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广西平南县六陈高级中学2013届高三5月模拟考试数学文试题 1星

六陈高级中学 2013 届高三 5 月模拟考试数学文试题
一.选择题:(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0}, B ? {x | 5 ? x ? 7} ,则 A B =( A. ?5,7? B. ?5,6? C. ?5,6? ) D. ?6,7? )

2. “ m ? 1 ”是“直线 x ? m2y ? 0 与直线 x-y ? 1 垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 3.函数 y ? log2 ( x ? 3 ) 的反函数是( A. y ? 2 x ? 3 ( x ? ?3 ) C. y ? 2 x?3 ( x ? ?3 ) B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 ) B. y ? 2 x ? 3 ( x ? R ) D . y ? 2 x ?3 ( x ? R )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值 ?x ?1 ? 0 ?

为 ( A. ?6
2 2



B. ?4

C. 2

D. 3

x y ? ? 1(a ? 0) 的焦点为 ?5,0? , 则该双曲线的渐近线方程是 ( ) 2 a 9 16 3 4 16 A. y ? ? x B. y ? ? x C. x ? ? D. y ? ? x 5 4 3 5 11 6.若 ?an ? 为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S11 ? ? ,则 tan a6 =( ) 3

5. 设双曲线

A. ? 3

B. ? 3

C. ? 3
3

D.

3

1 7. M 为曲线 y ? x 3 ? x 上的任意一点,在点 M 处的切线的斜率为 k ,则 k 的取 3 值范围是( )

A. (0, 1]

B (1, ? ?)

C. [1, ? ?)

D. (??, ? ?)

8.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 BC 、 CC1 的中点,则异面直 线 EF 与 AC1 所成角的余弦值为( A.
1 3

) C.
6 3

B.

3 3

D. 0

1 9. 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n , 则二项式 ( x ? ) n 展开式中 x 2 项的系 x 数为( ) A. 15 B. ?15 C. 30 D. ?30 π 10.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A >0, ? < 的图象如图所示,为了得到 2 ) g ( x) ? sin 3x 的图象,只需将 f ( x) 的图象( π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 4 4 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 12 12 11. 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝) ,要求相邻两

个面涂不同的颜色,则共有涂色方法(

) (涂色后,任意翻转正方体,

能使正方体各面颜色一致,我们认为是同一种涂色方法) A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种

12. 已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导 函数 f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则( A. f (log2 a) ? f (3) ? f (2a ) C. f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a) )

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (3)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在指定位置上) 13.已知 sin ? ? 2 cos ? ,那么 tan 2? 的值为 14. 已知椭圆 .

5 x2 y 2 , 其中一个顶点坐标为 ?0,2? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 5 a b
.

则椭圆的方程为

15 . 已 知 向 量 a ? ?x ? 1,2? , b ? ?4, y? , 若 a ? b , 则 9 x ? 3 y 的 最 小 值 为 .

16.四棱锥 P ? ABCD 的各顶点都在同一球面上,且矩形 ABCD 的各顶点都在同 一个大圆上,球半径为 R , 则此四棱锥的体积的最大值 为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 70 分) . 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc ,
C , BC 边上中线 AM 的长为 7 . 2 (1) 求角 A 和角 B 的大小; (2) 求 ?ABC 的面积. sin A sin B ? cos 2

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: S n ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为数列 {an } 的前 n 项和. (1)试求 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: bn ? n (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和 Tn .
an

19. (本小题满分 12 分) 中央电视台星光大道某期节目中,有 5 位实力均等的选手参加比赛,经过四 轮比赛决出周冠军(每一轮比赛淘汰 l 位选手) . (1)求甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率; (2)求甲选手在第三轮被淘汰的的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC — A1B1C1 ,侧面 ACC1 A1 与底面 ABC 垂直,∠ ABC ? 90o ,

BC ? 2, AC ? 2 3 ,且 AA1 ⊥ A1C , AA1 = A1C .

(1)试判断 A1 A 与平面 A1BC 是否垂直,并说明理由; (2)求侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分) 1 ? x 3 ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m ? R . 已知函数 f ( x) 3 (1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) x2 y 2 1 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为 2 a b 其左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切. (1)求椭圆 C1 及动圆圆心轨迹 C 的方程; (2) 在曲线 C 上有两点 M 、 N ,椭圆 C1 上有两点 P 、Q ,满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的 最小值.

2013 年 5 月份月考试题(文科数学)参考答案

2 2. “ m ? 1 ” ? 直线 x ? m y ? 0 与直线 x-y ? 1 垂直,但由“直线 x ? m2y ? 0 与直线

得 “ m ? ?1 ” , 即 “直线 x ? m2y ? 0 与直线 x-y ? 1 垂直” 推不出 “ m ? ?1 ” x-y ? 1 垂直” 故选 A。 3.由 y ? log2 ( x ? 3 ) 得 x ? 2 y ? 3 ( y ? R ) ,所求反函数为 y ? 2 x ? 3 ( x ? R ) ,选 B。 4.做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3 x ? 2 y 得 y ? 由图象可知当直线 y ?

3 z x? , 2 2

3 z x ? 经过点 C (0, 2) 时,直线的截距最 2 2 大,而此时 z ? 3 x ? 2 y 最小值为 ?4 ,选 B。 5.因为双曲线的焦点为 ?5,0? ,所以 c ? 5 ,又 a 2 ? 9 ? c 2 ? 25 , b 2 所以 a ? 16, a ? 4 ,由 y ? ? x 得所求选 A. a 11?a1 ? a11 ? 11 ? ? ? ? 11a6 ? ,? a6 ? , tan ? 3 ,选 D。 6. S11 ? 2 3 3 3 2 7. k ? f ' ( x) ? x ? 1 ? 1 ,故选 C. 8.如图, EF // BC1 , ?AC1 B 是异面直线 EF 与 AC1 所成的角,
? cos ?AC1 B ? BC1 2 6 ,选 C。 ? ? AC1 3 3

D1 A1 B1

C1 F

A

D 第8题 B

E

C

又 f(

5? 5? 5? 5? 3? ) ? sin(3 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 ,所以 ?? ? ? 2k? , k ? Z ,即 12 12 4 4 2 ? π ? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 又 ? < , 所 以 ? ? , 即 f ( x ) ? s i n ( x 3 ? ) 因为 。 4 2 4 4
g ( x) ? s i n x 3? s i nx (? 3 ? 4 4

?

?

?)

s ix n[ ?3 ( 12

?

? ,所以只需将 ) ] f ( x) 的图象向右 4

?

平移

π 个单位长度,即可得到 g ( x) ? sin 3x 的图象,选 D. 12
2

11.由于涂色过程中,要保证满足条件(用四种颜色,相邻的面不同色),正方体的三对面, 必然有两对同色,一对不同色,而且三对面具有“地位对等性”,因此,只需从四种颜色中 选择 2 种涂在其中一对面上,剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有 C 4 =6 种不同 的涂法。选 A. 12. 由 f ( x ) = f (4 ? x) , 可知函数关于 x ? 2 对称。 由 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 得 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 , 所以当 x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ,函数递增,所以当 x ? 2 时,函数递减。当 2 ? a ? 4 ,

1 ? log2 a ? 2 , 22 ? 2a ? 24 , 即 4 ? 2a ? 1 6。 所 以 f (log2 a) ? f (4 ? log 2 a) , 所 以
, 即 2 ? 4? log , 所 以 f ( 4? log ,)即 2 ? 4 ? log ? a2 ? f (3) ? f a( 2 2a ? 3 2a ? 3 2 a ) ,选 f (log ) f ( 3) ? f a( 2 ) A. 2 a ?

18.解: (1)? S n ? 1 ? an

? S n?1 ? 1 ? an?1 ②???2 分[ 1 * ②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an ? a n ?1 ? a n , ( n ? N ) ????????4 分[ 2 1 又 n ? 1 时, a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2 1 1 n ?1 1 n ? a n ? ? ( ) ? ( ) , (n ? N * ) ????????6 分[ 2 2 2 n (2) bn ? ? n ? 2 n , (n ? N * ) ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ③?8 分[ an


? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④????????9 分[
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
③-④得 ????????11 分[ 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2 整理得: Tn ? (n ? 1)2 n?1 ? 2, n ? N * ????12 分

?

19. (1)由于甲、乙两位选手都进入第三轮比赛,故第一、第二轮淘汰的是另三位选手 中的两位选手,所以甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率为

P2 ?

1 1 C3 C2 3 . ? ????6 分 1 1 C5 C 2 10 1 1 C3 C4 1 1 . ? 1 ? ?????????12 分 1 1 C5 C 4 C3 5

(2)甲选手在第三轮被淘汰的概率为 P 1 ? 20.解法一:如图建立空间直角坐标系,

(1)由条件知 B(0,0,0),C(0,2,0), A(2 2,0,0), 由面 ACC1 A1 ⊥面 ABC,AA1⊥A1C,AA1=A1C,知 A1 ( 2,1, 3) 2 分

1分

AA , 3), BC ? (0,2,0), 1 ? (? 2 ,1
∵ AA 1 ? BC ? 2 ? 0 ?????3 分 ∴ AA 1 与 BC 不垂直,即 AA1 与 BC 不垂直, ∴AA1 与平面 A1BC 不垂直??5 分 (2)由 ACC1A1 为平行四边形, 知 CC1 = AA , 3) ?7 分 1 = (? 2 ,1

设平面 BB1C1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由?

? ?n1 ? BC

? ?2 y1 ? 0 ?n1 ? BC ? 0 , 得? ,即? ? ?? 2 x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ?n1 ? CC1 ? ?n1 ? CC1 ? 0

令 x1 ? 3 ,则 y1 ? 0, z1 ?

2,得n1 ? ( 3,0 2 )
2 5 10 5

9分 10 分

另外,平面 ABC 的法向量 n2 ? (0,0,1)

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

?

在 Rt△EFC 中,cos∠ CFE ?

2 5

?

10 5
10 12 分 5

所以,侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

?2a ? 4 ?a ? 2 ? 22.解: (1) (ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3, c 1 ?? e? ? ?c ? 1 ? ? a 2 x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : --------3 分 4 3 (ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,则 2k 2 ? 4 4 | MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ?2 ? 4? 2 9分 2 k k 1 ? y ? ? ( x ? 1) ? ? k 2 2 2 由? 2 消去 y 得 (3k ? 4) x ? 8x ? 4 ? 12k ? 0 , 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4

从而 | PQ |? 1 ? (? ) | x3 ? x4 |?
2

1 k

12(1 ? k 2 ) 3k 2 ? 4

---10



1 1 4 12(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) 2 | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 ) ? 24 2 2 k 3k 2 ? 4 3k 4 ? 4k 2 令 1 ? k 2 ? t ,∵ k ? 0, 则 t ? 1
∴ S PMQN ? 则 S PMQN

24t 2 24t 2 1 ? ? ? | MN | ? | PQ |? 2 3(t ? 1) 2 ? 4(t ? 1) 3t 2 ? 2t ? 1

24 2 1 3? ? 2 t t
----11 分

3?

1 2 1 ? 2 = 4 ? (1 ? ) 2 ? (0,3) ,所以 S PMQN = t t t

24 >8 2 1 3? ? 2 t t

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8

----12 分



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