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【全程复习方略】2018版高考数学(理)一轮复习课件(全国版):第二章 函数、导数及其应用 2.11.3_图文

第三课时 导数的综合应用 考向一 利用导数研究函数的零点或方程的根 【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)= 1 x ? ax ? , 4 (1)当a为何值时, x轴为曲线y=f(x)的切线. 3 g(x)=-lnx. (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)= min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数. 【解题导引】(1)利用导数的几何意义,设切点为(x0,0), 利用f(x0)=0,f′(x0)=0列出方程组求解. (2)首先理解min{m,n}表示m,n中的最小值,然后按 x∈(1,+∞),x=1,x∈(0,1)进行分类讨论,确定h(x)零点 的个数. 【规范解答】(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点 1 3 (x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,即 ? ? x 0 ? ax 0 ? ? 0, 4 ? ?3x 2 ? a ? 0. 解得 ? 0 1 3 x 0 ? ,a ? ? . 因此,当 2 时, 4 x轴为曲线y=f(x)的切线. 3 a?? 4 (2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0, 从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0, 故h(x)在(1,+∞)上无零点. 当x=1时,若 则f(1)= ≥0, 5 5 a ? 故x=1是h(x)的零点; a?? , h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0, 4 4 5 f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 若 a ? ?则 , 4 故x=1不是h(x)的零点. 当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0. 所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数. (i)若a≤-3或a≥0,则f′(x)=3x2+a在(0,1)上无零点, 故f(x)在(0,1)上单调. 而 1 5 f ? 0 ? ? ,f ?1? ? a ? , 所以当a≤ 4 -3时,f(x) 4 在(0,1)上有一个零点;当a≥0 时,f(x)在(0,1)上没有零点. a (ii)若-3<a<0,则f(x)在 (0, 上单调递减, ? ) 3 在 时, a a上单调递增,故在(0,1)中,当 ( ? ,1) x? ? 3 3 f(x)取得最小值,最小值为 a 2a a 1 f( ? ) ? ? ? . ①若 即 f(x)在(0,1)上没有零点; 3 3 3 4 3 a ? ? a ? 0, f ( ? ) ? 0, ②若 则f(x) 4 在(0,1)上有唯一零点; 3即 a f ( ? ) ? 0, 3 3 a?? , 4 3 a即 ?3 ? a ? ? , f ( ? ) ? 0, 4 3 由于 1 5 f ? 0 ? ? ,f ?1? ? a ? , 4 时,f(x) 4在(0,1)上有两个零点; 所以当 5 3 ? ?a?? 4 f(x) 4 在(0,1)上有一个零点. 当 时, 5 ?3 ? a ? ? 综上,当 时,h(x)有一个零点; 4 3 5 a ? ? 或a ? ? 4 4 ③ 5 当 a ? ? 3 或a 时, ? ? h(x)有两个零点; 4 4 当 5 时, 3 h(x)有三个零点. ? ?a?? 4 4 【规律方法】利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调 性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数 极(最)值的位置. (3)通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求 解有一个清晰、直观的整体展现. 2 x 【变式训练】(2015·北京高考)设函数f(x)= ? kln x, 2 k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值. (2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间 个零点. 上仅有一 (1, e) 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= k x2 ? k x? ? . x k>0x 因为 ,所以令f′(x)=0得 列表如下: x ? k, x f′(x) f(x) (0, k ) ↘ k 0 极小值 ( k, ??) + ↗ 减区间为 增区间为 (0, k), ( k, ??). 当x= 时,取得极小值 k ? kln k f( k) ? . k (2)当 ≤1,即0<k≤1时,f(x)在 2上单调递增, (1, e) k f(1)= 所以f(x)在区间 1 e k e?k ,f ( .e) ? ? ? ? 0, (1, e) 上没有零点 2 2 2 2 当 即1<k<e时,f(x)在 1 ? k ? e, 上递减, (1, k) 在 上递增, ( k, e) 1 e?k k ? kln k k ?1 ? ln k ? f ?1? ? ? 0,f ( e) ? ? 0,f ( k) ? ? ? 0, 此时函数没有零点 .2 2 2 2 当 即k≥e时,f(x)在 上单调递减, k ? e, (1, e) 1 e ?f(x) k 在区间 所以 f ?1? ? ? 0,f ( e) ? ? 0. 2 2 有一个零点. 上仅 (1, e) 综上,若f(x)有零点,则f(x)在区间 零点. 上仅有一个 (1, e) 【加固训练】 1.已知函数f(x)= 1 (x∈R,其中a>0). 1? a 2 x ? x ? ax ? a, 3(-2,0) 2 内恰有两个零点,则 a的取 若函数f(x)在区间 3 值范围是( ) 1 A.(0, ) 3 1 B.( ,1) 3 C. ?1,2 ? D.(0, ??) 【解析】选A.f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a). 由f′(x)=0,得x=-1或a(a>0). 当x变化时f′(x)与f(x)的变化情况如表: x f


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