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2018届高三数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题夯基提能作业本理


第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
A 组 基础题组

1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(

)

2.(2016 北京,7,5 分)已知 A(2,5),B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x-y 的最大值为( A.-1 B.3 C.7 D.8

)

3.已知实数 x,y 满足

则 z=2x-2y-1 的取值范围是(

)

A.

B.[0,5]

C.

D.

4.已知不等式组 A.4 B.6 C.8

表示的平面区域的面积为 4,则 z=2x+y 的最大值为( D.12

)

5.某旅行社租用 A、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型客车不多于 A 型客车 7 辆.则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 ) B.36 000 元 D.38 400 元

6.(2016 云南昆明七校调研)已知实数 x,y 满足

则 z=x+3y 的最小值为

.

7.(2016 江苏,12,5 分)已知实数 x,y 满足

则 x +y 的取值范围是

2

2

.

8.(2016 河南中原名校 3 月联考)设 x,y 满足不等式组 为 .

若 M=3x+y,N=

- ,则 M-N 的最小值

9.已知 D 是以点 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示.

1

(1)写出表示区域 D 的不等式组; (2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围.

10.(2014 陕西,18,12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围 成的区域(含边界)上. (1)若 (2)设 + =m + +n =0,求| |;

(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.

B 组 提升题组

11.设 z=x+y,其中实数 x,y 满足 A.-3 B.-6 C.3 D.6

若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为(

)

12.(2017 黑龙江鸡西一中月考)已知变量 x,y 满足约束条件
2

若 z=x-2y 的最大值与最小值分 )

别为 a, b,且方程 x -kx+1=0 在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数 k 的取值范围是(

A.(-6,-2)

B.(-3,2)

C.

D.

13.(2014 浙江,13,4 分)当实数 x,y 满足 是 .

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围

2

14.若实数 x,y 满足不等式组

则 z=|x+2y-4|的最大值为

.

15.(2016 天津,16,13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种 肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车 皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种 肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示计划生产 甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

3

答案全解全析 A 组 基础题组 1.C (x-2y+1)(x+y-3)≤0?



画图可知选 C.

2.C 点 P(x,y)在线段 AB 上且 A(2,5),B(4,1),如图:

设 z=2x-y,则 y=2x-z, 当直线 y=2x-z 经过点 B(4,1)时,z 取得最大值,最大值为 2×4-1=7.

3.D 画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知 2× -2× -1≤z<2×2-2×(-1)-1,即 z 的

取值范围是

.

4.B 如图,a>0,不等式组对应的平面区域为△OBC 及其内部,其中 B(a,a),C(a,-a),

4

所以|BC|=2a,所以△OBC 的面积为 ·a·2a=a =4,所以 a=2. 由 z=2x+y 得 y=-2x+z,平移直线 y=-2x,由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 B 时,直线的截距最大,此时 z 也最大,把 B(2,2)代入 z=2x+y 得 z=2×2+2=6,∴zmax=6.

2

5.C 设旅行社租用 A 型客车 x 辆,B 型客车 y 辆,租金为 z 元,则约束条件为 为 z=1 600x+2 400y. 可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点.

目标函数

当目标函数 z=1 600x+2 400y 对应的直线经过点 A(5,12)时,z 取得最小值,zmin=1 600×5+2 400×12=36 800.故租金最少为 36 80 0 元,选 C. 6. 答案 -8 解析 依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(图略),当直线 x+3y-z=0 经过点(4,-4)时, 目标函数 z=x+3y 取得最小值,为 4+3×(-4)=-8. 7. 答案

解析 画出不等式组

表示的可行域,如图:

由 x-2y+4=0 及 3x-y-3=0 得 A(2,3),由 x +y 表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得

2

2

(x +y )max=2 +3 =13,(x +y )min=d =

2

2

2

2

2

2

2

= ,其中 d 表示点(0,0)到直线 2x+y-2=0 的距离,所以 x +y 的取值范

2

2

围为

.
5

8. 答案 解析

作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得 A(-1,2),B(3,2),当直线 3x+y-M=0 经过点

A(-1,2)时,目标函数 M=3x+y 取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x≤3,所以函数 N=

- 在 x=-1 处取得

最大值- ,由此可得 M-N 的最小值为-1-

=.

9. 解析 (1)直线 AB,AC,BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0. 原点(0,0)在区域 D 内,

故表示区域 D 的不等式组为 (2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0, 解得-18<a<14. 故 a 的取值范围是(-18,14). 10. 解析 (1)解法一:∵ 又 + + + + =0,

=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),

∴ 解法二:∵ ∴( -

解得 x=2,y=2,即 + )+( + =0, )+( -

=(2,2),故|

|=2

.

)=0,

∴ ∴|

=( |=2

+ .

+

)=(2,2),

( 2)∵

=m

+n

,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴

两式相减得,m-n=y-x,
6

令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.

B 组 提升题组 11.B 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示:



得 A(k,k),易知目标函数 z=x+y 在点 A 处取最大值,则 12=k+k,故 k=6,所以 B(-12,6),又目标

函数 z=x+y 在点 B 处取最小值,∴z 的最小 值为-6,故选 B. 12.C 作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数 z=x-2y 在点(1,0)处取得最大值 1,在点(-1,1)处取 得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程 x -kx+1=0 在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令 f(x)=x -kx+1,
2 2



? - <k<-2,故选 C.

13. 答案

解析 不等式组表示的区域为以 A(1,0),B

,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界),则 1≤x≤2,

所以 1≤ax+y≤4 恒成立可转化为

≤-a≤

恒成立.

7

易知

表示可行域内点(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为- ;

表示可行域内点(x,y)与定点

(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有- ≤-a≤-1,

即 1≤a≤ . 14. 答案 21 解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

z=|x+2y-4|=

·

的几何意义为阴影区域内的点到直线 x+2y-4=0 的距离的

倍.



得 B 点坐标为(7,9),显然点 B 到直线 x+2y-4=0 的距离最大,易得 zmax=21.

15. 解析 (1)由已知得,x,y 满足的数学关系式为 区域为图 1 中的阴影部分:

该二元一次不等式组所表示的平面

图1 (2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y.

8

考虑 z=2 x+3y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为- ,随 z 变化的一族平行直线. 为直线在 y 轴上的截距,

当 取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的

点 M 时,截距 最大, 即 z 最大.

图2

解方程组

得点 M 的坐标为(20,24).

所以 zmax=2×20+3×24=112. 答:生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大 ,且最大利润为 112 万元.

9


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