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2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.2同角三角函数基本关系式与诱导公式


第二节

同角三角函数基本关系式与诱导公式

强化训练 1.如果 sin( ? ?? ) ? ? ? 那么 cos ( 3? ? ? ) 等于(

1 2

2

)

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

答案:B 解析:∵sin( ? ?? ) ? ? sin ? ? ? ? ∴sin ? ? cos ( 3? ? ? ) ? ? sin ? ? ?

1 2

1 . 2

2

1 . 2
) D.5

2.已知 sin ? ? cos ? ? 7 ? 则 sin ? ? cos ? 等于(

5

A. 1

5

B. ? 1

5

C. ? 1

5

答案:C
2 解析:∵sin ? ? cos ? ? 7 ? ∴(sin ? ? cos ? ) ? 49 .

5

25

∴(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? =1+2sin ? cos ? ? 49 ? 即 2sin ? cos ? ? 24 .

25

25

∵(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? =1-2sin ? cos ? ? 1 ? ∴sin ? ? cos ? ? ? 1 .

25

5

3.设 f(x)=asin( ? x ? ? ) ? b cos( ? x ? ? )? 其中 a? b? ? ? ? 都是非零实数,若 f(2 012)=-1,则

f(2 013)等于(
A.-1 答案:C

) B.0

C.1

D.2

解析:∵f(2 012)=asin(2 012 ? ?? ) ? b cos(2 012 ? ? ? ) ? ?1? ∴asin ? ? b cos ? ? ?1 . ∴f(2 013)=asin(2 013 ? ?? ) ? b cos(2 013 ? ? ? ) =asin( ? ?? ) ? b cos( ? ? ? ) =-asin ? ? b cos ? ? 1 . 4.已知 f(cosx)=cos2x,则 f(sin75 ? )= .

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答案:

3 2

解析:∵sin75 ? =sin(90 ? -15 ? )=cos15 ? , ∴f(sin75 ? )=f(cos15 ? )=cos (2 ?15 ? )=cos30 ? ? 5.已知 f(x)= ? 答案:0 解析:∵ f ( 1 ) ? cos

3. 2
.

?

cos?x? x ? 1?

? f ( x ? 1) ? 1? x ? 1?

则 f ( 1 ) ? f ( 4 ) 的值为

3

3

? 1 ? ? 3 2 f ( 4 ) ? f ( 4 ? 1) ? 1 ? f ( 1 ) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 3 3 3 2 2

3

∴ f (1) ? f ( 4 ) ? 0 .

3

3

6.已知向量 a=(sin ? ? ?2) 与 b=(1,cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0? ) . (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 5cos (? ? ? ) ? 3 5 cos ? ? 0 ? ? ?

? 2

? ? 求 cos ? 的值. 2

解:(1)∵a 与 b 互相垂直,则 a ? b=sin ? ? 2 cos ? ? 0? 即 sin ? ? 2 cos ? ? 代入
2 2 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1? 得 4cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1? ∴cos ? ? 1 ? sin ? ? 4 .

5

5

∴sin ? ? ?

2 5 ? cos ? ? ? 5 . 5 5 2 5 ? cos ? ? 5 . 5 5

又 ? ? (0? )? ∴sin ? ?

? 2

(2)∵5cos (? ? ? ) ? 5( cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? ?
∴cos ? ? sin ? . ∴cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 cos 2 ? ? 又0 ?? ?

1 . 2

? ? ∴cos ? ? 2 . 2 2
见课后作业 A

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题组一 利用同角三角函数关系化简 1.已知 sin ? ? 4 ? 并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于(

5

)

A. ? 4

3

B. ? 3

4

C. 3

4

D. 4

3

答案:A 解析:sin ? ? 4 ? cos ? ? ? 3 ? tan ? ? sin? ? ? 4 .

5 5 cos? 3 ? 2.已知 ? ? (? ? 0)? cos ? ? 3 ? 则 tan (? ? ? ) 等于( 5 4 2 A. ? 1 B.-7 C.7 D. 1 7 7
答案:A 解析:∵ ? ? (?

)

? ? 0)? cos ? ? 3 ? 5 2

tan? ? tan ? 4 ? tan ? ? ? 4 ? tan (? ? ? ) ? 4 ??1. ∴sin ? ? ? 4 1 ? tan? tan ? 7 5 3 4
3.若 sin( ? ?? ) ? ? 1 ? ? ? ( ? ? ),则 cos ? 等于(

2

? 2

) D. ? 1

A. ?

3 2

B.

3 2

C.

1 2

2

答案:A

1 2 1 2 ∴sin ? ? ? cos 2 ? ? 1 ? sin ? ? 3 . 4 2
解析:∵sin( ? ?? ) ? ? sin ? ? ? ? ∵ ? ? ( ? ? ),∴cos ? ? ? 4.已知 tan ? ? ? 1 ? 计算:

? 2

3. 2

3

1 (1) sin? ? 2cos? ; (2) . 5cos? ? sin? 2sin? cos? ? cos 2?

?1?2 sin? ? 2cos? ? tan? ? 2 ? 3 ? 5 . 解: (1) 5cos? ? sin? 5 ? tan? 5 ? 1 16 3
(2)
2 2 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2sin? cos? ? cos ? 2sin? cos? ? cos ?

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1 ?1 tan 2? ? 1 ? 9 ? ? 10 . 2tan? ? 1 ? 2 ? 1 3 3
题组二 利用诱导公式进行化简、求值 5.sin(-2 109 ? )+cos1 941 ? 等于( ?A.0 答案:A 解析:sin(-2 109 ? )+cos1 941 ? =-sin2 109 ? +cos (5? 360 ? +90 ? +51 ? ) =-sin (6 ? 360 ? -51 ? )+cos(90 ? +51 ? )=0. 6.已知 sin ( ? ? ) ? 1 ? 则 cos( ? ?2? ) 的值为( B.2sin51 ? ) D.-2sin51 ? ?

C.2cos51 ?

? 2

3

)

A. ? 7

9
? 2

B. 7

9

C. 2

9

D. ? 2

3

答案:B 解析:由 sin ( ? ? ) ? 1 得 cos ? ? 1 ?

3

3

2 cos( ? ?2? ) ? ? cos 2? ? ?(2 cos ? ? 1) ? 7 .

9

? 7.若 sin ( ? ? ) ? 3 ? 则 cos 2? ? 2 5
答案: ? 7

.

25
2

? 解析:∵sin ( ? ? ) ? cos ? ? 3 ?

5

2 ∴cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 18 ? 1 ? ? 7 .

25

25

8.化简:

sin(540? ? x) cos(360? ? x) 1 ? ? ? sin(? x) tan(900? ? x) tan(450? ? x)tan(810? ? x)

.

答案:sinx 解析:原式 ?

sin(180? ? x) 1 ? ? cosx ? sinx ? tan x ? tan x(? 1 ) tanx tan(? x) tan(90? ? x)tan(90? ? x) sin(? x) ? tanx

=sinx. 题组三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

? 9.已知 sin ( ? ? ) ? 3 ? 则 cos( ? ?2? ) 等于( 2 5

)

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A. 7

25

B. 24

25

C. ? 7 D. ? 24

25

25

答案:A

? 解析:∵sin ( ? ? ) ? cos ? ? 3 ? 2

5

∴cos( ? ?2? ) ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos 2 ?

? 1? 2? 9 ? 7 . 25 25
10.sin( ? ?? ) ? log 8 1 ? 且 ? ? (?

4

? ? 0)? 则 tan( ? ?? ) 的值为( 2
C. ?

)

A. ?

5 2

B.

5 2

5 2

D. ? 2

5

答案:D 解析:∵sin( ? ?? ) ? log 8 1 ? 且 ? ? (?

4

? ? 0)? 2

5? 3 tan( ? ?? ) ? tan ? ? sin? ? ? 2 . cos? 5
∴sin ? ? ? 2 ? cos ? ?

3

11.已知 ? 是第二象限的角,tan( ? ?2? ) ? ? 4 ? 则 tan ? ?

3

.

答案: ?

1 2

解析:由 tan( ? ?2? ) ? ? 4 ? 得 tan 2? ? ? 4 ?

3

3

3 1 ? tan ? 2 1 所以 tan ? ? ? . 2 12.设 f(cosx)=cos5x.求: ? 1 (1)f(cos ) ; (2) f ( ) ;(3)f(sinx). 6 2 ? ? 解:(1)在原式中,令 x ? ? 得 f(cos ) ? cos 5? 6 6 6
=cos( ? ? ) ? ? cos (2)∵cos

1 又 tan 2? ? 2tan? ? ? 4 ? 解得 tan ? ? ? 或 tan ? ? 2? 又 ? 是第二象限的角, 2

? 6

? ?? 3 . 2 6

? 1 ? ? ? ∴在原函数式中,令 x ? ? 得 3 2 3 ? ? ? ? f ( 1 ) ? f ( cos ) ? cos (5 ? ) ? cos(2 ? ? ) ? cos ? 1 . 2 3 3 3 3 2
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(3)∵sinx=cos ( ? x)?

? ? x 代原函数式中的 x,得 2 ? ? f(sinx)=f[cos ( ? x)] ? cos 5( ? x) 2 2
∴用 =cos

? 2

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