)7 (D)5

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?

考点:三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考 查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① 单调区间长度是半个周期;②若

f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ?
的图像关于直线



f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ?

x ? x0 对称,则 f ? x0 ? ? A 或 f ? x0 ? ? ? A .

3

7、 (2016 全国 1 卷 17 题) ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

2 cos C (a cos B +b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ?

7, ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2
1 ? ,故 C ? ; (II)根据 2 3

试题分析: (I)先利用正弦定理进行边角代换化简得得 cos C ?

1 3 3 ? 2 .及 C ? 得 ab ? 6 .再利用余弦定理得 ? a ? b ? ? 25 .再根据 c ? 7 ab sin C ? 2 2 3
可得 ???C 的周长为 5 ? 7 .

考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,

sin ? A ? B ? ? sin C , cos ? A ? B ? ? ? cos C , tan ? A ? B ? ? ? tan C

,就是常用的结论,另外利

用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化 边.”

4

8、 (2016 全国 2 卷 7 题)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 象的对称轴为 (A) x ? (C) x ?
kπ π kπ π ? ? k ? Z? (B) x ? ? ? k ? Z? 2 6 2 6

π 个单位长度,则平移后图 12

kπ π kπ π ? ? k ? Z ? (D) x ? ? ? k ? Z? 2 12 2 12 π? ? 解析:平移后图像表达式为 y ? 2sin 2 ? x ? ? , 12 ? ?

π? π kπ π ? 令 2 ? x ? ? ? kπ + ,得对称轴方程: x ? ? ? k ? Z? , 12 ? 2 ? 2 6

故选 B.
?π ? 3 9、 (2016 全国 2 卷 9 题)若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin 2? = ?4 ? 5

(A) 【解析】D

7 25

(B)

1 5

(C) ?

1 5

(D) ?

7 25

7 ?? ? 3 ?π ? ? 2? π ∵ cos ? ? ? ? ? , sin 2? ? cos ? ? 2? ? ? 2cos ? ? ? ? ? 1 ? , 25 ?4 ? 5 ?2 ? ?4 ?

4 10、 (2016 全国 2 卷 13 题) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? , 5
cos C ? 5 , a ? 1 ,则 b ? . 13

【解析】 ∵ cos A ?
sin A ?

21 13

4 5 , cos C ? , 13 5

3 12 , sin C ? , 5 13 63 , 65

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?

由正弦定理得:

b a 21 ? 解得 b ? . sin B sin A 13

11、 (2016 全国 3 卷 5 题)若 tan ? ? (A)

64 25

(B)

48 25

3 ,则 cos2 ? ? 2sin 2? ? () 4 16 (C) 1 (D) 25

【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 tan ? ?

3 3 4 3 4 , 得 sin ? ? , cos ? ? 或 sin ? ? ? , cos ? ? ? , 所 以 4 5 5 5 5
5

cos 2 ? ? 2sin 2? ?

16 12 64 ? 4? ? ,故选 A. 25 25 25

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式. 【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去 非特殊角,进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联 系. 12、 (2016 全国 3 卷 8 题)在 △ABC 中, B = (A)
π 1 , BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = () 4 3

3 10 3 10 10 10 (B) (C) (D) 10 10 10 10 【答案】C

【解析】

C ?A 3 D 试题分析: 设 BC 边上的高线为 AD , 则B

, 所以 AC ? 弦 定

AD2 ? DC2 ? 5AD ,
理 , 知

AB ? 2 AD
cos A ?







AB2 ? AC 2 ? BC 2 2 AD2 ? 5 AD2 ? 9 AD2 10 ,故选 C. ? ?? 2 AB ? AC 10 2 ? 2 AD ? 5 AD

考点:余弦定理. 13、 (2016 全国 3 卷 14 题) 函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的 图像至少向右平移_____________个单位长度得到. 【答案】

?? 3

考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数. 【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也 经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 14、 (2017 年全国 1 卷 9 题)
2π ? ? 9、已知曲线 C1 : y ? cos x , C2 : y ? sin ? 2 x ? ? ,则下面结论正确的是() 3 ? ?

A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 单位长度,得到曲线 C2

π 个 6

6

B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 单位长度,得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 单位长度,得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 单位长度,得到曲线 C2 【答案】D
2π ? ? 【解析】 C1 : y ? cos x , C2 : y ? sin ? 2 x ? ? 3 ? ?

π 个 12

1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个 2 6
π 个 12

首先曲线 C1 、 C2 统一为一三角函数名,可将 C1 : y ? cos x 用诱导公式处理.

π π? π? ? ? y ? cos x ? cos ? x ? ? ? ? sin ? x ? ? .横坐标变换需将 ? ? 1 变成 ? ? 2 , 2 2 2? ? ? ?
π ? C 1上各点横坐标缩短它原来 1 π? π? ? ? ? 2 ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 即 y ? sin ? x ? ? ????????? 2? 2? 4? ? ? ?

2π ? π? ? ? ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? . 3 3? ? ? ?
π π 平移至 x ? , 4 3 π π π π 根据“左加右减”原则,“ x ? ”到“ x ? ”需加上 ,即再向左平移 . 4 3 12 12 15、 (2017 年全国 1 卷 17 题)

注意 ? 的系数,在右平移需将 ? ? 2 提到括号外面,这时 x ?

17、 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 △ ABC 的面积为 (1)求 sin B sin C ; (2)若 6 cos B cos C ? 1 , a ? 3 ,求 △ ABC 的周长.

a2 . 3sin A

【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用. (1)∵ △ ABC 面积 S ?
1 a2 .且 S ? bc sin A 2 3sinA

a2 1 ? bc sin A 3sin A 2 3 2 2 ∴ a ? bc sin A 2



3 2 2 ∵由正弦定理得 sin A ? sin B sin C sin A , 2 2 由 sin A ? 0 得 sin B sin C ? . 3 2 1 (2)由(1)得 sin B sin C ? , cos B cos C ? 3 6 ∵ A? B?C ? π

∴ cos A ? cos ? π ? B ? C ? ? ? cos ? B ? C ? ? sin B sinC? cos B cos C ?
7

1 2

又∵ A ? ? 0 ,π ?

∴ A ? 60? , sin A ?

1 3 , cos A ? 2 2

由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ? 9 ① 由正弦定理得 b ?
a a ? sin B , c ? ? sin C sin A sin A

a2 ? sin B sin C ? 8 ② sin 2 A 由①②得 b ? c ? 33

∴ bc ?

∴ a ? b ? c ? 3 ? 33 ,即 △ ABC 周长为 3 ? 33 16、 (2017 年全国 2 卷 14 题)
2 函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ?

3 ? ?? ( x ? ?0, ? )的最大值是. 4 ? 2?

【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值,意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力
3? ? ? ?? 【解析】∵ f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? ? x ? ?0, ? ? , sin 2 x ? cos2 x ? 1 4? ? 2 ??

∴ f ? x ? ? ? cos2 x ? 3 cos x ?

1 4 1 4

设 t ? cos x , t ? ? 0,1? ,∴ f ? x ? ? ?t 2 ? 3t ? 函数对称轴为 t ?
3 ? ? 0,1? ,∴ f ? x ?max ? 1 2

17 、 ( 2017 年 全 国 2 卷 17 题 ) ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知
2 B sin( A?C ) ? 8 si n . 2 (1)求 cos B (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b .

【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形. 【 试 题 分 析 】 在 第 ( Ⅰ ) 中 , 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 A?C ?? ? B , 将

B 2 B 转化为角 B 的方程, 思维方向有两个: ①利用降幂公式化简 sin , 2 2 2 B 2 2 结合 sin B ? cos B ? 1 求出 cos B ;②利用二倍角公式,化简 sin B ? 8 sin ,两边约去 2 B B sin ,求得 tan ,进而求得 cos B .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和 2 2
2 s i nA ( ? C) ? 8s i n

面积公式求出 a ? c、ac ,从而求出 b . (Ⅰ)
8

【基本解法 1】
2 由题设及 A ? B ? C ? ? , sin B ? 8 sin

B ,故 2

sin B ? ( 4 1-cosB)
上式两边平方,整理得 17cos2 B-32cosB+15=0 解得 cosB=1(舍去),cosB= 【基本解法 2】
2 由题设及 A ? B ? C ? ? , sin B ? 8 sin

15 17 B B B B 2 B i n ? 0, , 所以 2 sin cos ? 8 sin , 又s 2 2 2 2 2

B B 1 2 ? 15 ? , cos B ? 所以 tan B 17 2 4 1 ? tan2 2 15 8 1 4 ac (Ⅱ)由 cosB= 得 sin B ? ,故 S ?ABC ? ac sin B ? 17 17 2 17 17 又 S ?ABC =2,则ac ? 2 1 ? tan2
由余弦定理及 a ? c ? 6 得

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
2 ? (a +c) ? 2ac(1 ? cosB) 17 15 ? 36 ? 2 ? ? (1 ? ) 2 17 ?4

所以 b=2 【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角 形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的 边角关系进行“边转角” “角转边” ,另外要注意 a ? c, ac, a ? c 三者的关系,这样的题目
2 2

小而活,备受老师和学生的欢迎.
π 18、(2017全国3卷6题)设函数 f ( x) ? cos( x ? ) ,则下列结论错误的是() 3

A. f ( x) 的一个周期为 ?2π C. f ( x ? ? ) 的一个零点为 x ? 【答案】D
π 6

B. y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?
π D. f ( x) 在 ( , π) 单调递减 2

8π 对称 3

π? π ? 【解析】函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? 的图象可由 y ? cos x 向左平移 个单位得到, 3? 3 ? ?π ? 如图可知, f ? x ? 在 ? , π ? 上先递减后递增,D选项错误,故选D. ?2 ?
9

y
?? ?

? ?? - O ? 6

?? ?

x

?ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 19、 (2017全国3卷17题) 已知 sin A ? 3 cos A ? 0 , a ? 2 7 ,b ? 2 . (1)求c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD ? AC ,求 △ABD 的面积. π? ? 【解析】(1)由 sin A ? 3 cos A ? 0 得 2sin ? A ? ? ? 0 , 3? ? π 即 A ? ? kπ ? k ? Z? ,又 A ? ? 0, π ? , 3 π 2π . ∴ A ? ? π ,得 A ? 3 3 1 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A . 又∵ a ? 2 7, b ? 2, cosA ? ? 代入并整理 2 2 得 ? c ? 1? ? 25 ,故 c ? 4 .

(2)∵ AC ? 2, BC ? 2 7, AB ? 4 ,
a 2 ? b2 ? c2 2 7 . ? 2ab 7 ∵ AC ? AD ,即 △ ACD 为直角三角形, 则 AC ? CD ? cos C ,得 CD ? 7 .

由余弦定理 cos C ?

由勾股定理 AD ? 又 A?

CD ? AC ? 3 .

2

2

S△ABD

2π 2π π π ? ? , ,则 ?DAB ? 3 3 2 6 1 π ? AD ? AB ? sin ? 3 . 2 6

10



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