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第二章2.3.1 双曲线及其标准方程


2.3
2.3.1

双曲线

双曲线及其标准方程

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2.3

1 理解教 材新知

知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三

第 二 章

2.3.1 双曲 线及 其标 准方 程

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

双曲线的定义

[提出问题] 1.平面内,动点P到两定点F1(-5,0),F2(5,0)的距离之和 为12,动点P的轨迹是什么? 提示:椭圆. 2.平面内,动点P到两定点F1(-5,0),F2(5,0)的距离之差 的绝对值为6,动点P的轨迹是椭圆吗?是什么? 提示:不是;双曲线. 返回

[导入新知]
双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 差的绝对值 等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 两个定点 叫做双 曲线的焦点, 两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距.

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[化解疑难]
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数, 即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”. 当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; 当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.

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双曲线的标准方程

[提出问题]

1.上述问题 2 中,动点 P 的轨迹方程是什么?
x2 y2 提示: 9 -16=1.

2.平面内,动点 P 到两定点 F1(0,5),F2(0,-5)的距 离之差的绝对值为定值 6,动点 P 的轨迹方程是什么?

y2 x2 提示: 9 -16=1.

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[导入新知]

双曲线的标准方程

焦点在 x 轴上
x2 y2 a2-b2=1

焦点在 y 轴上
y2 x2 a2-b2=1

标准方程

(a>0,b>0) 焦点坐标 a,b,c 的关系

(a>0,b>0)
F1(0,-c),F2(0,c)

F1(-c,0),F2(c,0)

c2= a2+b2
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[化解疑难] 1.标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,

y的平方差,并且分母大小关系不确定.
2.a,b,c三个量的关系:

标准方程中的两个参数 a和 b,确定了双曲线的形状和大小, 是双曲线的定形条件,这里 b2 = c2 - a2 ,与椭圆中 b2 = a2 - c2 相 区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.

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双曲线标准方程的认识
[例 1] x2 y2 已知方程 - =1 对应的图形是双曲线, 那么 k k-5 |k|-2 ( B.k>5 或-2<k<2 )

的取值范围是 A.k>5 C.k>2 或 k<-2 D.-2<k<2 [解析] ∵方程对应的图形是双曲线,

∴(k-5)(|k|-2)>0.
? ?k-5>0, 即? ? ?|k|-2>0, ? ?k-5<0, 或? ? ?|k|-2<0.

解得 k>5 或-2<k<2. [答案] B

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[类题通法] 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方
? ?m>0, x2 y2 程为m+ n =1,则当 mn<0 时,方程表示双曲线.若? ? ?n<0, ? ?m<0, 轴上的双曲线;若? ? ?n>0,

则方程表示焦点在 x

则方程表示

焦点在 y 轴上的双曲线.

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[活学活用] 若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线 y2 x2 解析:原方程化为 2 - =1, k -1 k+1 )

∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线.
答案:C 返回

求双曲线的标准方程
[例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
? 4 A? 1 ,- ? ?

(1)a=4,经过点

10? ? ; 3 ? ?

(2)经过点(3,0),(-6,-3).

[解]

(1)当焦点在 x 轴上时,

x2 y 2 设所求标准方程为16-b2=1(b>0), 16 160 把 A 点的坐标代入,得 b =-15× 9 <0,不符合题意;
2

当焦点在 y 轴上时,

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y2 x2 设所求标准方程为16-b2=1(b>0), 把 A 点的坐标代入,得 b2=9, y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为16- 9 =1. (2)设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), 1 ? m = , ? ? 9 m + 0 = 1 , 9 ? ∴? 解得? ? ?36m+9n=1, ?n=-1, 3 ? x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 - 3 =1.

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[类题通法] 1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的 a,b,c,再写 出双曲线的标准方程. x2 y2 (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程a2-b2=1 或 x2 y2 b2-a2=1(a,b 均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入 方程即可.

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2.求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位:“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标 准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程 的形式; (2)定量:“定量”是指确定 a2,b2 的具体数值,常根据条 件列方程求解.

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[活学活用] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与椭圆 + =1 有共同的焦点,且过点 27 36 ( 15,4); (2)c= 6,经过点 (-5,2),焦点在 x 轴上. 2 2 x y 解:(1)椭圆27+36=1 的焦点坐标为 F1(0,-3),F2(0,3), y2 x2 故可设双曲线的方程为a2-b2=1.
a2+b2=9, ? 2 ? ? 2 a =4, ? 2 由题意,知?4 ? 15? 解得? 2 ? ?b =5. 2- 2 =1, ? b ?a y2 x2 故双曲线的方程为 4 - 5 =1.

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(2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 λ - =1(其中 0<λ<6). 6-λ ∵双曲线经过点(-5,2), 25 4 ∴λ- =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). 6-λ x2 2 ∴所求双曲线方程是 5 -y =1.

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双曲线定义及标准方程的应用
[例 3]
2 y 设 P 为双曲线 x2-12=1 上的一点,F1,F2 是该双

曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2 的面积为 ( A. 6 3 C.12 3 B.12 D.24 )

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[解析]

如图所示,

∵|PF1|-|PF2|=2a=2,且|PF1|∶|PF2|=3∶2, ∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又∵|F1F2|=2c=2 13, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 1 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=2×6×4=12. [答案] B

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[类题通法] 在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条 件||PF1|-|PF2||=2a 的应用;与三角形有关的问题要考虑正、 余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和 整体代换思想的应用.

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[活学活用]

???? ???? 若把本题中的|PF1|∶|PF2|=3∶2 改为 PF1 · PF2 =0,求△PF1F2 的面积. ???? ???? 解:由题意 PF1 · PF2 =0,则 PF1⊥PF2,
∴△PF1F2 为直角三角形. ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|=|F1F2|2, 又∵||PF1|-|PF2||=2a=2, |F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=4(1+12)=52, ∴4+2|PF1|· |PF2|=52, ∴|PF1|· |PF2|=24, 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=12.

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5.双曲线的定义理解中的误区

[典例]

已知定点 A(-3,0)和定圆 C:(x-3)2+y2=16,动圆

和圆 C 相外切,并且过定点 A,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

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[解]

设 M(x,y),

设动圆与圆 C 的切点为 B,|BC|=4. 则|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|, 所以|MC|=|MA|+|BC|, 即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|. 所以由双曲线的定义知,M 点轨迹是以 A,C 为焦点的双 曲线的左支,且 a=2,c=3,所以 b2=5. x2 y2 所以所求圆心 M 的轨迹方程是 - =1(x≤-2). 4 5

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[易错防范] 1.求解中易把动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲线定义中 “距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实际上是双曲 线的一支. 2.在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定 义,才能保证解题的正确性.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|(a>0),即 |PF1|-|PF2|=± 2a(0<2a<|F1F2|)时,P 点的轨迹是双曲线,其中取 正号时为双曲线的右支,取负号时为双曲线的左支.

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[活学活用]
求与⊙C1: x2+(y-1)2=1 和⊙C2: x2+(y+1)2=4 都外切的动圆 圆心 M 的轨迹方程.
解:∵⊙M 与⊙C1,⊙C2 都外切, ∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2. 从而可知|MC2|-|MC1|=1<|C1C2|. 因此,点 M 的轨迹是以 C2,C1 为焦点的双曲线的上支,且有 1 3 2 2 2 a=2,c=1,b =c -a =4.
2 ? 1? 4 x 2 故所求的双曲线的方程为 4y - 3 =1?y≥2?. ? ?

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[随堂即时演练]

1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10, 则 P 点的轨迹是 A.双曲线 C.直线 B.双曲线的一支 D.一条射线 ( )

解析:F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件 |PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨迹应为一条射线.

答案:D 返回

x2 y2 x2 y2 2.椭圆 4 +a2=1 与双曲线 a - 2 =1 有相同的焦点,则 a 的 值是 1 A.2 1 C. 1 或 2 B.1 或-2 D. 1 ( )

解析:由于 a>0,0<a2<4,且 4-a2=a+2,所以可解得 a=1,故选 D.

答案:D
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x2 y2 3.若方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 1+k 1-k ________.

解析:由题意知,(1+k)(1-k)>0,即-1<k<1.
答案:(-1,1)

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x2 y2 4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 4 -12=1 上一点 M 的 横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________.
解析:由题易知,双曲线的右焦点为(4,0),点 M 的坐标为(3, 15)或(3,- 15),则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4.

答案:4

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5.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,c=4,焦点在 x 轴上; (2)经过点(3,-4
?9 ? 2),?4,5?. ? ?

解:(1)由题设知,a=3,c=4, 由 c2=a2+b2 得,b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以所求双曲线的标准方程为 x2 y2 9 - 7 =1.

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(2)设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点 1 ? ? ?m=-9, ?9m+32n=1, ?9 ? (3,-4 2),?4,5?,所以?81 解得? ? ? 1 m + 25 n = 1 , ? ? n=16. ?16 ? y2 x2 故所求双曲线的标准方程为16- 9 =1.

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