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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 三角函数试题精选26


三角函数 26
20、已知函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ( x?R ) 2 π (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0, ] 上的值域; 2
(Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,又 f (

A ? 4 ? ) ? ,b ? 2 ,? ABC 2 3 5

的面积等于 3,求边长 a 的值.

21、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1) 求△ABC 的面积; (2) 若 c=1,求 a、sinB 的值.

? ???? A 2 5 ??? , AB ?AC =3. ? 2 5

?2 5? 3 【答案】解: (1) cosA=2× ? ? 5 ? ? -1= 5 ,………………………………………………2 分 ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 3 而 AB?AC ?| AB |? | AC | cosA= bc=3,∴bc=5……………………4 分 5 4 又 A∈(0,π ) ,∴sinA= ,………………………………………5 分 5 1 1 4 ∴S= bcsinA= ×5× =2. ………………………………………6 分 2 2 5
(2) ∵bc=5,而 c=1,∴b=5.…………………………………………………8 分 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 -2bccosA=20,a= 2 5 ………………………………10 分

2

4 b sin A a b 5 ? 2 5 .……………12 分 ? 又 ,∴sinB= ? sin A sin B a 5 2 5 5?

-1-

22、已知函数 f ( x) ?

3a sin x ? b cos( x ?

?

? 1 7? ) 的图象经过点 ( , ), ( ,0). 3 3 2 6

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的周期及单调增区间.

23、已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m ? (a ? c, b ? a) ,

??

? n ? (a ? c, b) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 C 的大小;
2 (Ⅱ)若向量 s ? (0,?1), t ? (cos A,2 cos

B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2

解:(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (a ? c, b ? a) ? (a ? c, b) ? a2 ? c2 ? b2 ? ab ? 0 ,…2 分
2 2 2 即 c ? a ? b ? ab .

?? ?

……3 分.

由余弦定理得 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2
. ……………………5 分

? 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

-2-

24、已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ,若函数 g ( x) 的 图象与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数 g ( x) 在区间 ??

? ? ?? 上的最大值,并求出此时 x 的值; , ? 4 6? ?
3 , 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角 , 若 f ( A) ? g ( A) ?

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.
解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 1 ? 所以 g ( x) ? ? ? sin( 2 x ? ) 2 6 ?
因为 x ? ??

………………………………………………………2 分 ………………………………………………3 分

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,函数 g ( x) 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 . 2 ? 4 6?

……………………………………………6 分

-3-

25、已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? 6ab cos C ,且
2 2

sin 2 C ? 2sin A sin B .
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为

? ,求 f ( A) 的取值范围.
解: (Ⅰ)因为 a ? b ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a ? b ? c ? 2ab cosC
2 2 2 2 2

所以 cosC ?
2

c2 . 4ab
2

又因为 sin C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2ab ,

c2 2ab 1 ? ? , 所以 cosC ? 4ab 4ab 2
所以 C ?

?
3

.

(Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? , 因为 C ? , B ? 3 3 2 2 ? ? ? 2? 所以 ? A ? , 0 ? 2 A ? ? . 6 2 3 3
-4-

2?

?

根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 .

26、 已知函数 f ( x) ? 的最小正周期为 ? 。

3 sin ?x ? cos( ?x ?

?
3

) ? cos( ?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0, x ? R) , 且函数 f ( x)

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;
??? ? ??? ? 3 3 (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c ,若 f ( B ) ? 1, BA ? BC ? ,且 2

a ? c ? 4 ,试求 b2 的值。

27、已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos

2

?x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , x ? x2 2

是 y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为 (I)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原 8

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区间

-5-

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 0, ? ? 2? ?

? ? 个单位后,得到 y ? sin(4 x ? ) 的图象,再将所得图象 8 6 ? 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 6 ? 所以 g ( x) ? sin(2 x ? ). -------------------------9 6
(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个 分 令 2x ?

?
6

? t ,∵ 0 ? x ?

?
2

,∴ ?

?

5 ?t ? ? 6 6

? ?? g ( x) ? k ? 0 ,在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2?
1 1 ? ?? 0, ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知 ? ? ?k ? 或 ?k ? 1 ? 2 2 ? 2?
∴? 分 28、 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 向 量

1 1 ? k ? 或 k ? ?1 . 2 2

-------------------12

m ? ? 2b ? c,cosC? ,n ? ? a,cos A? , 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 2sin B ? cos ?
2

?? ? ? 2B ? 的值域. ?3 ?

解析: (I) 因为 m//n.,所以, a cos C ? (2b ? c) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:
-6-

sin A cos C ? (2sin B ? sin C ) cos A ? 0 ,
所以 sin A cos C ? 2sin B cos A ? sin C cos A ? 0 即 sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A , 所以,sin(A+C)=2sinBcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinB=2sinBcosA,因为 0<C< ? ,所以 sinB>0, 所以 cosA=

1 ? ,又 0<A< ? ,所以 A= 。 2 3

-7-



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