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福建省厦门市2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题新人教A版

厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测
一、选择题 1.已知 ? ? x ? 2? , cos x ?

1 ,则 sin x ? ( 2
3 2
C.



A. ?

1 2

B. ?

1 2

D.

3 2


2.过点 (3, ?1) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0

3.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积是(



A. 1cm

3

B. 2cm

3

C. 3cm

3

D. 6cm ) D.25

3

4.已知 a ? (2,1), b ? ( ?1, ?3) ,则 a ? b 等于( A. 5 B. 7 C.5

5.对于 a ? R ,直线 ( x ? y ? 1) ? a ( x ? 1) ? 0 恒过定点 P ,则以 P 为圆心, 5 为半径的 圆的方程是(
2


2

A. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0

B. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

C



x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0
6.设 A 为 ?ABC 的一个内角且 sin( A ?

?
6

) ? cos A ,则 A ? (



A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2
1

7.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ,则下列命题正确的是(



A.函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (?

? , 0) 对称 4

B.函数 y ? f ( x) 在区间 (?

? , 0) 上是增函数 2

C.函数 y ? f ( x ?

?
8

) 是偶函数

D.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移
2 2

?
4

个单位得到函数 y ? f ( x) 的图象

8. 已知圆 O : x ? y ? 0 , 直线与圆 O 交于 M , N 两点, 且 MN ? 4 , 则 MN MO ?( A.2 B.3 C.4 D.8 )



9.设 m, n 是不同的直线 ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题(



? / /? ? ? ? ? / /? ? / /? ?



? ??? m ??? ?? m ?? ③ ?? m? n ④ m? ?? n / /? ?

m / /? ? ? ? m / /n n ?? ?
其中错误的命题是 A.①② B.①③
2 2

C.②③
2 2

D.②④

10 .若圆 x ? y ? ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? 1 关于直线 y ? 2 x ? 1 对称,则 a ? b ? ( ) A.-1 B. ?

12 5

C.1

D.

12 5

二、填空题 11. 已知圆锥的母线长为 5, 底面圆的半径为 3, 则此圆锥的体积为__________ (结果保留 ? ) 12.已知 cos( x ?

?
2

)?

1 ,则 cos 2 x ? __________ 2
2 2

13.直线 l : y ? x 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相交 A, B 两点,则 AB ? __________ 14.已知 sin x ? 2 cos x ,则

1 x 1 ? tan 2

?

1 x 1 ? tan 2
2 2

? __________

15. 若圆 O1 : x ? y ? 5 与圆 O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R ) 相交于 A, B , 且两圆在点 A 处
2 2

2

的切线互相垂直,则线段 AB 的长是__________ 16. 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边且 a ? 5, b ? 12, c ? 13 , 点 I 是 ?ABC 的 内心,若 AI ? ? (

AB AB

?

AC AC

) ,则 ? ? __________

3

三、解答题 17. 如图, 已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是正方形,EA ? 底面 ABCD ,FD / / EA , 且 EA ? 2 FD 。 (1)求证: CB ? 平面 ABE ; (2)连接 AC , BD 交于点 O ,取 EC 中点 G 。证明: FG / / 平面 ABCD 。

18. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 sin x ? cos x ?

1 5? ) 的值。 ,求 f (? ? 2 12

4

19.已知动圆 C 经过点 A (2, ?3) 和 B (?2, ?5) 。 (1)当圆 C 面积最小时,求圆 C 的方程; (2)若圆 C 的圆心在直线 3 x ? y ? 5 ? 0 上,求圆 C 的方程。

20.设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,定义一种运算: a ? b ? ( x1 x2 , y1 y2 ) 。已知 p ? (

8

?

, 2) ,

1 ? 1 m ? ( ,1) , n ? ( , ? ) 。 2 4 2
(1)证明: p ? m ? n ; (2)点 P ( x0 , y0 ) 在函数 g ( x) ? sin x 的图象上运动,点 Q ( x, y ) 在函数 y ? f ( x) 的图象桑 运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,求函数 f ( x) 的单调递减区间。

?

?

5

21.如图,设计一个小型正四棱锥形冷水塔,其中顶点 P 在底面的射影为正方形 ABCD 的 中心 O ,返水口 E 为 BC 的中点,冷水塔的四条钢梁(侧棱)设计长度均为 10 米。冷水塔 的侧面选用钢板,基于安全与冷凝速度的考量,要求钢梁(侧棱)与底面的夹角 ? 落在区 间[

? ?

, ] 内,如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求? 6 3

22.如图,已知 P 是单位圆(圆心在坐标原点)上一点,?xOP ?

? ,作 PM ? x 轴于 M , 3

PN ? y 轴于 N 。
(1)比较 OM 与

?
6

的大小,并说明理由;

(2) ?AOB 的两边交矩形 OMPN 的边于 A, B 两点,且 ?AOB ? 范围。

?
4

,求 OA OB 的取值

6

厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BAACB 6-10: CCDDB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 12? 12.

1 2

13. 3 2

14.

?2

15

4

16.

26 5
E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)

EA ? 底面 ABCD ,且 BC ? 面ABCD ,
--------------------------------------------2 分
A G

F

∴ EA ? BC .

正方形 ABCD 中, AB ? BC ,

---------------------3 分
O C

D

EA

AB ? A ,

B ? CB ? 平面 ABE . -----------------------------------------5 分

(Ⅱ )连接线段 OG .在三角形 AEC 中,中位线 OG / / AE ,且

AE ? 2OG ------------------------7 分
已知 EA ? 2 FD , ? OG / / DF 且 OG ? DF , -------------------------------------------------------9 分 即平面四边形 DOGF 为平行四边形, ----------------------------------------------------------------------10 分

? FG / / OD ,又? FG ? ABCD, OD ? ABCD ,
-------------------------------------------------------11 分

? FG / / 面ABCD . ------------------------------------------------------------------------------12 分 18. (本题满分 12 分) 解 :







f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x --------------------------------2 分

? 2sin(2 x ? ) 6
--------------------------------------------------------------------------------4 分

?

? f ( x)















T?

2? ?? 2
7

-----------------------------------------------------------------------6 分 ( Ⅱ )

sin ? ? cos ? ?

1 2



? sin 2? ?

1 3 ? 1 ? ? -------------------------------------------------------9 分 4 4 5? 3 ) ? 2sin(2? ? ? ) ? ?2sin 2? ? ---------------------------------12 2

? f (? ?

-------------------------12 分 19. (本题满分 12 分) 解 :( Ⅰ ) 要 使 圆 C 的 面 积 最 小 , 则

AB 为 圆 C 的 直 径 ,
1 AB ? 5 2
2

----------------------------------------------------2 分 圆 心

C ? 0, ? 4?

,





r?

-----------------------------------------------------------------------4 分 所 以 所 求 圆

C











x2 ? ? y ? 4? ? 5

.

--------------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)法一:因为 k AB ? 所 以

1 , AB 中点为 ? 0, ?4 ? , 2
垂 线 方 程 为

AB



y ? 4 ? ?2 x





2x ? y ? 4 ? 0

--------------------------------------------8 分 解 方 程 组

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x ? ?1 得 : ? , 所 以 圆 心 C ? ?3 x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2



(?1, ?2) .-------------------------------10 分
根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 , 得 半 径

r ? 10



------------------------------------------------------------11 分 因 此 , 所 求 的 圆

C









( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 10

.

------------------------------------------------12 分 法二:设所求圆 C 的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

根据已知条件得

8

?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r ?3a ? b ? 5 ? 0 ?
------------------------------------------------------------------------------6分

?a ? ?1 ? ? ?b ? ?2 ?r 2 ? 10 ?
-------------------------------------------------------------------------------------------------11 分 所 以 所 求 圆

C









( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 10

.

---------------------------------------------------12 分

20. (本题满分 12 分)

8 1 4 ? 1 解: (Ⅰ) p ? ( , 2) , m ? ( ,1) ,依题意得 p ? m ? ( , 2) ,又 n ? ( , ? ) , ? 2 ? 4 2 4 ? 1 ∴ ( p ? m) ? n ? ? ? 2 ? ( ? ) ? 0 ? 4 2 ------------------------------------------------------------------2 分



∴ ( p ? m) ? n . --------------------------------------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ ) OP ? ( x0 ,sin x0 ) , OQ ? ( x, y ) , 由

OQ ? m ? OP ? n



1 ? 1 ( x, y ) ? ( x0 ? ,sin x0 ? ) 2 4 2



-----------------------------------------6 分



1 ? ? x ? x ? 0 ? ? 2 4 ? ? y ? sin x ? 1 0 ? ? 2



---------------------------------------------------------------------------------------7 分 消 去

x0





? 1 1 y ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos 2 x ? 2 2 2





1 f ( x) ? ? cos 2x ? ------------------10 分 2 2 k? ? ? ? 2 x ? 2 k? ( k ? Z ) 令



k? ?

?
2

? x ? k? (k ? Z ) ------------------------------------11 分
9

? 函数的单调递减区间是 ------------------------------------------12 分
21. (本题满分 14 分) 解:依题意,钢梁(侧棱)与底面的夹角 ?PBO ? ? . ∴ OP ? 10sin ? --------------------------------------------------2 分 则 OE ? 分 在 RT ?POE 中, PE ? 分 ∴ S侧面 ? 4 ? ?
P


D E B C

2 OB ? 5 2 cos ? ,BC ? 10 2 cos ? ------------4 2

O A

?

OP 2 ? OE 2 ? 5 2 1 ? sin 2 ? , ---6

?1 ? PE BC ? ? 200 cos ? 1 ? sin 2 ? -------------8 分 2 ? ?

? 200 1 ? sin 4 ? ------------------------------------------10 分 1 3 ?? ? ? 又 ? ? ? , ? ,则 ? sin ? ? ,----------------------------11 分 2 2 ?6 3?
当 且 仅 当 sin ? ?

3 4 3 时 , S侧面 取 最 小 值 是 200 1 ? ( ) ? 50 7 2 2

-----------------------13 分 此 时 相 应 cos ? ?

AB ? 5 2

1 , AB ? 5 2 , OP ? 5 3 . 即 冷 水 塔 的 底 面 边 长 应 设 计 为 2 米 , 高 OP ? 5 3 米 时 , 侧 面 钢 板 用 料 最 省 -

-----------------------------------------------------------------------14 分 22. (本题满分 14 分) 解 : ( Ⅰ ) 法 一 : 记

C (0,1)







PC





PC ?

?
2

?

?
3

?

?
6

-------------------------------------------2 分 题 意



O M?

P N ? c o s 6 ?0 ? P C? ----------------------------------------------P C

-------------3 分

? OM ?

? 6

-

---------------------------------------------------------------------------------------------4 分

10









?xOP ?

? 3





OM ?| OP | cos

?
3

?

1 3 ? 2 6



------------------------------------------2 分 显 然

? ?3



3 ? ? 6 6



----------------------------------------------------------------------------------------3 分 则 OM ? .------------------------------------------------------------------4 分

?

6

1 3 (Ⅱ)设∠ AOx ? ? , ? ? [0, ] , P ( , ), 4 2 2
记 f (? ) ? OA ? OB

?

y N P B

A O M x

⑴当 ? ? [0, 分

1 1 1 1 ? ] 时, A( , tan ? ), B ( , tan(? ? )) -----------5 12 2 2 2 2 4

?

? f (? ) ? OA ? OB ?

1 1 ? ? tan ? ? tan(? ? ) -----------------------6 分 4 4 4

1 1 ? tan ? 1 1 ? tan 2 ? ? (1 ? tan ? )? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ? 1 1 ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? )
y N B P

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 4 cos ? ? cos ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? sin 2?
? 1 2(1 ? 2 cos(2? ? ) 4

A O M x

?

-------------------------8 分

⑵当 ? ? (

? ? 1 1 3 3 , ] 时, A( , tan ? ), B( , ) ---------------9 分 ? 12 4 2 2 2 tan(? ? ) 2
4 3 1 ( ? tan ? ) -------------------------------10 4 tan(? ? ? ) 4
11

? f (? ) ? OA ? OB ?



3 1 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ( ? tan ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

?

3 1 3 1 ? ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2 1 ? cos 2? ? sin 2?
3 1 ? --------------------------------------------2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

?

-------------------------12 分

? ? ? ? 综上, f (? ) ? OA ? OB ? ? ? ? ? ?

1 1 ? 2 1 ? 2 cos(2? ? ? ) 4 3 1 ? 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

(? ? [0,

?
12

])

(? ? ( , ]) 12 4

? ?

f (? ) 在 ? ? [0,
---------13 分

] 增函数,在 ? ? ( , ] 是减函数,在 ? ? ( , ] 是增函数 , 12 12 8 8 4

?

? ?

? ?

1 ? 3 ?1 ? 6? 3 ? 3 f (0) ? , f ( ) ? , f( )? , f( )? 4 12 2 8 2 4 4 1 3 ? f (? ) ? OA ? OB ? [ , ] ------------------------------------------------4 4
-----------------------------14 分

12



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